电子工业出版社机械制图第2章

1、第第2 2章章 正投影法基础正投影法基础 用正投影法将立体用正投影法将立体各表面或棱线及其相对各表面或棱线及其相对位置绘制出来，就形成位置绘制出来，就形成了立体的投影。点、线、了立体的投影。点、线、面的投影是立体投影的面的投影是立体投影的基础。基础。面BCDA线点本章内容本章内容2.1 投影法及三视图投影法及三视图2.2 点的投影点的投影2.3直线的投影直线的投影2.4 平面的投影平面的投影2.5 平面与直线及两平面相对位置平面与直线及两平面相对位置2.6 变换投影面法变换投影面法平行投影法平行投影法中心投影法中心投影法2.1.1 2.1.1 正投影法的基本知识正投影法的基本知识一、投影法一、

2、投影法投射线投射线物体物体 投影面投影面投影投影 投射线通过物体，向选定的平面进行投射，投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法并在该面上得到图形的方法.投射中心投射中心 斜投影法斜投影法正投影法正投影法2.1 2.1 投影法及三视图投影法及三视图二、投影法的分类二、投影法的分类投投影影法法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法正投影法正投影法斜投影法斜投影法投影法的应用投影法的应用1.真实性 2.积聚性3.类似性直线或平面平行于投影面时，投影反映实形直线或平面平行于投影面时，投影反映实形直线或平面垂直于投影面时，投影积聚成点或线直线或平面垂直于投影面时，投影积聚成点或

3、线直线或平面倾斜于投影面时，其投影与其实际形状直线或平面倾斜于投影面时，其投影与其实际形状类似类似Ha bHcedECDabABcedAB积聚性积聚性真实性真实性DECHACBDdabc类似性类似性ABBADCHHH4.平行性 5.定比性6.从属性ABCabdcababcCcI1两相互平行的直线，其投影一般仍然平行两相互平行的直线，其投影一般仍然平行两平行线段长度之比，等于其对应投影长度之比；两平行线段长度之比，等于其对应投影长度之比；点分线段的比值等于其对应投影的比值点分线段的比值等于其对应投影的比值直线上的点，或平面上的点和直线，其投影必在直直线上的点，或平面上的点和直线，其投影必在直线或

4、平面的投影上线或平面的投影上WHV一、三视图的形成一、三视图的形成正立投影面（简称正正立投影面（简称正面或面或V V面面) )水平投影面（简称水水平投影面（简称水平面或平面或HH面）面）侧面投影面（简称侧侧面投影面（简称侧面或面或WW面）面）OXOX轴轴OZOZ轴轴OYOY轴轴三个投影面三个投影面互相垂直互相垂直XOZY2.1.2 三视图的形成及其投影规律三视图的形成及其投影规律WHVXOZY注意：使物体尽可能多的表面平行或垂直于投影面。注意：使物体尽可能多的表面平行或垂直于投影面。俯视图俯视图左视图或侧视图左视图或侧视图主视图主视图WHVXOZY展开方式展开方式向右向右90向下向下90WVH

5、将三个投影面展开到一个平面上将三个投影面展开到一个平面上VHW三视图的相对位置三视图的相对位置VH长长高高宽宽宽宽上上下下后后前前上上下下左左右右后后前前左左右右三视图投影规律三视图投影规律主、俯视图主、俯视图长对正长对正；主、左视图主、左视图高平齐高平齐；俯、左视图俯、左视图宽相等宽相等；空间位置关系空间位置关系主视图：上下、左右；主视图：上下、左右；俯视图：前后、左右；俯视图：前后、左右；左视图：上下、前后。左视图：上下、前后。W物体上每个面、每条线、每个点的投影都应符合“三等规律三等规律”俯左视图，外前里后1.1.棱柱棱柱例例2-1绘制六棱柱和三棱锥的三视图绘制六棱柱和三棱锥的三视图a

6、b c s s b a (c )b s A A B B C C S S a c 2.2.三棱锥三棱锥P 采用多面投影。采用多面投影。2.2.1 点的投影点的投影 过空间点过空间点A的投射线与投的投射线与投影面影面P的交点即为点的交点即为点A在在P面上面上的投影。的投影。a A 点在一个投影面上的投影点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。不能确定点的空间位置。Pb BB2B1解决办法解决办法2.2 2.2 点的投影点的投影空间点空间点A A；a a 点点A A的水平的水平(H)(H)投影投影a a 点点A A的正面的正面(V)(V)投影投影a a 点点A A的侧面的侧面(W)(W)投影投影

7、1. 点的三面投影及其投影规律点的三面投影及其投影规律XVYOWZHa Zaaa YaXaAXYWYHOaaaZaz ay ax ay W投影面展开投影面展开XVAYOWZaa Ya ZaXaaVHYWHOXZYHaxaza ayayaa a a aOXaOX轴轴( (长对正长对正）; ; a a a a OZOZ轴轴（高平齐高平齐）; ; a a到到OXOX轴轴的距离的距离= a= a 到到OZOZ轴轴的距离（的距离（宽相等宽相等） AaAa=aa=aax x= = a a az z=a=ay y0=y0=yA AA A点到点到V面的距离面的距离 Aa =Aa =a ax x= = a a

8、ay y=a=az z0=z0=zA AA A点到点到H面的距离面的距离 Aa a=aa=aay y= = a a az z=a=ax x0=x0=xA AA A点到点到W面的距离面的距离 点的点的三面三面投影规律投影规律:XVYOWZaa Ya ZaXaaHZAYAXAaOXYWYHaYHaYWaZZaX XAYAZAYAaa A例例1:已知已知A点的坐标值点的坐标值A(12，10，15)，求作，求作A点的点的 三面投影图。三面投影图。 作投影轴作投影轴； 量取：量取：OaOax x=12=12、OaOaz z=15=15、OaOaYHYH=Oa=OaYWYW=10,=10,得得a ax x

9、、a az z、OaOaYHYH、OaOaYWYW等点等点 ； 步骤步骤: :aaaOXYWHYZaZ15YWaYHa10aX12过过a ax x、a az z、a aYHYH、a aYWYW等点分别作等点分别作所在轴的垂线，交点所在轴的垂线，交点a a、a a、a a既为所求。既为所求。 a aax例例2：已知点的两个投影，求第三投影。：已知点的两个投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一:解法二解法二:a 2. 2. 点的投影与直角坐标系之间的关系点的投影与直角坐标系之间的关系 空间点的位置，可由空间点的位置，可由直角坐标值来确定，直角坐标值来确定，一般采用下列的书写一般采用下

10、列的书写形式：形式：A(x,y,z)A(x,y,z)。 点到各投影面的点到各投影面的距离，为相应的坐标距离，为相应的坐标数值数值X X，Y Y，Z Z 。 1. 在空间在空间（X X，Y Y，Z Z）点在投影体系中的位置点在投影体系中的位置XVYOWZH 由于由于X X，Y Y，Z Z均不为零，对三均不为零，对三个投影面都有一定距离个投影面都有一定距离, ,所以点的所以点的三个投影都不在轴上。三个投影都不在轴上。a Zaaa YaXaAXYWYHOaaaZaz ay ax ay 由于点在投影面上，点对该投影面的距离为零。所以，点在该投影由于点在投影面上，点对该投影面的距离为零。所以，点在该投影

11、面上的投影与空间点重合，另两投影在该投影面的两根投影轴上。面上的投影与空间点重合，另两投影在该投影面的两根投影轴上。2. 在投影面上：在投影面上： 在在H H面上面上（X X，Y Y，0 0）XVYOWZH 在在V V面上面上（X X，0 0，Z Z） 在在W W面上面上（0 0，Y Y，Z Z）bBCdbCdDbdCCbXbHYbOWYZdXdHYdOWYZYWOcYHcXc VWaabbOabZYAHBX2.2.2 2.2.2 两点的相对位置与重影点两点的相对位置与重影点两点的相对位置指两点在空间的两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右上下、前后、左右位置关系。位置关系。 x 坐标大

12、的在左；坐标大的在左； y 坐标大的在前；坐标大的在前； z 坐标大的在上。坐标大的在上。判断方法：判断方法：ZW YHYaabbOXabB点在点在A点点的的左、下、前方。左、下、前方。OXa bW YHYaabb当空间两点到两个投影面的距离都分别对应相等时，该两点当空间两点到两个投影面的距离都分别对应相等时，该两点处于同一投射线上，它们在该投射线所垂直的投影面上的投影处于同一投射线上，它们在该投射线所垂直的投影面上的投影重合在一起，这两点称为对该投影面的重影点。重合在一起，这两点称为对该投影面的重影点。OH(b)aWYBAXZVabab重影点需要判断其可见性，将不可见点的投影用括号括起来，重

13、影点需要判断其可见性，将不可见点的投影用括号括起来，以示区别。以示区别。 重影点及投影可见性重影点及投影可见性( )H面重影，面重影，被遮被遮住的投影加住的投影加( )2.3 2.3 直线的投影直线的投影将两点的将两点的同名投影同名投影用直线连接，用直线连接，就得到直线的同名投影。就得到直线的同名投影。知识回顾知识回顾：直线对一个投影面的：直线对一个投影面的投影特性投影特性 B B A A a b 积积 聚聚 性性ab=ABAB ab=ABAB.cos A A B B a b A A M M B B abm b a a a b b X XY Y Y Yo o2.3.1.2.3.1.直线的投影直

14、线的投影2.3.2 2.3.2 直线与投影面的相对位置及其投影特性直线与投影面的相对位置及其投影特性投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线 投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）

15、垂直于某一投影面垂直于某一投影面统称特殊位置直线统称特殊位置直线 （1 1）投影面平行线）投影面平行线侧平线侧平线正平线正平线 与与H面的夹角面的夹角与与V面的夹角面的夹角与与W面的夹角面的夹角实长实长 实长实长 b a a b a b b a a b b a X X Z Z b a a a b b O O Y Y Y Y 水平线水平线 实长实长 在其平行的投影面上的投在其平行的投影面上的投影影反映实长反映实长，并反映直线与，并反映直线与另两投影面另两投影面 的的真实夹角真实夹角。另两个投影面上的投影平另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，并反映行于相应的投影轴，并反映直线与其它所平行的投影

16、面直线与其它所平行的投影面之间的距离之间的距离投影特性：投影特性：V V H H a b A a a B b b W W （3 3）投影面垂直线）投影面垂直线 反映线段实长，且平行反映线段实长，且平行于相应的投影轴于相应的投影轴铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 另外两个投影另外两个投影， 在其垂直的投影面在其垂直的投影面 上，上，投影特性投影特性: : a b a(b)a b c (d )c d d c e f e fe (f )投影有积聚性投影有积聚性（2 2）一般位置直线）一般位置直线Z Z Y Y a O O X X a b b a Y Y b 三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹

17、三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。间线段的实长。投影特性投影特性2.3.3 2.3.3 用直角三角形法求一般位置直线用直角三角形法求一般位置直线abXababAB实长实长XaabbBB0AVHZB ZAZB-ZA(a)空间分析空间分析 (b) 作作 图图图图 3-10例例: : 求直线求直线ABAB的实长及其对的实长及其对HH面的倾角面的倾角 。例例: : 求直线求直线ABAB的实长及其对的实长及其对V V面的

18、倾角面的倾角 。XaabbBB1AVYB YAabXabAB实长实长YB YAHB0YB YA(a)空间分析空间分析 (b) 作法作法1图图 3-11ababAB实长实长abXXaabbBB1AVYB YAHYB YA (c) 作法作法2图图 3-11AB坐标差坐标差对投影面的倾角对投影面的倾角ABAB投影长投影长实长实长B0直角三角形法小结：直角三角形法小结：在一个直角的四个要素中，只要在一个直角的四个要素中，只要知道了其中的两个要素，就可以作出这个，求出另外知道了其中的两个要素，就可以作出这个，求出另外两个要素。两个要素。分析：分析：用直角三角形法可求解。直角边之一用直角三角形法可求解。直

19、角边之一z zA A- z- zB B可可从正面投影中量取，已知斜边与另一直角边的夹角从正面投影中量取，已知斜边与另一直角边的夹角=30=30，则此三角形可作出。，则此三角形可作出。例例 ： 已知线段AB的正面投影和点B的水平投影，AB对H面的倾角=30，求直线AB的实长和其水平投影。2.3.4 2.3.4 直线上的点直线上的点 从属性：从属性：若点在直线上若点在直线上, 则点的投影必在直则点的投影必在直线的同面投影上。线的同面投影上。 定比性：定比性：点的投影将线段的同名投影分割成点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同的比例。即：与空间线段相同的比例。即：AC:CB=ac:cb=a c

20、 :c b =a c :c b 定比定理定比定理 c a c X X a b c Y Y Y Y b O O a Z Z b c A H H a c a V V b B a b c C b W W 例例1 1：判断点判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。c a b c a b a b c a b c 在在 不在不在 a b c a a b c b c 不在不在 应用定比定理应用定比定理例例2 2：已知点已知点K在线段在线段AB上，求点上，求点K正面投影。正面投影。解法一：解法一：（应用第三投影）（应用第三投影）解法二：解法二： （应用定比定理）（应用定比定理） a a b b k a b k

21、 k a a b b k k 2.3.5 2.3.5 两直线的相对位置两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为空间两直线的相对位置分为平行平行、相交相交、交叉（异面）交叉（异面） 两直线平行两直线平行注意：注意：平行两直线的投影特性满足平行两直线的投影特性满足平行性平行性和和定比性定比性。b c d H H A d a C c V V a D b B a c d b c d a b O O X X 例：例：判断图中两条直线是否平行。判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直线，只要有对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空两组同名投影互相平行，空间两直线就平行间两直线就平行AB与与CD平

22、行平行a b c d a b c d c a b d c b a d d b a c b d c a AB与与CD不平行不平行对于特殊位置直线，只有两对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，空间组同名投影互相平行，空间直线不一定平行直线不一定平行对于投影面平行线，只根据平行性和定比性不足对于投影面平行线，只根据平行性和定比性不足以确定是否互相平行，以确定是否互相平行，还需判断其方向是否一致还需判断其方向是否一致 两直线相交两直线相交 判别方法：判别方法： 若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影影必相交，且交点的投影必符合空间一点的

23、投影特性特性。交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点a c V V X X b H H D a c d k C A k K d b O O B c a b d b a c d k k c d kd例例1 1：过过C点作水平线点作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影a b b a c k 例例2 2：判断直线判断直线AB、CD的相对位置。的相对位置。相交吗？相交吗？不相交！不相交！为什么？为什么？ 交点不符合空间一交点不符合空间一个点的投影特性。个点的投影特性。判断方法？判断方法？ 应用定比定理应用定比定理 利用侧面投影利用侧面投影 两直线交叉两直线交叉不相交！不相交！交点不

24、符合一个点的投影规律！交点不符合一个点的投影规律！a c c A a C V V bH H d d D B b a c c A a C V V b H H d d D B b 投影特性投影特性： 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但 “交点交点”不符合空间不符合空间一个点的投影规律一个点的投影规律 “交点交点”是两直线上的一对是两直线上的一对重影点的投影重影点的投影，用，用其可帮助判断两直线的空间位置其可帮助判断两直线的空间位置2 1 1(2) 4 3(4 ) 3 3(4 ) 3 4 1(2)2 1 HHH4.4.两直线垂直（相交垂直、交叉垂直）两直线垂直（相交垂直、交叉垂直） 当互相垂直

25、的两直线同时平当互相垂直的两直线同时平行于投影面时，则两直线在该投行于投影面时，则两直线在该投影 面 上 的 投 影 仍 然 垂 直 。影 面 上 的 投 影 仍 然 垂 直 。 当互相垂直的两直线均不平当互相垂直的两直线均不平行于投影面时，则两直线在该投行于投影面时，则两直线在该投影 面 上 的 投 影 不 垂 直 。影 面 上 的 投 影 不 垂 直 。 如果两直线中有一条为投影如果两直线中有一条为投影面的平行线，面的平行线，两线投影垂直吗？两线投影垂直吗？直角投影定理直角投影定理 如果两直线垂直（包括相交如果两直线垂直（包括相交垂直或交叉垂直），垂直或交叉垂直），且有一条直且有一条直线平

26、行于投影面线平行于投影面，则两直线在投，则两直线在投影面上的影面上的投影互相垂直并反映直投影互相垂直并反映直角。角。逆定理也成立逆定理也成立2.3.62.3.6直角投影定理直角投影定理直线在直线在H H面上的投面上的投影互相垂直影互相垂直ABCabcHa c b abc.例例3 3过过M M点作直线点作直线MNMN垂直于垂直于水平线水平线ABAB和正平线和正平线CDCD。xocdbaabcdmmnn例：已知正方形例：已知正方形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC，并知，并知B B点点距距H H面面30mm30mm，求作该正方形的两面投影。，求作该正方形的两面投影。xocaac思路：思路：1

27、. AC1. AC是水平线，根据直角是水平线，根据直角投影定理及正方形的几何投影定理及正方形的几何特点可知，特点可知，bdbd与与acac互相垂互相垂直平分，据此，过直平分，据此，过acac的中的中点点k k作直线，作直线，bdbd即在此直即在此直线上，线上，k k为中点；为中点；2. ac2. ac长度即为长度即为BDBD实长，实长，又根据又根据B B点的点的y y坐标坐标30mm30mm，可得到可得到BKBK的坐标差；的坐标差；3. 3. 用直角三角形法求出用直角三角形法求出BKBK或或KDKD，并完成，并完成 正方形正方形的两面投影。的两面投影。2.4 2.4 平面的投影平面的投影不在同

28、一直不在同一直线上的三个线上的三个点点一条直线一条直线和直线外和直线外的一点的一点平行的两条平行的两条直线直线相交的两条相交的两条直线直线任意平面任意平面图形图形a b c a b c d d a b c a b c c a b c a b c a b a b c b a c a b c 1.几何元素表示法几何元素表示法2.迹线表示法迹线表示法平面与投影面的交线，称为平面的平面与投影面的交线，称为平面的迹线迹线。X X Y Y Z Z O O V V H H W WP PV V P PH HP PW W Z Z Y YH HY YW W X X O OP PH HP PW W P PV V 注

29、意：注意：三条迹线不是一条直线的三面投影！三条迹线不是一条直线的三面投影！垂直垂直 倾倾斜斜 平面平行投影面平面平行投影面投影体现实形投影体现实形平面垂直投影面平面垂直投影面投影聚成直线投影聚成直线 平面倾斜投影面平面倾斜投影面投影类似原平面投影类似原平面 真实性真实性类似性类似性积聚性积聚性知识回顾：知识回顾：平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性平行平行 平面对于三投影面的位置可分为三类、平面对于三投影面的位置可分为三类、七种七种：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面特殊特殊位置位置平面平面 垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影

30、面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面一般一般位置位置平面平面XZabcacbabcOYHYW 1.H面投影积聚成一直线；2. 、 反映平面对V、W面的倾角。（1 1）投影面垂直面）投影面垂直面（1 1）投影面垂直面）投影面垂直面正正 垂垂 面面正面投影正面投影p 积聚为一积聚为一与投影轴倾斜的与投影轴倾斜的线段，并反映线段，并反映、角。角。水平投影水平投影p 和侧面投影和侧面投影p” 都是缩小的类似形。都是缩小的类似形。ppp”XZYWY

31、HOpp”侧侧 垂垂 面面侧面投影侧面投影p 积聚为一积聚为一与投影轴倾斜的与投影轴倾斜的线段，并反映线段，并反映、 角。角。水平投影水平投影p 和正面投影和正面投影p 都是缩小的类似形。都是缩小的类似形。pp”XZYWYHOppABC为什么为什么位置的平面位置的平面abca c b c b a 投影特性：投影特性： 在它垂直的投影面上的投影积聚成直在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。与另外两投影面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影有类似性。另外两个投影面上的投影有类似性。为什么？为什么？类似性类似

32、性类似性类似性积聚性积聚性铅垂面铅垂面（2 2）投影面平行面）投影面平行面 （2 2）投影面平行面）投影面平行面 积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性水平面水平面投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。在它所平行的投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。应的投影轴平行的直线。a b c a b c a b c 正平面正平面正面投影正面投影p 反映平面反映平面P的实形；的实形；水平投影水平投影p 和侧面投影和侧面投影p” 都积聚为直线，分别都积聚为直线，分别OX轴和轴和OZ轴。轴。YWppp”XZYHOa

33、Xabccb例例 含点含点A作作 ABC/ V面。面。 分分 析析: 正平面的水平投影正平面的水平投影积聚为直线并积聚为直线并X轴。轴。 作法：作法：作作abc / X轴。轴。 作作abc ABC。图图 4-8(a)PVbcbXc例例 含水平线含水平线BC作水平面作水平面 / H面。面。图图 4-9(b) 所作水平面所作水平面P用迹线表示，用迹线表示，PV与与bc重合。重合。a b c a c b a b c （3 3）一般位置平面）一般位置平面三个投影都类似。三个投影都类似。投影特性：投影特性：例：例： 根据轴测图，补画立体投影图上的表面根据轴测图，补画立体投影图上的表面ABPEK、BPC、

34、FGIJ的正面和侧面投影，并判断这的正面和侧面投影，并判断这些平面为何种位置平面。些平面为何种位置平面。直线在平面内的几何条件直线在平面内的几何条件BACP1. 1. 通过平面内的两已知点通过平面内的两已知点MN直线直线MN在平面在平面P内内1.1.平面内的直线平面内的直线NMEFD 结论结论 ： 要在平面内取直线要在平面内取直线, 必须先在平面内必须先在平面内的已知直线上取点的已知直线上取点,再过点作直线。再过点作直线。直线直线MN在平面在平面P内内2. 2. 通过平面内的一点并平行于平面内的另一直线通过平面内的一点并平行于平面内的另一直线P直线在平面内的几何条件直线在平面内的几何条件有无数

35、解。有无数解。abcb c a abcb c a d mnn m d例例1 1：已知平面由直线：已知平面由直线ABAB、ACAC所确定，试所确定，试 在平面在平面 内任作一条直线。内任作一条直线。解法一：解法一：解法二：解法二：根据定理一根据定理一有多少解有多少解根据定理二根据定理二bcbXca12213344直线直线 不在不在 P面内。面内。a例例2 判断直线判断直线是否在是否在P(AB AC)内。内。分析分析: 如如在在P面内面内则则与与AB, AC或者或者相交相交; 或者与其中一或者与其中一条相交而与另一条平条相交而与另一条平行。行。例例2：在平面：在平面ABC内作一条水平线，使其到内作

36、一条水平线，使其到 H面的距面的距 离为离为10mmn m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解有多少解例例1：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。bacc a k b k 面上取点的方法面上取点的方法abcab k c d kd利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解取自平面上的一条直线（通过在面内作辅助线求解）取自平面上的一条直线（通过在面内作辅助线求解）2.2.平面内的点平面内的点首先在平面首先在平面内取一条线内取一条线ded e m m 例：在例：在ABCABC内取一点内取一点M M，并使其到，并使其到H H面面V V面的距面的距

37、 离均为离均为10mm10mm。b c X X b c a a O O 10101010bckada d b c ada d b c k bc例：已知例：已知AC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影的水平投影解法一解法一解法二解法二ll1232”1”babzywyHXOcac2134a”c”4gg3”b”4”例例 4： 完成平面图形的水平投影，并求侧面投影。完成平面图形的水平投影，并求侧面投影。利用平行性利用平行性1.1.直线和平面平行直线和平面平行定理定理 如果平面外的一如果平面外的一条直线和平面内的一条条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直直线平行，那么这

38、条直线和这个平面平行线和这个平面平行QABCD2.5 2.5 直线与平面及两个平面的相对位置关系直线与平面及两个平面的相对位置关系 2.5.1 2.5.1 平行问题平行问题例例 ： 判断直线判断直线ABAB与与是否平行。是否平行。ab321ab312x 作作 法法 (1)(1)在平面任一投在平面任一投影中，作面内直线影中，作面内直线CFCFABAB的同面投的同面投影。影。(2) (2) 求求CFCF的另一投的另一投影，并判断直线影，并判断直线CFCF是否是否ABAB 。dfcfdc例：例： 含点含点I(1,1I(1,1) )作平面与作平面与 直线直线AB(ab,aAB(ab,ab b平行。平行

39、。2 22 21 13 31 13 3a aa aX X 作作 法法(1) (1) 过点过点作直作直线线与与ABAB平平行行(2)(2)含直线含直线作一任意平面。作一任意平面。有几解？有几解？过过MM点作直线点作直线MNMN平行于平面平行于平面ABCABC中的正中的正平线平线有几解？有几解？2. 2. 平面和平面平行平面和平面平行定理定理 如果一个平面内的相交两直线与另一个平面如果一个平面内的相交两直线与另一个平面内的相交两直线对应平行，那么这两个平面平行。内的相交两直线对应平行，那么这两个平面平行。PQABCDC1D1A1B1c2Xa2 b2 b2a2c2 b1b1a1c1 a1 c1例例

40、判断两平面是否平行。判断两平面是否平行。 分析：分析：若两若两面相互平行，面相互平行，则它们有一对则它们有一对相互平行的相相互平行的相交直线。交直线。例例 含点含点A A1 1作平面平行于平面作平面平行于平面 ( (A A2 2B B2 2A A2 2C C2 2) )。c2Xa1a2 b2 b2 a1a2c2b1 b1c1 c1图图 5-3 5-3 讨论讨论 相互平行的两投影面垂直面，它们的一对有相互平行的两投影面垂直面，它们的一对有积聚性的同面投影必平行。积聚性的同面投影必平行。x xa ac ca ab bc cb b1 12 23 31 12 23 3d dd d图图 5-4 5-4

41、若两正垂面相若两正垂面相互平行，则它互平行，则它们的正面投影们的正面投影相互平行。相互平行。 2.5.2 2.5.2 相相 交交 问问 题题 直线与平面不平行时即相交，交点是直直线与平面不平行时即相交，交点是直线与平面的线与平面的共有点共有点； 两平面不平行时必相交，其交线是两平两平面不平行时必相交，其交线是两平面的面的共有线共有线。 交点为线与面两者所交点为线与面两者所共有共有，如果其中，如果其中有一个处于垂直投影面的特殊位置，则可有一个处于垂直投影面的特殊位置，则可利用其投影的积聚性利用其投影的积聚性直接求出交点的一个直接求出交点的一个投影，另外的投影可根据从属性按投影关投影，另外的投影可

42、根据从属性按投影关系求出。系求出。1.直线与平面相交直线与平面相交k k1 1(2(2) )c ce ed da ab bc ca ab be ed d例：例： 求直线求直线ABAB与面与面CDECDE的交点的交点K K，并并判断可见性。判断可见性。(1)(1) 利用铅垂面水利用铅垂面水平投影的积聚平投影的积聚性求交点性求交点1 12 2k k1 1x xc ce ed da a （b b）c ca ab be ed d例例 求正垂线求正垂线ABAB与与CDECDE的交点的交点K K。 分分 析析 利用线利用线V V面投影面投影的积聚性确定交点的积聚性确定交点的一个投影，根据的一个投影，根据点

43、在面上求出交点点在面上求出交点的另一投影。的另一投影。1 12 2k k2 2k k 两平面不平行时必相交，其两平面不平行时必相交，其交线交线是两平面的是两平面的共有共有线，是平面可见部分与不可见部分的分界线线，是平面可见部分与不可见部分的分界线。 两平面的交线是直线。因此，求作两平面交线的两平面的交线是直线。因此，求作两平面交线的方法是：方法是：求出交线上的两个点，在两个平面的公共范求出交线上的两个点，在两个平面的公共范围内连出交线围内连出交线。2.两平面相交两平面相交deaab bXedffcckl例例 求求DEFDEF(HH面面) )与与ABCABC的交线的交线KLKL。 分分 析析 利

44、用利用dfedfe的积聚的积聚性，求两平面交性，求两平面交线。线。k1 1(2(2) )12（1 1） 求出交线后，对于求出交线后，对于两平面同面投影重叠两平面同面投影重叠的部的部分，要判别可见性（不重分，要判别可见性（不重叠的部分都是可见的）。叠的部分都是可见的）。（2 2）交线交线是可见部分与不是可见部分与不可见部分的分界线。可见部分的分界线。（3 3）判别方法判别方法 A.A.直接观察直接观察; ; B. B.利用交叉直线的重利用交叉直线的重 影点。影点。l 分分 析析 利用水平面利用水平面e ef fg g的积聚性求两平面的积聚性求两平面交线。交线。ecgf1efg1dbakllabc

45、dkx例例 求求EFGEFG(HH面面) )与平面与平面ABCDABCD的交线，并判断可见性。的交线，并判断可见性。 本题中两平面图形本题中两平面图形只有部分互交。求交只有部分互交。求交时要注意除去交线多时要注意除去交线多余的部分。余的部分。 当两平面同时垂直某一投影面时，当两平面同时垂直某一投影面时，它们的交线也是此投影面的垂直线。它们的交线也是此投影面的垂直线。xegfefgcbaabc例例 求两面的交线。求两面的交线。1. 1. 直线和平面垂直直线和平面垂直 2.5.3 2.5.3垂直问题垂直问题1) 1) 平面具有积聚性时平面具有积聚性时垂直于该平面的直线垂直于该平面的直线一定平行于该

46、投影面一定平行于该投影面2 2） 一般位置一般位置定理定理 如果一条直线和一个平如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。么这条直线垂直于这个平面。 若直线若直线平面，平面， 则其则其平面内的所有直线，包括平平面内的所有直线，包括平面内的投影面平行线面内的投影面平行线LBACDP直线与平面垂直的投影特性：直线与平面垂直的投影特性：直线的水平投影直线的水平投影平面平面内水平线的水平投影，直线的正面投影内水平线的水平投影，直线的正面投影平面内正平平面内正平线的正面投影。线的正面投影。c cC CKA Ak ke eMMB BE EF Ff f

47、a ab bc cHHe ec cb ba aa ab bf ff fe ed dd dkkmmX X m mk k e ef f, mk ad, , mk ad, MK MKABCABC所确定的平面。所确定的平面。QQHHa aa ab bb bc ce ek kc ck ke e1 12 22 21 13 34 44 43 3f ff fX X例例 含点含点E作直线垂直于作直线垂直于ABC，并求垂足。，并求垂足。先求平面的先求平面的垂线，然后求垂线，然后求垂线与平面的垂线与平面的交点交点定理定理 若一直线若一直线一平面，则一平面，则包含该直线的一切平面都包含该直线的一切平面都该该平面。平面

48、。反之，若两平面互相垂直，反之，若两平面互相垂直，则从第一平面内的任意一点向则从第一平面内的任意一点向第二平面所作的垂线，必定在第二平面所作的垂线，必定在第一平面内。第一平面内。简述简述 若一平面包含垂直于另若一平面包含垂直于另一平面的直线，则此两平面互一平面的直线，则此两平面互相垂直。相垂直。 两平面垂直的条件两平面垂直的条件2. 2. 平面和平面垂直平面和平面垂直例例 含点含点A A作平面垂直于作平面垂直于。1 12 23 31 12 23 35 54 45 54 4c ca ab bx xa ab bc c 分分 析析 含点含点A A只能作只能作一条直线一条直线定平定平面，但包含此垂面，

49、但包含此垂线可作无穷多个线可作无穷多个平面，即本题有平面，即本题有无穷多解无穷多解ababOX反映直线的实长反映直线的实长直线对直线对H面的倾角面的倾角一般位置直线、平面不能反映实长一般位置直线、平面不能反映实长或实形，也没有积聚性或实形，也没有积聚性问题的提出问题的提出解决方法？解决方法？投影变换投影变换换面法和旋转法换面法和旋转法 2.6 2.6 变换投影面法变换投影面法2.6.1 2.6.1 变换投影面的基本概念变换投影面的基本概念 几何元素保持不动，而改变投影面的几何元素保持不动，而改变投影面的位置，使新的投影面与几何元素处于有利位置，使新的投影面与几何元素处于有利于解题的位置。于解题

50、的位置。（2 2）新投影面必须垂直于原来投影面体系中的一）新投影面必须垂直于原来投影面体系中的一 个投影面，以组成一个新的两投影面体系个投影面，以组成一个新的两投影面体系（1 1）新投影面投影面必须处于有利于解题的位置）新投影面投影面必须处于有利于解题的位置新的投影面新的投影面H1不变的投影面不变的投影面V被更换的投影面被更换的投影面H1. 设置新投影面的原则：设置新投影面的原则：a1ax1=aax2. 点的投影变换规律点的投影变换规律1) 1) 变换一次投影面变换一次投影面 1 1）新投影与被保留投影之）新投影与被保留投影之间的连线始终垂直于新投影间的连线始终垂直于新投影轴，即轴，即a aa

51、 a 1 1xx1 1轴；轴；2 2） 新投影到新轴的距离新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离，等于旧投影到旧轴的距离，即即2022-3-1106XOX1O1aaa1HV1VH1、 新投影与不变新投影与不变投影之间的连线垂投影之间的连线垂直于新投影轴直于新投影轴；2、新投影到新轴的新投影到新轴的距离等于旧投影到距离等于旧投影到旧轴的距离旧轴的距离。1072 2） 二次变换投影面二次变换投影面 变换两个或两个以上的投影面时，新投影变换两个或两个以上的投影面时，新投影的求作原理与更换一个投影面时完全相同的求作原理与更换一个投影面时完全相同v面和面和H面必须交替换面必须交替换 将投影面的平行线将

52、投影面的平行线变换为投影面垂直线变换为投影面垂直线一般位置线一般位置线变换为投影面平行线变换为投影面平行线2.6.2 2.6.2 四个基本问题及作图方法四个基本问题及作图方法将一般位置平面将一般位置平面变换为投影面垂直面变换为投影面垂直面 将投影面的垂直面将投影面的垂直面变换为投影面平行面变换为投影面平行面1091.1.将一般位置直线变换成新投影面平行线将一般位置直线变换成新投影面平行线 若求直线的实长及其与投影面的倾角时，可用变若求直线的实长及其与投影面的倾角时，可用变换一次投影面来解决。换一次投影面来解决。例例1 1：求直线：求直线ABAB的实长及与的实长及与H H面的夹角面的夹角 。空间分析：空间分析：H HV VA AB B a a b b a ab bX X 用用V1V1面代替面代替V V面，在面，在V1/HV1/H投影体系，投影体系，AB/V1AB/V1。110V V1 1X X1 1 a a b b a a