高中数学各种强公式

1、例题1 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且向量BF=2向量FD，求C的离心率_。解析：利用爆强公式：ecosA（x1）/（x1）A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角 。x为分离比 （就是指AFxBF），必须大于1。 注上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分， 用该公式；如果外分，将公式中正负号对调。综上：本题中cosAc/ae，所以代入公式易得e=3/3例题2已知O三角形ABC的外心，AB2，AC5，向量AO向量BC（数量积）_解析：根据爆强公式：向量AO向量BC(AC2AB2)/2易得。公式的来源：过O作BC垂线，

2、垂足为D，转化到三角形综上：答案为：21/2例题3已知正三棱锥S-ABC，若点P是底面ABC内一点，且点P到三棱锥的三个侧面的三个距离依次成等差数列，则点P的轨迹是（）A.一条直线的一部分B，椭圆的一部分，C，圆的一部分D，抛物线的一部分 解析：根据等体积易得d1d2d3定值。又因为这三个数成等差，所以d2为定值。故选A答案:A例题4已知椭圆x2/4y2/31，直线AB过椭圆右焦点，交于椭圆A.B两点，AB的中点为（1/2，1/2），求直线AB的方程。 解析：根据爆强公式k椭-b2xo/（a2yo）-3/4根据点斜易得直线方程。答案3x4y-30例题5已知点(x，y)满足x2/4+y2=1，求

3、x2y的取值范围。解析：根据参数方程求解。x=2cosc，y=sinc 所以x+2y2cosc2sinc22sin(c+派/4) 答案：-22，22例题6已知a(n+1)3a(n)2，a12，求an。解析：根据爆强公式特征根方程得到x=q/(1-p)2/(1-3)-1，所以an=(a1-x)p(n-1)x3(n-1）-1答案：an3(n-1)-1例题7空间给定不共面的 A、B、C、D 四个点，其中任意两点的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A、B、C、D中有三个点到 的距离相同，另外一个点到 的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是 A15 B23 C26 D32解析：无论如何算

4、，答案必是4的倍数。因为C414答案:D 如果要真正做也可以自己想一下：4×（26）32例题8三角形ABC的两顶点A(-5,0),B(5,0)，三角形内心在直线x=3上，求顶点C的轨迹方程。解析：根据双曲线性质，c是双曲线上一点，三角形f1cf2的内切圆的圆心必在x=a上，所以易得a3，c5注意定义域 答案：x2/9 -y2/161（x0）例题9已知P点在圆c：x2(y-4)21上移动，Q点在椭圆x2/4 y21上移动，求PQ的最大值。 解析：抓住圆的圆心不动，以静制动。设点C(0，4）与点Q(x，y)的距离为d，则d2x2(y-4)2=4-4y2(y-4)2 又因为y属于

5、-1，1 所以d2最大为25 所以d+1最大为6。答案：6例题10(a+b+c)6的展开式中合并同类项后共有_项。 解析:根据常用结论(a+b+c)n的展开项有C(n+2) 2项。所以本题C8 228答案：28拓展：上述公式可以推广成(x1x2xm）n 展开合并后共有：C(n+m-1) (m-1) 项例题11已知y24x，过焦点的两弦AB垂直CD，ABCD最小=_解析：根据常用结论：对于y22px，有过焦点的两互相垂直弦，则两弦长和最小为8p。代入易得。答案：16例题13已知等差数列S15S10，a1ak0，则k=_解析：注意S15-S100，即a130，即a13a13a1a250，所以k=2

6、5，答案25例题14设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>=0时，f(x)=x2，若对任意的x属于t，t+2，不等式f(x+t)>=2f(x)恒成立，则实数t的取值范围：_ 解析注意到2f(x)f(2 x)，再考虑恒成立，分离参变量即可。答案tt>=2例题15存在x属于R，使得ax2ax20，求实数a的取值范围。 解析：分类讨论思想。1，当a=0时，不符合题意。2，当a0时，恒成立，3，当a0时，考虑0，易得a-8 答案：(-无穷，-8）U(0，+无穷)例题16ABC中， 向量AB(2，3) ，向量BC(4，7) 则ABC的面积为_。解析：根据

7、爆强公式：ABC中， 向AB=（x1 ，y1） BC=（x2 y2） ，那三角形ABC面积=1/2|x1y2-x2y1|易得答案13。答案：13例题18ABC的三个顶点在椭圆4x2+5y2=6上，其中A、B两点关于原点O对称，设直线AC的斜率k1，直线BC的斜率k2，则k1k2的值为A.-5/4 B.-4/5C.4/5D.25/5解析：特殊点考虑。不妨令A、B分别为椭圆的长轴上的两个顶点，C为椭圆短轴上的一个顶点，这样直接确认交点，由此可得，故选B答案：B例题19等比数列a n 的前 10 项和为 48，前 20 项和为 60，则 这个数列的前

8、 30 项和为( )A、75 B、68 C、63 D、54 解析：根据性质：公比不为-1 在等比数列a n 中，前 n 项和为 s n，则 s n , s 2 n- s n , s3n -s 2 n 仍成等比数列。易得63 答案：C例题20已知f(x)定义域为R，且f(x)f(x)恒成立，判断e2012f(0) 与f(2012)哪个更大？解析关键在于构造函数：F(x)=e(-x)f(x),则F'(x)=e(-x)f'(x)-f(x)0，所以F(0)F(2012)。答案：前者大例题21已知分段函数f(x)ax (x1） 4-(a/2)x2 （x<=1) 在R上递增

9、，则实数a的取值范围为（）A.(1，正无穷) B(4，8) C4，8) D（1，8）解析：此类题目首先直接排除范围大的两个选项A，D，另外至少必有一个闭区间，故免算选B。答案：B 本题考点：关键在于是否考虑到临界点处。例题22在三角形ABC中，边长a，b，c成等差数列，则（cosAcosC）/(1cosAcosC)_ 解析特殊值法，令该三角形为等边三角形。易得答案。答案4/5例题23方程x-1x-3a在R上无解，则a的取值范围：_ 解析根据图像“_/”易得a的范围。答案a|a<=2例题24已知(1+x)16=a0(a1)x(a2)x2+a(16)x16，求a12(a2)3(a3)+16(

10、a16)=_解析根据爆强公式：C(n)12C(n) 23C(n)3nC(n)n =n×2(n-1) 拓展 证明思路：两边同时对x求导 答案:219例题25直线AB过抛物线y2=4x的焦点F，求1/AF+1/BF=_解析：根据爆强公式，对于y2=2px，直线AB过焦点F，必有1/AF+1/BF=2/p所以易得答案。答案:1 拓展对于填空题可以考虑，线段AB为通径时，求得答案。 爆强结论：强烈推荐！太好记了：对于y2=2px，若过焦点的弦AB垂直CD，有以下两个结论：1，它们长度的和最小值为8p，最小在斜率为1，-1取到，2，四边形ABCD的面积最小值为8(p2)，最小同样在斜率为1，-

11、1取得 拓展：证明方法：首先必须知道AB=2p/(sinx)2，所以CD2p/(cosx)2 ，说明x为倾斜角！例题26已知椭圆方程x2/4y2/3=1，点p(1，-1) ，f为右焦点。在椭圆上存在一点m，使得mp2mf最小。求m坐标。解析：由椭圆第二定义：mf/mm=e=1/2(m表示过m作准线的垂线的垂足)。要使最小：则m，p，m三点共线。易得m坐标。答案：(26/3，-1) 爆强定理：前提：适用于抛物线，椭圆。互相垂直的两条直线AB、直线CD均过同一个焦点，四边形ABCD的面积必有最小值。当且仅当k=-1，1即一条直线斜率为1，另一条为-1时取得。 此时最小值固定可算得。证明方法：焦半径

12、联立加上二次函数。 适用于任意圆锥曲线爆强公式圆锥曲线焦点弦长公式：已知F和直线l分别是离心率为e的圆锥曲线C的焦点和对应准线，焦准距(指焦点到对应准线的距离)为p，过点焦点F的弦AB与曲线C的焦点F所在轴的夹角为T(T为锐角)，则有AB=2ep/1-(e2)(cosT)2(表示绝对值)。说明：若知道斜率可先求cosT例题27已知某圆O半径为1，A，B，C三点都在圆上。AB弦长固定3，C为动点。求向量BA向量BC(即数量积)的最大值_ 解析建立直角坐标系有：圆心O即原点，A(1/2，3/2)，B(1/2，-3/2)。根据参数方程可设C(cost，sint)，t任意。所以所求(3)sint(3/

13、2)<=(3/2)3 答案：3/23例题28空间中从一点出发的四条射线两两夹角为x，则cosx_解析：视空间中该点为正四面体外接球的球心，四条射线为以球心为端点过正四面体的四个顶点的四条线。易得答案。答案: -1/3例题29已知三角形ABC的三边长a，b，c满足：abc，2ba+c，a2b2c284，且b为整数。则b=_解析：设ab+d，c=b-d(d>0)，则(b+d)2b2(b-d)284，即3b22d284。因为b取整。所以b可能值1，2，3，4，5。又因为b>d，代入验证得b=5，答案：5定理8：非p是非q的必要不充分条件等价于q是p的必要不充分条件这个结论的价值是：

14、一般不考虑非p和非q的内容是什么，而是先转化到p与q之间的关系，而且这样不容易出错定理18：空间四面体的重心公式(x1+x2+x3+x4)/4，(y1+y2+y3+y4)/4，(z1+z2+z3+z4)/4定理19：若一个集和谐合含有n(n为正整数)个元素，它的子集为2n个，它的非空子集为(2n)-1个，它的真子集(2n)-1个，它的非空真子集为(2n)-2个.定理27：等比数列爆强公式：S(nm)S(m)(qm) S(n) 作用：可以迅速求q.记忆方法：中间三个都是m，头尾保持为n定理28：适用条件：直线过焦点，必有ecosA（x1）/（x1），其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角 。x为分

15、离比 ，必须大于1。 注上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)， 用该公式；如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。（分离比：AF=xBF中的x或1/x。目的使x>1。若AF=BF/2，则x=2；若AF=2BF，则x=2）定理29：请务必搞懂下面这两个恒等式关于对称问题1，若在R上（下同）满足：f（ax）f（bx）恒成立， 对称轴为x（ab）/2 ，2、函数y=f（ax） 与y=f(bx）的图像关于x=（ba）/2对称。记忆方法：第一个：左右括号内相加除。第二个：令左括号内式右括号内式，解出x即为对称轴定理31： 数列的终极利

16、器，（如果看不懂就算了）。首先介绍公式：对于a(n1)panq ，a1已知，那么特征根x=q/(1p) ，则数列通项公式为an（a1x）p（n1）x ，这是一阶特征根方程的运用。说明：这与前面的那个构造求法是不一样(我想说的是两个x不一样)，请不要误会。看你习惯选择用哪一个啦，但千万不要混淆说明：如果有疑问，请提问！谢谢合作定理37：求f(x)x-1x-2x-3xn （n为正整数）的最小值。 答案为：当n为奇数，最小值为（n21）/4，在x（n1）/2时取到；当n为偶数时，最小值为n2/4，在xn/2 或(n/2 )1时取到。定理38：（a2b2）/2（ab）/2ab2ab/（ab） （a、b

17、为正数，是统一定义域）说明：这个很基础，但是可以推广成多项定理39：椭圆中焦点三角形面积公式：S=b2tan(A/2)在双曲线中：Sb2/tan(A/ 2) 说明：适用于焦点在x轴，且标准的圆锥曲线。A为两焦半径夹角。计算时可以加快速度，证明方法：s1/2absinC加上向量定理40：适用于标准方程(焦点在x轴)爆强公式：k椭-（b2） xo/（a2）yo k双（b2） xo/（a2）yo k抛p/yo 注：（xo，yo）均为直线过圆锥曲线所截段的中点。证明方法：点差法定理41：常用数列bnn×(2n) 求和Sn（n1）×（2(n1)）2 记忆方法：前面减去一个1，后面加一

18、个，再整体加一个2.这个不能推广，但是方法可以推广：错位相减定理42：12+2232n2n(n+1)(2n+1)/6； 132333n3=(n+1)2*n2/4定理43：空间向量三公式解决所有立体几何题目：cosA|向量a.向量b/向量a的模×向量b的模 |一：A为线线夹角，二：A为线面夹角（但是公式中cos换成sin）三：A为面面夹角 注：以上角范围均为0，派/2。说明：立体几何的建立空间直角坐标系非常重要定理44：切线长l（d2-r2） d表示圆外一点到圆心得距离 ， r为圆半径，而d最小为圆心到直线的距离。定理45：（abc）n的展开式合并之后的项数为：C(n+2)(2) ，n

19、+2在下，2在上定理46：，关于解决证明含ln 的不等式的一种思路：爆强：举例说明：证明11/21/31/nln（n+1） 把左边看成是1/n求和，右边看成是Sn。 解：令an1/n ， 令Snln（n+1），则bnln（n1）lnn ，那么只需证an bn即可，根据定积分知识画出y1/x的图。an1×1/n矩形面积曲线下面积bn。当然前面要证明1ln2。 注：仅供有能力的童鞋参考！另外对于这种方法可以推广，就是把左边、右边看成是数列求和，证面积大小即可。说明：前提是含ln 。说明：这类题目还有构造函数的方法。有时定理47：关于一个重要绝对值不等式：|a|b|a±bab定理

20、48：对于y22px，过焦点的互相垂直的两弦AB、CD，它们的和最小为8p。 爆强定理的证明：对于y22px，设过焦点的弦倾斜角为A.那么弦长可表示为2p/（sinA）2，所以与之垂直的弦长为2p/（cosA）2，所以求和再据三角知识可知。定理50：已知三角形中ABa，ACb，O为三角形的外心，则向量AO×向量BC（即数量积）(1/2)b2-a2强烈推荐！ 证明方法：过O作BC垂线，转化到已知边上定理53：常用结论：过(2p，0)的直线交抛物线y22px 于A、B两点。O为原点，连接AO.BO。必有角AOB=90度。证明方法：可以利用向量积为零证明垂直定理54：对于抽象函数的处理方法

21、如下：柯西函数方程：若f（x）连续或单调（1）若f(xy)=f(x)f(y) (x0,y0),则f(x)=ax（2）若f(xy)=f(x)f(y) (x0,y0),则f(x)=xu(u由初值给出) （3）f(xy)=f(x)f(y) 则f（x）=ax（4）若f(xy)=f(x)f(y)kxy,则f(x)=ax²bx （5）若f(xy)f(xy)=2f(x),则f(x)=axb特别的若f（x）+f（y）=f（x+y），则f（x）=kx.对于抽象函数，基本思路是赋值，但不乏赋字母定理58：关于积化和差的推导：举例说明：要求将sinasin

22、b化成和差形式，首先想一下在和角差角公式中出现的sinasinb两个同名三角函数相乘必定是由于cos(a+b)与cos(a-b)引起，请看式子：cos(a+b)cosacosb-sinasinb，cos(a-b)cosacosb+sinasinb，要求出sinasinb，用-即可，得到cos(a-b)-cos(a+b)2sinasinb，所以sinasinb-1/2cos(a+b)-cos(a-b)推导完毕。其他同理：cosacosb1/2cos(a+b)cos(a-b)，sinacosb=1/2sin(a+b)sin(a-b)，cosasinb与其实是一样的b换成a，a换成b即可这就是和差化

23、积的所有内容！掌握原理很重要！定理59和差化积的思想是角的演变：a=(a+b)/2(a-b)/2，b=(a+b)/2(a-b)/2，比如求sina-sinb只需把、代入即可化简有sinasinb2cos(a+b)/2sin(a-b)/2其他同理。说明：和差化积只可以求同名三角函数的和差化积，意思是不存在sina-cosb的化积。敬请注意1的代换：例如万能公式的推导利用到这个：sin2a2sinacosa2sinacosa/12sinacosa/(sina)2(cosa)22tana/1+(tana)2定理60：万能公式的全部内容：sin2a2tana/1(tana)2，cos2a1-(tana

24、)2/1(tana)2，tan2a2tana/1-(tana)2证明方法：前面两个用代换1，最后一个其实就是正切2倍角展开定理61：y=asin(bxm)为奇函数的充分必要条件是：m=k(k为整数)；为偶函数的充分必要条件是m=k+/2。y=acos(bxm)为奇函数的充分必要条件是m=k/2；为偶函数的充分必要条件是m=k.定理62：从n个元素里取出m个互不相邻的元素的取法总数：C(n-m+1)(m) 注：n-m+1在下定理64：最有价值的恒等式：若f(x)的图像关于(a,b)成中心对称等价于f(xa)f(-x+a)2b，或者f(x)f(-x2a)2b。关于这个恒等式的利用价值如下：如果已知

25、f(x)图像与g(x)图像关于(a，b)成中心对称，且f(x)的解析式已知，求g(x)的解析式。做法：写出恒等式即可，g(x)f(-x+2a)2b，所以g(x)2b-f(-x+2a)定理68：关于辅助角公式：asintbcost(a2+b2)sin(t+m) 其中tanmb/a条件：a>0 说明：一些的同学习惯去考虑sinm或者cosm来确定m，个人觉得这样太容易出错最好的方法是根据tanm确定m.(见上)。举例说明：sinx3cosx2sin(x+m)，因为tanm3，所以m=60度，所以原式2sin(x+60度)定理69：对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tan

26、AtanBtanC 证明如下: 因为A+B=-C，所以tan(A+B)=tan(-C)即：(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证定理70y=logax y'=1/xlna；y=ax y'=(ax)lna解题说明：这两个式子的求导比较冷门，但是并不代表不考，它是课本中明确给出的。而且对于这2个公式，我们必须会正反逆用，意思是会求定积分。举例说明：(1-2)(2x)dx=？，解：2x的原函数是2x/ln2，所以原式=22/ln2-2/ln22/ln2定理73：

27、关于正方体被一个平面所截形成的图形问题：定理81：定理82：定理83：定理87：直线AB过原点，交椭圆(或者双曲线)于A、B两点P为椭圆(或双曲线)上异于A、B的任意一点，设直线PA，直线PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2=e2-1。(注：e表示曲线的离心率)证明：假设A(x1，y1)，则B(-x1，-y1)，设P(x，y)，因为点A，P在曲线(以椭圆为例)上，所以符合x2/a2y2/b2=1，x12/a2y12/b2=1，k1k2=(y1-y)(-y1-y)/(x1-x)(-x1-x)，用-代入化简得k1k2=e2-1。定理91转：关于证明不等式的几种方法：1，导数论证函数单调性，极值；2，积分证明不等式：主要利用积分的2个性质（i）设xa,b，f（x），g（x）连续，f（x）g（x）.若f（x）（）g（x），