线性代数与空间解析几何及其应用课后习题

1、精选优质文档-倾情为你奉上1.1 1. 图1-1表示了省的个城市与省的个城市的交通连接图，称为一个交通网络.每条线上的数字表示此通路上不同的运路(公路，铁路，水路，空路)数目.若以表示从到的运路数，试写出矩阵.图1-1 解：. 2. 当时，各取何值？ 解 由可得，. 3. 写出即是上三角形矩阵又是下三角行矩阵的阶矩阵的一般形式. 解 4. 下列矩阵哪些是行阶梯形矩阵，哪些不是？（1）;（2） ;（3）;（4）. 解是，不是. 5. 下列矩阵哪些是行简化的阶梯形矩阵，哪些不是？ 解不是，是. 6. 写出线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，增广矩阵的行和列是多少？它是不是行阶梯形矩阵？是不是行简化阶梯

2、形矩阵？ 解系数矩阵，增广矩阵 .增广矩阵行，列，它是行阶梯形矩阵，也是行简化的阶梯形矩阵习题1.2 1. 已知, , .求：;. 解 ;. 2. 已知两个线性变换及，把它们分别表示为矩阵形式，并求从到的线性变换. 解 ,即 3. 已知矩阵，.求：；. 解 ；无意义；. 4. 设，且矩阵满足方程，求. 解 . 5. 设，求,(为正整数). 解 ,. 6. 某机械公司生产甲、乙、丙三种型号的机械，年和年的年产量如表1-1 表1-1 表2-2 价格型号单位成本价销售价甲67乙78丙89 型号产量甲乙丙 2000年705060 2001年806070这三种机械的本价与销售价如表2-2所示，求两年的总

3、成本和总销售额. 解 设,则. 即年的总成本是，销售总额是；年的总成本是，销售总额是. 7. 已知，设，求. 解 ，而，所以. 8. ，求. 解 原式=，,，原式= 9. 设为阶对称矩阵，为矩阵，证明：为阶对称矩阵. 证 ，即为对称矩阵. 10. 设为阶对称矩阵，为阶反对称矩阵，证明为反对称矩阵的充分必要条件是. 证 充分性又，所以，即为反对称矩阵.必要性 由，又，所以.习题1.3 1. 用分块矩阵计算下列矩阵乘积： (1) ;(2) . 解 (1) 设，则，而， .则.同理，故原式. (2) . 2. 设求. 解 设，则，由数学归纳法可得,同理可得.于是，有. 3. 设为实矩阵，若则. 证

4、将按列分块：，则，于是， 由得,又因为实矩阵，故，故. 4. 设，其中当时.证明：与可交换的矩阵只能是对角矩阵. 证 设与可交换，即， 即，由于互异，比较非对角元素得 即，于是,故与可交换的矩阵为对角阵. 5. 当太空卫星发射之后，为使卫星在精确计算过的轨道上运行，需要校正它的位置.雷达屏幕给出一组矩阵，它们给出卫星在不同时间里的位置与计划轨道的比较.设,矩阵需要在雷达分析数据时计算出来，当到达时，新的必须计算出来.因数据矩阵高速达到，所以计算负担很重，而分块矩阵的计算在其中起了很大的作用.试写出从计算的矩阵形式. 解 由于,所以,又,因此.习题1.4 1. 设是三阶方阵，将的第1列与第2列变

5、换得到，再把的第2列加到第3列得到，以满足的可逆矩阵为( ). . 分析 是对实行两次初等列变换得到的，因此可由与初等矩阵的乘积表示. 解 ，即为， ，即为，所以.因此应选. 2. 把下列矩阵化为行最简形矩阵： . 解 . 3. 设，问是经过哪种类型的初等变换得到的？并写出相应的初等矩阵. 解 . 4. 设. 求; ; . 解 ; ; . 5. 把矩阵表示成初等矩阵的乘积. 解 即习题1.5 1. 设航线图如图1-3所示， (1) 写出邻接矩阵； (2) 求出顶点到长为3条航线的条数； (3) 是否存在从顶点到的长为3的航路？ 图1-3 解 （1）； （2）2条：；. （3）不存在 . 2.

6、设表示6个人的集合.用表示他们彼此之间的相貌相像的程度,如表1-3，表中行和列交叉处的数字表示第个人与第个人的相貌的相像程度，则是上的关系，其隶属函数就是行与列交叉处的数字，又=1表示任何个人自身与自身完全相象，表示第个人与第个人的相貌的相像程度与和的相像程度相同，写出这个矩阵，并求出它的合成. 表1-310.820.650.120.250.200.8210.820.200.850.350.650.82100.900.120.120.20010.120.850.250.850.900.1210.250.200.350.120.850.251 解 ， .复习题一 1. 若，则_. 解 由，得;又

7、由，得. 答案. 2. 设为行的列矩阵，若，则_. 解 设,则，故.因而. 答案为. 3. 设,，则必有_. ; ;. 解 解法一 选.首先，用初等矩阵右乘表示作行变换，故可排除,.表示将的第行加于第行，表示再将,两行变换. 解法二 此题考察矩阵的初等变换和初等矩阵，比较矩阵和，可发现把矩阵的第一行加到第三行，再把第二行与第一行互换，则可得到矩阵,而对矩阵做初等行变换，就相当于对矩阵左乘相应的初等矩阵，故上述过程恰相当于先对左乘，再左乘，即，应选. 4. 设，求 (1) ； (2) 令求，求. 解 (1) ，. (2) . 5. 设，证明：当且仅当. 证 先证必要性 设，因为，即，所以. 再证

8、充分性 设，则有. 6. 任意一个矩阵都可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和. 证 任一矩阵都可以表示为：，因为，即为对称矩阵，又，即为反对称矩阵. 7. 证明：如果是实对称矩阵且，那么. 证 设,因为,所以 , 又因为，所以.由于均为实数，故有.即. 8. 设均为阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充要条件是与可变换. 证 由于是对称的，故，如果，则可得，即乘积是对称的. 反之，若是对称的，即,则，即与是可变换的. 9. 设是任一方阵，证明均为对称矩阵. 证 . 10. 设，求. 解 ,所以 ,同理. 11. 设，试计算，其中为正整数. 解 为简化高阶幂的计算，首先将其分解为一个列向量与一个行向量的乘积，为此令，则，且为