第五章定积分及其应用

1、第五章 定积分及其应用§1 定积分的概念与性质目 的 要 求 ：理解定积分的概念和性质，能熟练的应用定积分的性质。重 点 ：定积分的性质。难 点 ：定积分的概念。教 学 方 法 ：讲授法、练习法 教 学 手 段 ：板书 ,多媒体教 参 ：高等数学同济大学版教学环节及组织： 引入新课：定积分是微积分学中的一个重要概念，本章先从实际问题中引出定积分的概念，然后讨论定积分的计算方法。新课讲授：一、两个引例：1）曲边梯形的面积； 2）变速直线运动的路程。二、定积分的定义定义 设函数f(x)在a,b上有界，在a,b中任意插入若干个分点，把区间a,b分成n个小区间，记在上任意取一点，作和式：如果

2、无论a,b作怎样分割，也无论在怎样选取，只要有I （I为一个确定的常数），则称极限I是f(x)在a,b上的定积分，简称积分，记做即I=其中f(x)为被积函数，f(x)dx为积分表达式，a为积分下限，b为积分上限，x称为积分变量，a,b称为积分区间。注：1.由此定义，以上二例的结果可以表示为A=和S=。2.由定义知道表示一个具体的数，与函数f(x)以及区间a,b有关，而与积分变量x无关，即=。3.定义中的不能用代替。4.如果存在，则它就是f(x)在a,b上的定积分，那么f(x)必须在a,b上满足什么条件f(x)在a,b上才可积分呢？以下给出两个充分条件。定理1 设f(x)在区间a,b上连续，则f

3、(x)在a,b上可积。定理2 设f(x)在区间a,b上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在a,b上可积。定理3 设f(x)在区间a,b上单调，则f(x)在a,b上可积。三、定积分的几何意义当f(x)0时，表示曲边梯形的面积；当f(x) 0时，表示曲边梯形的面积的负值；一般地，若f(x)在a,b上有正有负，则表示曲边梯形面积的代数和。四、定积分的性质由定积分的定义知，是当a<b时才有意义，而当a=b与a>b时无意义，但为了计算及应用的方便，特作两个规定：1 a=b时，=02 a>b时，=-性质1：函数和差的定积分等于它的定积分的和差，即性质2：常数因子可以外提（可以推广到n个

4、），即性质3：无论a,b,c的位置如何，有性质4：若f(x)，则性质5：在a,b上，若f(x)g(x)，则性质6：性质7：设在a,b上，则性质8：（积分中值定理）若f(x)在a,b上连续，则在a,b上至少存在一点，使得例1 利用定积分几何意义，求定积分值 解：上式表示介于, , , 之间面积例2（估计积分值） 证明 证：在 上最大值为，最小值为2 小结：通过这节课的学习，我们要理解定积分的概念和性质，能熟练的应用定积分的性质。课 堂 交 流 ：定积分和不定积分的区别？：略。：学生自主进行。 ：P91、习题51 。课外作业及思考题 ：课外作业：无 。§2 牛顿莱布尼兹公式目 的 要 求

5、 ：会求变上限定积分的导数，理解NewLeibniz公式，能够运用这个公式求函数的定积分。重 点 ： NewLeibniz公式。难 点 ：变上限定积分的导数。教 学 方 法 ：讲授法、练习法 教 学 手 段 ：板书 ，多媒体教 参 ：高等数学同济大学版教学环节及组织：复习巩固：1）定积分的定义； 2）定积分的性质。 引入新课：从上节课我们知道，用定积分定义计算积分值很繁难，本节课通过揭示定积分与原函数的关系，导出定积分的基本计算公式：NewLeibniz公式。 新课讲授：一、积分上限函数及其导数设函数f(x)在a,b上连续，x为a,b上任一点，显然，f(x)在a,b上连续，从而可积，定积分为由

6、于积分变量与积分上限相同，为防止混淆，修改为（）称是变上限积分的函数。定理1设f(x)在a,b上连续，则在a,b上可导，且导数为，即积分上限函数是被积函数的一个原函数。证明省略。该定理既说明了连续函数的原函数一定存在，又指出了定积分与原函数的关系，因而称为微积分基本定理。讲解课本92页例5-4至例5-5。二、NewLeibniz公式定理2如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个原函数，则。 (1)证已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数也是f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数，即 。 (2)在上式中令x = a，得。又

7、由F (x)的定义式及上节定积分的补充规定知F (a) = 0，因此，C = F(a)。以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的F (x)，可得，在上式中令x = b，就得到所要证明的公式(1) 。由积分性质知，(1)式对a>b的情形同样成立。为方便起见，以后把F(b) F(a)记成。即公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式，它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。例1计算定积分。解。例2计算。解。例3计算。解。例4计算正弦曲线y = sinx在0,p 上与x轴所围成的平面图形的面积。解。例5 讲解课本93页例5-6至例5-7.

8、 小结：通过这节课的学习，我们应该能够根据定积分的性质用NewLeibniz公式求一些简单函数的定积分。课 堂 交 流 ：微积分基本定理揭示了什么？：略。：学生自主进行。：习题52、1 ，3 。课外作业及思考题 ： 课外作业： P93、2 。§3 定积分的换元积分法与分部积分法目 的 要 求 ：能熟练地用定积分的换元法和分部法求定积分重 点 ：定积分的换元法和分部法。难 点 ：定积分的换元法。教 学 方 法 ：讲授法、练习法 教 学 手 段 ：板书 ，多媒体教 参 ：高等数学同济大学版教学环节及组织： 复习巩固：1）定积分的概念； 2）如何用NewLeibniz公式求定积分？ 引入新

9、课：我们知道不定积分有换元法和分部积分法，能否将这两种方法运用在定积分上呢？或者说定积分有相应的积分方法可以简化定积分的计算？ 新课讲授：一、定积分的换元法定理 （1）f(x)在a,b上连续，（2）函数在上严格单调，且有连续导数，（3）时， 且则有换元公式：.(1) 注：1 用换元法时，当用将积分变量x换成t求出原函数后，t不用回代，只要积分上下限作相应的变化即可。2 必须严格单调3 可以大于4 从左往右看，是不定积分的第二换元法；从右往左看，可以认为是第一换元法。 例1 法一 设法二设原式讲解课本95页例5-9至例5-11.例2 二、定积分的分部积分法定理 若u(x),v(x)在a,b上有连

10、续导数，则即。例1 解：例2 解：= 讲解课本96页例5-12至例5-14. 小结：我们在遇到要求某个函数的定积分的时候，应该怎样一步一步的求？课 堂 交 流 ：定积分的换元法和分部法与不定积分的这两种方法的区别和联系？：略。：学生自主进行。 ：P96、习题5-3、1、（1）-（9），2、（1）-（5）。课外作业及思考题 ：课外作业：P96、1、（10）-（11），2、（6）-（9）。§4 广义积分目 的 要 求 ：理解广义积分的概念，能够求已知函数在无穷区间上的广义积分。重 点 ：无穷区间的广义积分。难 点 ：正确地求函数的广义积分。教 学 方 法 ：讲授法、练习法 教 学 手 段

11、 ：板书 ，多媒体教 参 ：高等数学同济大学版教学环节及组织： 复习巩固：定积分的换元积分法。 引入新课：前面所讨论的定积分，其区间都是有限闭区间且被积函数在该区间上有界。但在一些实际问题中，常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分，它们已经不属于前面所说的定积分了。因此，我们将再次借用极限的思想对定积分作如下两种推广，从而形成广义积分（也称反常积分）的概念。 新课讲授：一、无穷限的广义积分定义1设函数f(x)在区间a , +)上连续，取b>a，若极限存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间a , +)上的广义积分，记作，即。 (1)这时也称广义积分收敛；若上述极限不存在

12、，称为广义积分发散。类似地，若极限存在，则称广义积分收敛。设函数f(x)在区间(- ,+ )上连续，如果广义积分和都收敛，则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(-, + )上的广义积分，记作，也称广义积分收敛；否则就称广义积分发散。上述广义积分统称为无穷限的广义积分。例1 计算广义积分解 =例2 计算广义积分以及解 显然发散同理也发散例3 证明广义积分(a>0)当p>1时收敛，当p£ 1时发散。证当p = 1时，,当p¹ 1时，因此，当p > 1时，这广义积分收敛，其值为；当p£ 1时，这广义积分发散。二、无界函数的广义积分定义2设函数

13、f(x)在(a,b上连续，而在点a的右领域内无界，取，如果极限 存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b上的广义积分，仍然记作，这时也称广义积分收敛。类似地，设函数f(x)在a,b上除点c(a<c<b)外连续，而在点c的领域内无界，如果两个广义积分与都收敛，则定义；(2)否则，就称广义积分发散。例1证明广义积分当q < 1时收敛，当q ³ 1时发散。证当q = 1时，当q ¹ 1时，因此，当q < 1时，这广义积分收敛，其值为；当q 1时，这广义积分发散。例2 计算广义积分解 例3 广义积分可以相互转化 小结：在求积分区间为无穷区间，或者被积函数为无

14、界函数的积分时应该用广义积分的知识。课 堂 交 流 ：定积分的换元法和分部法与不定积分的这两种方法的区别和联系？：略。：学生自主进行。 ：P100、 习题5-4、1 。课外作业及思考题 ：课外作业：补充（略）。§5 定积分在几何上的应用目 的 要 求 ： 理解定积分的微元法，能够由定积分的这种思想求平面图形的面积。理解旋转体和平行截面面积为已知的立体体积，能够用定积分的微元法求这两种特殊的立体的体积。 重 点 ： 微元法，平面图形的面积，旋转体的体积。难 点 ： 求平面图形的面积，旋转体的体积。教 学 方 法 ：讲授法、练习法 教 学 手 段 ：板书 ,多媒体教 参 ：高等数学同济大

15、学版教学环节及组织： 引入新课：前面我们介绍了定积分的概念和基本性质，本节讨论应用定积分的知识解决一些实际问题。 新课讲授：一、微元法 定积分是具有特定结构的和式的极限。如果从实际问题中产生的量在某区间a，b上确定，当把a，b分成若干个子区间后，在a，b上的量U等于各个子区间上所对应的部分量U之和（称量U对区间具有可加性），我们就可以采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，通过定积分求出量U。 微元法：在a，b上任取一点，当有增量时，相应的量就有增量，它是分布在子区间上的部分量，并且有，根据定积分的定义，得。二、平面图形的面积：1、直角坐标系下平面图形面积定理1 由两条连续曲线, 以及直线x=

16、a,x=b所围平面图形的面积为：。注意：1 从几何意义容易看出2 若无这一条件，则面积3 同理，曲线与y=c,y=d所围区域的面积为，其中。例1 求抛物线及其点和处的切线所围成图形的面积。解：在点处，切线方程 在点处，切线方程 得交点讲解课本101页例5-21至例5-23.2、极坐标下平面图形的面积设曲线且在上连续，非负则有曲线与射线所围区域（称为曲边扇形）的面积为：证明：因为微小元素法上的面积微元是：，所以。讲解课本103页例5-24 。例2 求双纽线所围的平面图形的面积。解：又由图形的对称性以及公式有：例3 求由曲线所围图形公共部分的面积。解：两曲线的交点+ 三、空间立体体积1、已知平行截

17、面面积的立体体积设V是位于a,b间的一空间立体，A(x)（）是截面积的函数，且在a,b上连续，则立体V的体积为。证明：在x,x+dx上的体积微元是dV=A(x)dx,则体积为：。例4 求由圆柱面所围立体的体积。解：由于对称性，我们只要求第一卦限立体体积，过x点（）且垂直于x轴的平面与该立体的截面为边长为的正方形，则2、旋转体体积旋转体是一种特殊的空间立体，它是一条平面图形绕平面一直线旋转一周所得。特别地，直线为x轴。一般地，设旋转体由曲线y=f(x),x=a,x=b,以及x轴所围的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的一个立体，用垂直于x轴的平面去截立体得到截面面积为A(x)=,则旋转体的体积为：。例5

18、 过点作抛物线的切线，求该切线与抛物线及轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积。解：设切点为切线方程Q 切点在切线上，（3,1）0 1 2 3 ， 切线方程： 讲解课本105页例5-26至例5-27。 小结：通过学习，我们大都理解定积分的微元法，并能够由定积分的这种思想求平面图形的面积和立体的体积。 课 堂 交 流 ：微元法思想与定积分的定义有何关系？：略。：学生自主进行。 ：P105、习题5-5、1 。课外作业及思考题 ： 课外作业：P106、 2 。§6 定积分在物理上的应用目 的 要 求 ：了解定积分在物理上的应用，能够由微元法解决简单的物理问题。 重 点 ：变力沿直线做功。难 点 ：液体静压力。教 学 方 法 ：讲授法、练习法 教 学 手 段 ：板书 ,多媒体教 参 ：高等数学同济大学版教学环节及组织： 复习巩固：用微元法求平面图形的面积和立体体积。 新课讲授：一、 变力沿直线做功设某物体在力F的作用下沿轴从移动至，并设力F平行于轴且是的连续函数，则力F所做的功为。例1 一锥形水池，池口直径20m，深15m，池中盛满瞒水，求将全部池水抽到池口外所做的功。解:以x为积分变量,变化区间为0,15,从中任意取一子区间,考虑深