讲义教案第六章

1、 6.2 化二次型为标准型化二次型为标准型三种方法：正交变换法，配方法，初等变换法三种方法：正交变换法，配方法，初等变换法一、正交变换法一、正交变换法5.8实实对对称称矩矩阵阵必必正正交交相相似似于于对对由由定定理理， 角角矩矩阵阵. .1T11,(,(,)AQQ AQQAQ实实对对称称阵阵，设设特特征征值值为为正正交交矩矩即即对对可可相相等等 ，则则阵阵，使使nndiagTT( ),.二二次次型型对对相相应应fxx AxAA正正交交矩矩阵阵，作作变变换换( (正正交交变变换换称称) )QxQyT1T2221 12 2( )()()可可使使nnffyyyxQyyQAQ yy yT2221 12

2、212,.x AxxQyAQA 对对任任一一个个元元实实二二次次型型存存在在正正交交变变换换使使二二次次型型化化为为标标准准型型其其中中为为实实对对称称矩矩阵阵的的特特征征值值，的的列列向向量量是是的的个个特特征征值值所所对对应应的的个个单单位位正正交交的的特特征征向向量量nnnnffyyynn用用化化二二次次型型为为标标准准型型的的方方法法称称正正交交变变换换正正为为交交变变换换法法. .定理定理6.2（主轴定理）（主轴定理）2221 12 2.正正交交变变换换下下的的标标准准 称称为为实实二二次次型型在在形形nnfyyy步骤步骤 - 正交变换法正交变换法12det()0,2,),.,所所有

3、有由由求求 的的；特特征征值值 nAAE123).,1,(),线线性性无无关关的的全全部部由由求求的的特特征征向向量量，正正交交化化 单单基基础础解解系系，即即对对应应且且化化于于并并位位iniinAE x0q qq12(,).,)4正正交交变变换换矩矩阵阵正正变变换换写写交交出出和和nQq qqxQy2221 12 25).:写写出出标标型型的的准准nnffyyyqQ注注意意：在在标标准准型型中中位位序序应应与与在在中中位位序序一一致致. .iiT).,1将将二二次次型型表表示示为为矩矩阵阵形形式式求求出出 ；f x AxA例例 1为标准型，并求所用的正交变换为标准型，并求所用的正交变换.用

4、正交变换化二次型用正交变换化二次型解解2221231 21 32 3444222fxxxx xx xx x4111 4111 4 二二次次型型矩矩阵阵 A2123411det()141(5) (2)1145,2AEA 得得的的特特征征值值1231111,0,1011 对对应应特特征征向向量量依依次次为为 ppp12312,注注意意：都都必必与与正正交交 但但不不正正交交，需需正正交交化化. .ppppp121121221,1,01把把正正交交化化得得 pp1231116321111232632163,0再再把把, ,单单位位化化 pqqq11126311126321630Qx = Qy 令令，

5、则则所所用用正正交交变变换换为为222123:552 化化为为二二次次型型为为ffyyy222123222123( 5)( 5)( 2)还还可可化化为为yyyzzz 正交变换几何意义正交变换几何意义 1122,设设正正交交矩矩阵阵正正交交变变换换把把向向量量，QxQyyxyxTTTT1212121212,x xy Qy yyQyxxy命题命题正正交交变变换换不不改改变变两两向向量量的的内内积积. .(1).:正正交交变变换换不不改改变变向向量量的的长长度度xy(2)正正交交变变换换不不改改变变两两向向量量的的夹夹角角正正交交变变换换不不改改变变空空间间中中任任意意两两点点的的距距离离，是是 因

6、因此此，等等距距变变换换. .几几何何上上的的正正交交变变换换，对对应应物物体体的的刚刚体体运运动动物物体体上上任任意意两两点点的的相相对对位位置置不不变变（不不含含平平移移）. .121212121212,cos, cos,x xyyx xyyxxyy12121122,，x xyyxyxy1212cos,cos,xxyy2221,:44422210补补例例：在在例例中中 考考虑虑二二次次曲曲面面fxyzxyxzyz22255210经经过过正正交交变变换换不不改改变变二二次次曲曲面面的的形形状状，化化为为fxyz2222221( 2)( 2)( 5)xyz在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中，

7、这这是是椭椭球球面面方方程程Ox y z 例例 3 (2008.11 15分分)经过正交变换经过正交变换 化为标准型化为标准型已知二次型已知二次型32312123222132166235),(xxxxxxxxaxxxxfQyx 23219ybyf1. 求参数求参数a，b的值及所用的正交变换；的值及所用的正交变换；2. 求方程求方程 的解。的解。0),(321xxxf解解二次型的矩阵为二次型的矩阵为33335131aA由二次型的标准型可知由二次型的标准型可知 A 的特征值为的特征值为b，0，9，即，即9033335131baA则有则有0)102( 3det9035abaA45ba即即A 的三个特

8、征值为的三个特征值为9, 0, 4321 分别求其所对应的特征向量，得分别求其所对应的特征向量，得T3T2T1) 1 , 1, 1 (,)2 , 1 , 1(,)0 , 1 , 1 (ppp将其单位化后组成正交矩阵将其单位化后组成正交矩阵31620316121316121Q所用正交变换为所用正交变换为Qyx (2) 由由 得得0f0031yy所以方程组的解为所以方程组的解为2116261610022kyyQQyxk任意任意注意列的排注意列的排列顺序列顺序二次曲面的形状二次曲面的形状二、配方法二、配方法例例42221231 21 32 325226 用用配配方方法法化化如如下下二二次次型型为为标

9、标准准型型fxxxx xx xx x解解2111 21 3,先先把把含含的的所所有有的的项项，即即合合在在一一起起配配方方xxx xx x22211 21 3232 32211232322223232 3(22)2562()() ()256fxx xx xxxx xxx xxxxxxxxx x22212322 33()44xxxxx xx1123112322223333令令即即yxxxxyyyyxxyyxxy222122 332212344(2)得得fyyy yyyyy1111223223333322再再令令即即zyyzzyyyzzzyyz1123223332得可逆线性变换xzzzxzzxz2

10、212二次型化为fzz注意（注意（1）标准型中平方项的系数）标准型中平方项的系数 不是不是 的特征值；的特征值； （2）所用的可逆线性变换）所用的可逆线性变换 不是正交变换不是正交变换.xCzA1231,1,0,ddd121323 226fx xx xx x 化二次型成标准形，并求所用的变换矩阵。例例5 511221233:解 注意项中不含平方项，为此先作变换，以产生平，方项，令得xyyxyyxyf121212312322121 32 3222211 3322 3322221322 333222132332()()26()22482(2)2822()2(44)62()2(2)6()fyyyyy

11、yyyyyyyy yy yyy yyyy yyyyyy yyyyyyyy 333223112yzyyzyyz 令令,233322311 zyzzyzzy 222123226二次型化为fzzz1123212333得可逆线性变换xzzzxzzzxz132222132222123( 2 )( 6)( 2) 进一步的uuuzzzuuu123222.故二次型进一步化为fuuu例例 2并判明它是何种曲面。并判明它是何种曲面。试用直角坐标变换化简二次曲面方程试用直角坐标变换化简二次曲面方程,2221231213123561806744+126744+12xxxx xx xxxx解解方程左端二次型部分对应的矩阵为方程左端二次型部分对应的矩阵为A 622250207于是于是A 的特征值为的特征值为 对应的特征对应的特征向量分别为向量分别为, 123369可求得特征多项式可求得特征多项式det,AE 3691232122,2,1122 ppp将它们单位化后得正交矩阵将它们单位化后得正交矩阵21 2122131 22Q令令 代入原曲