矩阵教案第一讲

1、返回 矩 阵 理 论返回导导 引引1、矩阵方法在电路网络中的应用、矩阵方法在电路网络中的应用E(t)abcd1R2R5R4R3RR6返回)(0)()()(621atititi结点结点 KCL(基尔霍夫电流定律基尔霍夫电流定律: :在集总电路中，任何时刻，在集总电路中，任何时刻，对任意结点对任意结点,所有流出结点的支路电流的代数和恒等所有流出结点的支路电流的代数和恒等于零于零 ) )的矩阵表示的矩阵表示)(0)()()(541btititi结点结点 )(0)()()(532ctititi结点结点 )(0)()()(643dtititi结点结点 返回0)()()()()()(10110001011

2、0011001100011654321 titititititi返回12221111111111(,),jnjnnnnnjnnxxxxxxV xxxxxxxC ，其其中中（）2. 在数值计算中的应用（在数值计算中的应用（Vandermonder矩阵）矩阵）出现在多项式插值中出现在多项式插值中, 谐波恢复中谐波恢复中返回22121242(1)12(1)(1)2(1,)1111111.其其中中 nnnnnninFVe F称为称为Fourier矩阵，出现在离散矩阵，出现在离散Fourier分析分析及快速及快速Fourier变换中变换中.返回3. 盲信号分离中的应用盲信号分离中的应用在离散时间t时刻，

3、n个未知源信号S(t)=s1(t), sn(t)T被m个传感器观测到的信号X(t)=x1(t), xm(t)T，加性噪声V(t)=v1(t), vm(t)T，则观测信号和源信号之际的关系如下： X(t)=AS(t)+V(t)，其中A=(aij)为mn的未知列满秩混合矩阵， AT表示矩阵A的转置。为了讨论方便，这里假设无噪音，因此模型如下： X(t)=AS(t) (简记X=AS)。返回假设传感器的个数m大于等于信号源的个数n，各信号源si(t) (i=1, , n)之间相互独立，在此情况下，BSS的目标就是根据累积量矩阵找到一个mn的分离矩阵W，使得 Y=WX=WAS是S的一个近似。 从上述表达

4、式可以看出，分离矩阵W可以看作是混合矩阵A的某种“广义逆矩阵”。返回根据假设源信号的统计规律，观测信号的二阶和高阶累积量矩阵组具有可联合对角化结构，可归结为数学问题如下：首先，根据观测信号得到一组实对称的矩阵组G1, , Gk，其中Gi具有如下结构 Gi=AiAT，i=1, , k，其中i是nn的未知的对角矩阵；其次，对给定矩阵组G1, , Gk利用联合对角化算法，估计混合矩阵A或者分离矩阵W；最后，计算得到源信号的估计 Y=WX。此类算法属于非正交算法。返回 利用正交矩阵具有的性质，可把观测信号作白化预处理，然后再利用白化后的信号计算累积量矩阵，此时获得的累积量矩阵组具有可正交联合对角化结构

5、。归结为数学问题如下：首先，对观测信号X作白化处理得到白化后的信号Z=BX，其中B为白化矩阵；其次，根据白化后观测信号Z计算得到一组实对称的累积量矩阵组G1, , Gk，其中Gi具有如下结构 Gi=UiUT，i=1, , k, 其中i是nn的未知的对角矩阵，UUT=UTU=I，I表示单位矩阵。返回 最后，对给定累积量矩阵组G1，Gk利用正交联合对角化算法，估计混合矩阵U，并计算得到源信号的估计 Y=UTZ= UTBX。返回 nnnnnngggggggggG2122221112114、信号滤波的矩阵分析：、信号滤波的矩阵分析： NsX s 返回5. Google矩阵。迁移概率矩阵，仍记为链接数。

6、这个矩阵称为矢量除以各自（全概率），把各个列总和为转置。为了将各列失量矩阵是把矩阵，的方阵，称为为数，那么来表示页面。如果；否则有链接，则向页面若从页面。用来表达网页链接关系为网页关联矩阵，矩阵定义：AAPageRankGoogleNNANaajiaAijijij101 : )(Google 返回返回 在互联 网上，如果一个网页被很多其它网页所链接，说明它受到普遍的承认和信赖，那么它的排名就高。这就是 PageRank 的核心思想。 当然 Google 的 PageRank 算法实际上要复杂得多。比如说，对来自不同网页的链接对待不同，本身网页排名高的链接更可靠，于是给这些链接予较大的权重。Pa

7、geRank 考虑了这个因素，可是现在问题又来了，计算搜索结果的网页排名过程中需要用到网页本身的排名，这不成了先有鸡还是先有蛋的问题了吗？ 返回Google 的两个创始人拉里佩奇 （Larry Page ）和谢尔盖.布林 (Sergey Brin) 把这个问题变成了一个二维矩阵相乘的问题，并且用迭代的方法解决了这个问题。他们先假定所有网页的排名是相同的，并且根据这个初始值，算出各个网页的第一次迭代排名，然后再根据第一次迭代排名算出第二次的排名。 他们两人从理论上证明了不论初始值如何选取，这种算法都保证了网页排名的估计值能收敛到他们的真实值。值得一提的是，这种算法是完全没有任何人工干预的。 返回

8、 理论问题解决了，又遇到实际问题。因为互联网上网页的数量是巨大的，上面提到的二维矩阵从理论上讲有网页数目平方之多个元素。如果我们假定有十亿个网页，那么这个矩阵 就有一百亿亿个元素。这样大的矩阵相乘，计算量是非常大的。拉里和谢尔盖两人利用稀疏矩阵计算的技巧，大大的简化了计算量，并实现了这个网页排名算法。今天 Google 的工程师把这个算法移植到并行的计算机中，进一步缩短了计算时间，使网页更新的周期比以前短了许多。 返回6 机械力学全长370米，宽4米，主跨144米，2000年6月10日开通。返回中新浙江网11月7日电 伦敦千禧桥在2000年刚开放两天之后就关闭了，原因是在2000年6月这座桥的

9、开放的那一天，当拥挤的人群走过的时候，这个钢筋结构的，320米长的大桥开始从一边向另一边摇晃。据路透社伦敦报道科学家最新发现，千禧桥的摇晃不稳，是一种自然现象，而不是设计上的失误，引起这个摇晃的原因是一种叫做集体同步的现象。“这种现象是指随意地，按照他们自己最喜欢的速度行走的人们，在没有任何组织的情况下，不自觉地使用同一种频率行走。”纽约康奈尔大学(Cornell University)的斯蒂文斯道格兹说。“就是这种现象。人们为什么会开始同步移动？他们完全是下意识的。这种情况是谁也没有想到，而设计桥的工程师也不曾预料到的。”应用数学家和有关专家说，现在，集体同步现象应该是桥梁工程师在设计的时候

10、就应该考虑到的问题。返回斯道格兹和他在康奈尔大学以及美国、英国和德国其他大学的同事基于发生在千禧大桥身上的事，设计出了一种理论，用来计算一座步行桥需要多少阻尼和稳定减摇作用。他们的这一发现将在科学期刊自然上发表。在一次采访中，他说：“我们认为我们的这个理论会为帮助桥梁设计师避免这样的问题提供一些指导。” 一定会有其他的可能发生集体同步现象的巧合情况。在伦敦千禧桥摇晃的事件中，是大批的人群穿过一步行桥，而这座桥的震动频率在每秒一周，恰好和人的步行频率相等。“人和桥产生了共振”，斯道格兹说。 当桥开始摇晃的时候，人们为了稳住自己而在摇晃中加紧步伐。他们为了更容易行走而加大了自己的步幅，而这样做使他

11、们在无意中加剧了大桥的摇晃。返回“很多人在责备这座漂亮的，样式新颖的千禧大桥，认为是它的设计过于先锋导致的不稳固。而实际上并不是这样的。”在自然界，有很多集体同步现象发生。比如蟋蟀会同时鸣叫。在某些地方，很多萤火虫会完全同步地一明一暗，像圣诞树上的彩灯一样。而住在一起的女人也会有月经趋于同步的现象。“这总是令人震惊甚至是诡异的，因为就像是从混乱中理出了头绪，”斯道格兹说。在花费了5百万英镑和关闭20个月对它进行整修和加固以后，伦敦千禧桥在2002年2月成功地重新开放通行了。返回一个质点-弹簧系统返回 二次特征值问题在很多领域有其应用，例如：机械力学的动力分析中，流体力学的线性稳定性等领域。返回

12、一、线一、线 性性 空空 间间中定义加法：中定义加法：在在是一个数域是一个数域是一非空集合，是一非空集合，设设VPV.1、什么是线性空间？、什么是线性空间？如果如果之间定义数量乘法：之间定义数量乘法：与与在在.; kPVv 加法与数量乘法满足：加法与数量乘法满足：)()1加法交换律加法交换律 )()()()2加法结合律加法结合律 )(0,0)3加法零元加法零元有有 VV4),0()VV使得加法负元素返回 1)5 )()()6kllk lklk )()78)()kkk.VP则 称为数域 上的线性空间.2向量空间向量空间判断下列集合是否构成判断下列集合是否构成1)空间中不平行于一已知 向量 的全体

13、向量所构成成的的集集合合. .2)(1)Pn n数域 上次数等于定数 的多项式全体所构构成成的的集集合合. .其中的元素也称为向量.返回阵的全体所成的集合，阵的全体所成的集合，阶对称矩阵与反对称矩阶对称矩阵与反对称矩n)34)?R全体实数的集 是否构成实数域上的线 性空间?是否构成复数域上的线 性空间件中，“加法满足件中，“加法满足线性空间定义的八个条线性空间定义的八个条证明证明:3.交换律”不是独立的交换律”不是独立的证：证：V ,)(2 22 )11()11( 1111 )()(2 )(11( )(1)(1 返回 1111 )( )( )( 返回121221dim.nnVnVnVVVn 定

14、义 在线性空间 中，如果有 个向量 , ,线性无关, 而 中任意个向量线性相关, 则称 , ,为的一组基底, 线性空间的一组基底中向量个数称为线性空间的维数，记为. 4与一组基与一组基求下列线性空间的维数求下列线性空间的维数1)n nPnP数域 上全体 阶方阵构成的空间 ，2).n nPP中全体对称矩阵构成数 域 上的空间解：解：njiEPijnn, 2 , 1,)1 基为基为2)dim(nPnn 返回njiEEEFiijiijij 1)2令令.2)1( nn维数为维数为返回可交换的矩阵组可交换的矩阵组，证明：全体与，证明：全体与设设APAnn 5( ).C A成的一个子空间，记为 证证EAA

15、E ).(ACE )(,21ACAA 2211,AAAAAAAA AAA)()121 AAAA21 21AAAA )(21AAA :,.PVWVWV定定义义3 3 如如果果数数域域 上上的的线线性性空空间间 的的一一非非空空子子集集对对于于 的的两两种种运运算算也也构构成成线线性性空空间间 则则称称是是 的的线线性性子子空空间间返回AkA )()21)(1AAk )(1AAk )(1kAA .)(的子空间的子空间是是nnPAC 则则的两个非平凡子空间，的两个非平凡子空间，是线性空间是线性空间、设设VVV21. 6.21同时成立同时成立、，使，使中存在向量中存在向量VVV 是非平凡子空间是非平凡子空间1V证：证：1V 存在向