大课课件第11讲

1、§3.7自旋与粒子参考资料：量子力学初步，教育，1978.第84102页量子物理华，高等教育社， 2001 . 第5055,105110页量子力学（第二版）编著，高等，2002. 第262265页教育一电子自旋在相对论量子力学中，根据理论推导，电子必然具有自旋。例如在Dirac方程中。电子相对论性量子力学方程在非相对论量子力学中，电子的自旋是根据实验事实引进的。1.提出电子自旋的实验根据Ø碱金属光谱的双线结构。5890 A。5896 A。Na(钠)光源的黄线 5893A1.提出电子自旋的实验根据产生能级的如果只考虑核以及其他电子对价电子的库仑作用Z ¢e21V (

2、r) = -4peéù2r+ V (r)úy (r ) = Ey (r )ê-Ñ202mëûìmZ ¢2e41= -2 (4pen = 1, 2, 3,ïEnï,)2n220ïl= l (l + 1),l = 0,1, 2, n - 1ílïm = 0, ±1, ±2, ±lïïîy nlm (r,q ,j ) = Rnl (r)Ylm (q ,j )产生能级的如果只考虑核以及其他电子对价电子的库

3、仑作用Z ¢e21V (r) = -4peéù2r+ V (r)úy (r ) = Ey (r )ê-Ñ202më4dû4f4s4p3s3p3d2s2p1senergy作用(实极化和轨道贯穿等)，使实的得能级的l简并解除（参考量子物理华 罗， 2001 . 第235236页），高等教育双线结构所显示的能级不可能是由于“轨道”运动状态不同而引起的，一定是由于电子还有别种运动的缘故。借用经典图像：电子除了绕核运动外，还有“自转”自旋。电子带电，有自旋就伴随着有磁矩。这磁矩与电子轨道运动所产生的磁场相互作用（自旋-轨道耦

4、合）。磁矩与磁场的相对取向不同，相互间的作用能也不同，使得原本简并的能级发生。双线结构能级二重磁矩相对磁场有两种取向：平行和反平行ØStern-Gerlach实验角动量和磁矩的的旋转运动一定的磁矩 m按照经典模型，电子的轨道运动相当于一个闭合电路 中的电流，而一个载流回路的磁矩m = IS回路包围的面积电流I = -e在轨道上的任意一点，电子每周期T通过一次，故电子T设轨道是椭圆的角速度r wdt12122pTòòr djS =22001llTTTdt =0òòm r wdt =2e2m2m2m0eeelmer2为角动量，是守恒量m = IS

5、= -elTeell= -m= -l = -BT 2m2m2meeeem=是轨道磁矩的最小单元，称为磁子B2meStern-Gerlach实验z，一个具有磁矩 m 的设磁场及其梯度的在不均匀的磁场中感受到的力f = m dB = m dB cosqzdzdz本实验的主要目的是要观测 m 在磁场中的取向情况。用不均匀的磁场是要把不同 角度的分出来。的力垂直于它的前进方向，磁矩 m 方向偏转不同。磁场对不同的通过不均匀磁场区域的纵向距离为L，v是它设们的纵向速度，则通过不均匀磁场区域的时间是t=L/v，横向度a=f/m使束最后在底板P上产生的横向位移为æ L ö2m dB &#

6、230; L ö211fcosqS =at2 =ç÷ç÷22 m è v ø2m dz è v øGerlach's postcard, dated 8 February 1922, to Niels Bohr. It shows a photograph of the beam splitting, with the message, in translation: "Attached is the experimental proof of directional quantizat

7、ion. We congratulate you on the confirmation of your theory."实验结果观测结果：银束在磁场中为朝相反方向偏转。的两束，没有不偏转的物理解释：a)束分成两束，说明有两个在磁场中只有两个取向。值，说明地证银明了在磁场中的取向是量子化的。b)测得相片上两黑斑的距离，再把式中其他数值分别测得或推得，可计算出.对应于两黑斑的，可以合理地设想为0°和180°，这样求得的子的理论值。这表明值正是一个磁磁矩确是一个玻尔磁子理论值那样的数量级。c)处于基态（价电子在5s态，实验中的银n=5,l=0），轨道磁矩为0（m=0）

8、。既然这些在磁场中发生偏转，这说明它们是有磁矩的。这磁矩从何而来？根据测量，这磁矩约等于1磁子，因此必是与电子有核的。磁矩而不可能是lml = -mB如果里的电子只有轨道角动量，则的磁矩是各电子轨道磁矩的矢量和，它也正比于电子轨道角动量的矢量和L = ålii按角动量的法则，j=j1+j2,j1+j2-1, ,|j1-j2|m=m1+m2总轨道角量子数L和总轨道磁量子数mL都应该是整数，从而其简并度2L+1为奇数银束在磁场中为两条，若套用公式2L+1=2，则意味着L=1/2按量子力学的轨道角动量理论，这是不可能的Ø 电子自旋的其他证据反常塞曼效应在不太强的磁场中，一些序数Z

9、为偶数现象，称为的光谱发生正常的三正常塞曼效应，不必考虑电子自旋就可以序数Z为奇数的解释；而另一些在弱磁场中发生复杂的现象，称为反常塞曼效应，需要考虑电子自旋以及自旋轨道耦合作用。2.Uhlenbeck Goudsmit 理论设想电子本身具有固有的自旋角动量S 和与这个的固有磁矩 mS ，并且有固有自旋角动量相s = 1= s (s +1)S 22 ,2= - 1 , 1= mS,mzSS22S ,mS= -gS mBgS= 2gs因子自旋是个内禀的物理量无经典对应量 满足角动量对易3.电子的自旋角动量算符及其本征值和本征态角动量的基本对éëJ, Jùû

10、 = ei J ，a , b ,g = x, y, zJababggJ ´ J = i即J2= Jx+ J+ J222yz定义(a = x, y, z)éùû = 0,易证2J, Jëa= j ( j +1)ì= l22JjmjmjmjmjmïjíJ本征方程= m= mjmïîìzmì0,1, 2,= ïNï j =í 1352íïïîm =,量子数ïî2 2 2j, j - 1, j

11、- 2, - j + 1, - jìl= N æ N + 1ö= j ( j + 1)³ 0,222 ç 2÷本征值jïèøN = 0,1, 2,í,æ N - 1öæ - N + 1ö= N, - Nïm= m,ç 2÷ç÷ïm2èøè2ø2î电子的自旋角动量算符按普遍角动量的性质，电子自旋角动量满足éS, S ù = ei

12、S ，a , b ,g = x, y, z(a = x, y, z )ëb ûaabggéS2 , S ù = 0,ëa û于是自旋角动量分量的本征值为mSmSs,s+1, ,s1,s共2s+1个可能值。ìs = 12s +1 = 2 Þ ï2= ±í二重态12ïm实验上成两束ïîS自旋的本征函数为 Sz令和的正交归一本征矢，即­¯SzSz­= +2­ ,¯= -2¯­ ­=&

13、#175; ¯= 1­ ¯= 0= 34= 34则= s (s +1)= s (s +1)S2­­­22S2¯¯¯22S2和Sz算符的矩阵形式S2和S 的共同表象中zæö­ S2­ S2­­¯¯= ç÷ =æ10ö34h2 ç÷S 2ç÷ç 01÷¯ S2¯ S2ç÷èø

14、;èø0 öæ 1S =-1÷2 ç 0zèø自旋态函数和自旋算符的矩阵表示自旋态函数用×的列矩阵表示= æ 1 ö,= æ 0ö­¯ç 0÷ç 1 ÷èøèø相应地，自旋算符就要用2×2的矩阵来表示常引进算符s 以省去系数/ 2，定义S =s 2s的对易éS, S ù = ei S ，a , b ,g = x, y, zëb

15、ûaabggéësa ,sb ùû = eabg 2isg，s ´s = 2isa , b ,g = x, y, zs2和sa (a = x, y, z)的本征值SzSzszsz2­= +­,¯¯¯= -¯,22sz­= ­= - ¯sz2­ = sz= -sz­= ­¯= ¯任何自旋态函数都可以表示为 ­和¯的线性组合= c1­ + c2¯(¯

16、) = cs= s­+ c­+ c¯=22czz1212(¯ ) = cs= s­+ c­+ c¯=22czz1212sz2= 1z轴的选取任意，由对称性知sx2= sy2= sz2= 1s2= sx2+sy2+sz2= 3易定义é A, Bù= AB + BAëû+éësx ,sy ùû+= sxsy + sysx1 (s s1 s)s(s s)- s s- s s=+yzzyyyyzzy2i2i= 0éësy ,sz &#

17、249;û+= 0sz ,sx + = 0s ´s = 2issx ,sy和sz算符的矩阵形式S2和S 的共同表象中z0 öæ 1S =2 ç 0-1÷zèø0 ö= æ 1sç 0-1÷zèøb öd ÷= æ as= sÞ c = b*sç cxxx0 = è+øs ss xs zzx= æ ab öæ 10 ö + æ 10 

18、46;æ ab öd ÷ç 0-1÷÷çd ÷çç 0-*b1bèøèøèøèø-b ö + æ= æ aö = 2æ aöab0ç-d ÷ç-d ÷ç 0-d ÷-b*bèøèød = 0böèøa = 0,= æ 0

19、sç0÷x*bèø= æ 0bösç0÷x*bèøæ b 2ö0s= ç÷ = 12çb 2 ÷x0èø= æ 01ösç 10÷xèø= 1 (s s)s- s syzxxz2i1 ææ 10 öö0 öæ 01ö - æ 01öæ 1=-1÷&#

20、247;2i çç 0-1÷ç 10 ÷ç 10 ÷ç 0èè-i öøèøèøèøø= æ 00 ÷ç ièø泡利矩阵-i ö,= æ 01ö,= æ 0= æ 10 össsç 10÷ç i0 ÷ç 0-1÷xyzèø

21、;èøèø0 ö-i ö,æ 01ö,æ 0æ 1S=S=S2 ç 10÷2 ç i0 ÷2 ç 0-1÷xyzèøèøèø泡利矩阵不是唯一满足对易s ´s = 2is的矩阵自旋算符的本征函数Szm = lmm取Sz表象，本征方程为0 öæ 1ö =æ 1ö æ 12 ç 0-1÷

22、1; 0÷2 ç 0÷èæ 1øèøèø本征值和本征函数为0 öæ 0öæ 0ö-1÷ç 1÷ = - 2 ç 1÷2 ç 0æ 1ö1èøèøèøl1= ç,÷è 0ø222= æ 0ö- 1l= -,ç÷- 122è

23、 1ø2包含自旋在内的电子波函数y (x, y, z, sz ,t)Y = æy1 (x, y, z,t ) öçy(x, y, z,t )÷èø2y (x, y, z,t ) = y æ x, y, z,t öç÷1è2øy (x, y, z,t ) = y æ x, y, z, -,t öç÷2è2ø电子波函数的归一化及几率解释yæö(y)òòòyYYd

24、r =1* 1*drçy÷2è2 ø(y2 )dr = 12 + y=12t时刻在(x,y,z)处找到电子的几率密度yæöYY = (y)2 + y2y= y1* 1*çy ÷212è2 øØ 思考题：Sx表象和Sy表象的结果如何？注意本节的讨论只适用于自旋为1/2的体系，比如电子。对自旋取其他数值的粒子，比如自旋为1的粒子，自旋算符要用3×3矩阵表示。但可仿照本节的讨论。4.自旋单态和三重态Ø 目的：讨论两个自旋为1/2的粒子自旋之间的耦合无耦合表象 s1z ,

25、s2 zm1m212基底：121212- 1,21212- 112- 1- 1,2221212两个2维态矢量空间相乘得到一个4维态矢量空间æ 1öæ 0ö1212= ç÷= ç÷-è 0øè 1øææ 1ö öæ 1öææ 0ö öæ 0öç 1´ç÷ ÷0ç÷0ç 1´

26、;ç÷ ÷1ç÷1= çø ÷ = ç÷= çø ÷ = ç÷12121212èè-çæ 1ö÷ç 0÷çæ 0ö÷ç 0÷ç 0 ´ç÷÷ç÷è 0øç 0 ´ç÷÷&

27、#231;÷è 0ø1212è 0øøè 1øøèèææ 1ööæ 0öææ 0ööæ 0öç 0 ´ç÷÷ç÷ç 0 ´ç÷÷ç÷è 0ø÷ = ç 0÷è 1

28、8;÷ = ç 0÷= ç= ç- 1212- 12- 12çæ 1ö ÷ç 1÷çæ 0ö ÷ç 0÷ç 1´ç÷ ÷ç÷è 0øç 1´ç÷ ÷ç÷è 1ø1212è 0ø øè 1ø ø

29、;èè两个粒子的总自旋波函数对称的自旋三重态和称的自旋单态ïí S (2)=对称的ïïï S (3)=ïî反A无耦合表象中两个粒子的总自旋波函数的矩阵表示对称的自旋三重态和称的自旋单态ï S (3) =ïïî2 ç 1 ÷ç÷è 0øæ0 öç÷ç 1 ÷1A =2 ç-1÷÷0çèø耦合

30、表象定义总自旋S2 , S耦合表象zS = s + s12SzS2= s1z + s2 z= Sx2+ Sy2+ Sz2+ (s)2= (s)2+ (s+ s)2+ s+ s1x2 x1 y2 y1z2 z+ 2s × s= s 2+ s21= 32212+ 2(s)+ s+ s2sss1x2 x1 y2 y1z2 z两个2维Hilbert空间的算符相加得到一个4的算符Sæ0ööæ1ööæ 10öæ 1h æ 01öh æ 0hç 0 ´

31、1;0÷÷1ç 1´ç21÷÷0÷1´ç20÷00 ´ç21= çø÷ + çø÷èøèæ 1èøèç h0ö ÷ç1ö ÷æ 10öh æ 01öh æ 0ç´ç20÷ ÷1&#

32、231; 0 ´ç21÷ ÷0÷10 ´ç0÷01´ç21èøèø øh20èøèø øèæè0 öæ 0öh20ç 0÷ç0 ÷0000ç0÷hçh÷0æ 0100110010öç= ç÷ç

33、7;÷ =ç÷12 ÷ + ç 21hç÷1÷ç h÷çh ÷2 ç 10h20h2ç 20 ÷ç 02 ÷ç 00÷0000èøç÷ç00÷ç 0÷çøè0 ÷èø两个2维Hilbert空间的算符相加得到一个4的算符- i00i00- i00iæ 00 &#

34、246;ç÷- i ÷- i ÷= h ç iS= sÄ1+1 Ä s2 ç iy1y212 yç 0÷0èæ 1ø0 ö00ç÷0 ÷0 ÷÷+1 Ä s= hç 0S= sÄ1ç 0z1z212 z000110000110ç 0-1øèæ 20öç÷0÷0÷0çS2

35、= S+ S+ S= h2222ç 0ç 0xyz2÷èøæ 0ç1öæ 1öæ 0öæ 01ö,121212=S=÷ =÷ =-Sx2 ç 10 ÷÷ççxèæ 0ø2 è 10 øè 0 ø2 è 1ø2-i ö,æ 0ç1öæ 0 ö

36、æ 1ö=S122 ç i0 ÷S-=÷ =÷ =yèø0 ö÷ççx2 è 10 øè 1ø2 è 0ø2æ 1=ç20Sz-1÷-i öæ 1öæ 0æ 0ö1212èæ 1 öø=i -Si2 ç i0 ÷ç 0÷ç 1÷y

37、22èøèøèø12= ç÷è 0 ø-i öæ 0 öæ 1öæ 0112-212- 12=ç2i0 ÷ç 1÷ = - 2 i ç 0 ÷ = -Syiæ 0 ö12èæ 1øèøèø-2= ç 1 ÷èø0 öæ 1

38、6; =æ 1ö =12S=-1÷ç 0 ÷2 ç 0 ÷2 ç 0z2èøèøèø0 öæ 0 ö = -æ 0 ö = -æ 1- 12S=2 ç 0-1÷ç 1÷2 ç 1÷z2èøèøèøS2和Sz的本征值æ ö÷= 312121212121

39、21212S (1)S (1) +S2+ s+ s2sss2ç s1x2 x1 y2 y1z2 z2è2 ø12121ö2 æö÷321212æ12121212=+ 2 çç - -+2÷è 2 øè2 ø12121211212S (1)= 1(1+1)S (1)= 2= 22221212121212S (1) = (s+ s)S (1)S=z1z2 z1212S2和Sz的本征值0öæ 1öæ 1ö

40、;æ 1öæ 2011001100000÷ç÷00ç÷0ç÷0ç0÷ç÷ = 2h2 ç÷ = 1(1+1)h2 ç÷ = 1(1+1)h2çç 0S (1)S (1)S2= h20÷ç 0÷ç 0÷ç 0÷2÷ç 0÷ç÷0ç÷0ç 0è

41、øèøèøèø0 öæ 1öæ 1öæ 10000÷ç÷00ç÷0ç0÷ç÷ = hç÷ = h S (1)= hçS (1)S0 ÷ç 0÷ç 0÷ç 0ç 0z÷ç÷-10ç÷0èøèø

42、èøS2和Sz的本征值S (2) = 2S (2)S2Sz S2 Sz S2Sz2S (2)S (3) S (3)S (2)= -= 2= 0S (3)2= 0= 0AA耦合表象基底的量子数S (2)=-2-1æ112S (3)=2 çè12æ-2 çè1两个电子自旋组合的四种可能态111 -11000小结S =s 2s ´s = 2isS ´ S = iS,2S= Ss= Ss= s= s= 1222222,xyzxyz4-i ö,1ö,0 ö= æ 0

43、= æ 0= æ 1sssç 10÷ç i0 ÷ç 0-1÷xyzèøèøèø2.Sz 的本征函数在Sz表象中是= æ 1ö12- 12ç 0 ÷èø= æ 0 öç 1÷èø两电子体系的自旋函数有单态，它的总自旋S0，是称态；还有三重态，它的总自旋S1，是对称态二粒子系统与波函数的对称性参考资料：量子力学初步，教育，1978.第9810

44、1页，2002.量子力学第212220页量子力学导论著，科学言 著，社，1998. 第156159页1.性原理与波函数的交换对称性宏观世界气象万千，物质的性质千差万别，可以使两个物体性质十分相近却找不到完全相同的物体。微观世界中，、核和各种基本粒子等的种类有限，每一种微观粒子有完全相同的内禀性质。例如所有电子都、质量、自旋等有完全相同的粒子的定义内禀固有属性完全相同的粒子(m,e,s,)称为粒子例如所有电子组成一类所有质子组成另一类粒子粒子所有中子、子、 介子等各自组成一类粒子两个微观粒子要么不同种类，要么性质完全相同。这也是一种量子现象。微观粒子的性对经典力学没有影响经典力学中可以通过粒子的

45、轨道区分粒子。所以内禀性质的微观粒子丧失个性：不能使经典力学中的粒子系中每个粒子的运动过程，交仍有换两个的状态和各自粒子将导致系统状态的改变。AB微观粒子的性对量子力学有重大影响量子力学中，微观粒子的波动性使轨道概念不适用。在波函数重叠的区域找到的一个粒子，到底是粒子A还是粒子B？xABt量子力学中的两个是否态和粒子系中每个粒子仍有的运动过程？的状交换两个改变？粒子是否会导致系统状态的只能是根据实验，而不是由现成的概念来回答。：只能根据原则上可观测的量与实验的比较建立内部的力学。粒子的交换态数交换两个粒子，如果会改变系统的状态，则交换前后应算两个态；如果改变系统的状态，则交换前后只能算一个态。

46、系统状态数目不同，会导致不同的统计分布。发现：按后一的统计结果。状态数，才能导致正确性原理系统的状态不因交换两个粒子而改变。粒子系统波函数的对称性用qi表示第i个粒子的全部“坐标”（即所取完备力学量组的所有量子数），连续变化的空间坐ri ，不连续变化的自旋Siz，以及其他所有可能的标“坐标”等。用 q1q2qiqjqN表示N个粒子的“坐标”同时确定的状态。则由这N个粒子组成的系统的任意一个状态象的q表Y(q1q2qN ) =qiqjq1q2qiqjqNP表示交换波函数中i,j两个以粒子“坐标”的运算ijP Y(q qq ) = Y(q q)qqqqqij12ijN12jiN性原理要求P Y(q

47、 q) = l Y(q q)qqqqqqij12ijNij12ijN显然()PY q q2qqqij12ijN= P Y(q qq ) = Y(q q)qqqqqij12jiN12ijNl= 1Þ l= ±12ijij性原理要求波函数对任一对全同粒子对称或称对称波函数 ij=1Y(q1q2qN ) = Y(q1q2qN )qiqjqjqi波函数对i,j两粒子对称称波函数 ij=-1Y(q1q2qN ) = -Y(q1q2称)qiqjqjqiqN波函数对i,j两粒子几点说明至于由某一种粒子组成的体系，它的波函数究竟应该是对称的还是决定。称的，要根据实验来由一种粒子组成的体系，

48、它的波函数的对称出现交换i,j是对称的，而交换称的。性是确定的，k,l时又变成由一种粒子组成的体系，它的波函数的对称性是固定的（不随时间改变），由对称的变成称的，也由称的变成对称的。证明：一类粒子只有一种对称性只需证波函数对同一类的任意两对的对称性都相同粒子若这两对粒子共一个粒子，证明就只涉及三个粒子。称它们为1,2,3，只需证12=23若这两对粒子不供粒子，证明涉及四个粒子。称它们为1,2,3,4，只需证12= 34，而这又只需证12= 23 ，23=34所以两种情况都只需证涉及三个粒子的情况Y (P23311231(q q q= PP231331Y= l23l31l12l23l12= 11

49、l= l=(因为l231212由一种粒子组的波函数对其中任意一对粒子的对称性是确定的波函数对每对粒子的对称性不随时间改变粒子系统的哈密顿算符对每对粒子完全对称（因为H (1, 2,P ij H (1, 2,粒子的性质完全相同）, N ) = H (1, 2, N ) Y (q1q2, N )qN,i,j, j,i,), i,i,j,j,qiqiqj, N ) Y (q1q2)= H (1, 2,= H (1, 2, j, i,qjqN, N ) P Y (q q)qqqij12ijNP H = HPijij交换算符 P 与 H对易ijéëP , H ùû

50、 = 0ij交换算符可看作一个绝对的守恒量，对称或称的波函数分别是这个守恒量本征值为1或1的本征函数。实验表明粒子的对称性质与统计性质凡是自旋为半奇数的其波函数都应当是统计，因而称为例如电子，质子，凡是自旋为整数的粒子组成的体系，称的，服从子。狄粒子组成的体系，其波函数都应当是对称的，服从玻色爱因斯坦统计，因而称为玻色子。例如光子，介子等自旋与统计性的这种关联可由相对论性量子场论证明。复合粒子的自旋与统计性忽略内部结构奇数个偶数个子组成的复合粒子仍是子子组成的复合粒子则是玻色子复合粒子的自旋到底是半奇数还是整数，取决于其中子的个数2.波函数的对称化，玻色统计与玻色凝聚波函数的对称化两个粒子组成

51、的系统对任意的波函数(q1q2)可以对称化得到(q q ) = N éY(q q ) + Y(q q )ùYsëû12s1221其中Ns是归一化常数，s对两个粒子是对称的。N个粒子组成的系统对任意的波函数(q1,q2, qN) 对称化可以得到, q ) = N åPY (q , q ,()Ysq , q , q12Ns12NPP 表示中自变量q1,q2, qN的一种排列，å表示对P所有可能的排列求和，Ns为归一化常数。, q ) = N åPY (q , q ,()Ysq , q , q12Ns12NP对其中任意一对粒子都是

52、对称的粒子i、j，把一种排列P 变成另一种排交换两个列P¢ = P P又P P¢ = P2P = P，因此P和 P¢ 一一对应。ijijij如果 P 跑遍所有可能的排列，则 P¢也跑遍所有可能的排列。, q ) = N åP PY (q , q ,()P Ysq , q , qij12Nsij12NP= N åP¢Y (q , q ,)()= Ys, qq , q , qs12N12NP¢ N个玻色子的粒子状态设i(q)是一组正交归一完备的子波函数，这组波函数的个数可以是有限个，也可以是无穷。如果N个粒子分别处于N

53、个子态中，就说这N个粒子的状态是例粒子状态Y =y1 (q1 )y2 (q2 )粒子态(qN )y N就是一个q1 = q2 = qN除非，否则Y =y1 (q1 )y2 (q2 )是不对称的。 将它对称化，得(qN )y N, q ) = N åPY (q , q ,()Ysq , q , q12Ns12NP= Ns åPy1 (q1 )y 2 (q2 )P(qN )y N求归一化因子子态彼此都不同如果式中N个, q ) = N åPy(q )y(q)y(q)Yq , q ,s12Ns1122NNPòYs*Ysdq dqdq12NåPyP)

54、åP¢yP¢()* (q)* (q(q )y(q)(q) dq dqò2qyyy=* 1Ndq1¢12¢2N ¢Ns122NN12NN !项N !项2 NsN !i(q)正交归一取Ns1=N !子态，例如N1个如果有若干粒子处于同一个粒子处于1态，N2个粒子处于2态，N1+N2+=N, q ) = N åPy (q )y(q , q ,(q)y(q)Ys12Ns1122NNP= Ns N1 ! N2 !å ¢Py1 (q1 )y 2 (q2 )P(qN )y N N !项N1 ! N2 !

55、42;Ys*Ysdq dqdq12N2 ( N)2å ¢Py (q )y (q)y(q ) å ¢Py (q )y (q)y(q)dq dqò=N! N !dqs121122NN1122NN12NPPN !N !项项N1 ! N2 !N1 ! N2 !N !2 ( N)22 N! N ! NN ! N ! N !s12s12N ! N !12可取N=1sN ! N ! N !12波函数对称化与玻色计统, q ) = 1 åPy(q )y(q)y(q)Yq , q ,s12N1122NNN ! N ! N !P12由于对称化，这N个粒子在N个态中的各种排列已“等权重”地叠加起来，再也不能区。已不能说哪个粒子处于哪个状态或哪个状态中的粒子是哪个粒子，每个粒子都丧失了个性。波函数对称化任意数目的粒子填入同一个量子态，这正是玻色统计的原则玻色凝聚分析各种分布的权重随系统所化设N个粒子分布在N个不同的Y =y1 (q1 )y2 (