高三复习二项式定理知识点题型方法归纳

1、绵阳市开元中学高2014级高三复习二项式定理 知识点、题型与方法归纳制卷：王小凤 学生姓名：_一知识梳理1二项式定理：(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)n的二项展开式 其中的系数C(r0,1，n)叫二项式系数 式中的Canrbr叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Canrbr.2二项展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的

2、系数从C，C，一直到C，C.3二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等即 (2)增减性与最大值：二项式系数C，当k时，二项式系数逐渐增大由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n是偶数时，中间一项取得最大值；当n是奇数时，中间两项取得最大值(3)各二项式系数和：CCCCC2n；CCCCCC2n1.一个防范运用二项式定理一定要牢记通项Tr1Canrbr，注意(ab)n与(ba)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分前者只与n和r有关，恒为正，

3、后者还与a，b有关，可正可负一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等(2)展开式的应用：利用展开式可证明与二项式系数有关的等式；可证明不等式；可证明整除问题；可做近似计算等三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；二题型示例【题型一】求展开特定项例1：(13x)n(其中nN*且n6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n()A.6 B.7 C.8 D.9解：由条件得C35C36，3，3(n5)6，n7.故选B

4、.例2：()的展开式中x2y2的系数为_.(用数字作答)解：展开式的通项公式为Tr1C，令8r2，解得r4，此时r42，所以展开式中x2y2的系数为(1)4C70.故填70.【题型二】求展开特定项例1：在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展开式中，含x3的项的系数是()A74 B121 C74 D121解析展开式中含x3项的系数为C(1)3C(1)3C(1)3C(1)3121.【题型三】求展开特定项例1：()已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则a()A.4 B.3 C.2 D.1解：(1ax)(1x)5的展开式中x2项为Cx2axCx10x25ax2(105a)x2.x

5、2的系数为5， 105a5，a1.故选D.例2：(2014浙江卷)在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)()A45 B60 C120 D210解析在(1x)6的展开式中，xm的系数为C，在(1y)4的展开式中，yn的系数为C，故f(m，n)CC.从而f(3，0)C20，f(2，1)CC60，f(1，2)CC36，f(0，3)C4，所以f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)120，故选C.例3：已知数列是等差数列，且，则在的展开式中，的系数为_.解：的系数为。【题型四】求展开特定项例1：求(x0)的展开式经

6、整理后的常数项.解法一：在x0时可化为，因而Tr1C，则r5时为常数项，即C.解法二：所给的式子为三项式，采用两个计数原理求解.分三类：5个式子均取，则C4；取一个，一个，三个，则CC20；取两个，两个，一个，则CC.所以，常数项为420.点拨：三项式的展开式问题，通常可用解法一化为二项式问题，或用解法二化为计数问题.例2：若将展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）A11 B33 C55 D66解：展开后，每一项都形如，其中，该方程非负整数解的对数为。例3：2015课标全国卷(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A10 B20 C30 D60解析易知Tr1C(x2x)5ryr，令

7、r2，则T3C(x2x)3y2，对于二项式(x2x)3，由Tt1C(x2)3txtCx6t，令t1，所以x5y2的系数为CC30.【题型五】二项式展开逆向问题例1：()若C3C32C3n2C3n185，则n的值为()A.3 B.4 C.5 D.6解：由C3C3n2C3n1(13)n185，解得n4.故选B.【题型六】赋值法求系数（和）问题例1：已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：(1)a1a2a7； (2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6； (4).解：令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0C1，a1a2a3

8、a72.(2)()2，得a1a3a5a71094.(3)()2，得a0a2a4a61093.(4)(12x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)，所求即为(亦即)，其值为2187.点拨：“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法.对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x1即可；对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可.若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项

9、系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.例2：设a0a1xa2x2a2nx2n，则(a0a2a4a2n)2(a1a3a5a2n1)2_.解：设f(x)，则(a0a2a4a2n)2(a1a3a5a2n1)2(a0a2a4a2na1a3a5a2n1)(a0a2a4a2na1a3a5a2n1)f(1)f(1).例3：已知(x1)2(x2)2014a0a1(x2)a2(x2)2a2016(x2)2016，则的值为_.解：依题意令x，得a0a1a2a2016，令x2得a00，则.【题型七】平移后系数问题例1：若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5,

10、其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_.解法一：令x1y，(y1)5a0a1ya2y2a5y5，故a3C(1)210.解法二：由等式两边对应项系数相等.即：解得a310.解法三：对等式：f(x)x5a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5两边连续对x求导三次得：60x26a324a4(1x)60a5(1x)2，再运用赋值法，令x1得：606a3，即a310.故填10.【题型八】二项式系数、系数最大值问题例1：的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为_解析由已知条件第五项和第六项二项式系数最大，得n9，展开式的第四项为T4C()6.例2：把(1x)9的展开式按x的升幂排列，系

11、数最大的项是第_项A4 B5 C6 D7解析(1x)9展开式中第r1项的系数为C(1)r，易知当r4时，系数最大，即第5项系数最大，选B.例3：(12x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.解：T6C(2x)5，T7C(2x)6，依题意有C25C26，解得n8.所以(12x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5C(2x)41 120x4.设第r1项系数最大，则有解得5r6.所以r5或r6，所以系数最大的项为T61 792x5或T71 792x6.点拨：(1)求二项式系数最大项：如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果n是奇数，则中间两项(第

12、项与第1项)的二项式系数相等并最大.(2)求展开式系数最大项：如求(abx)n(a，bR)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，列出不等式组从而解出r，即得展开式系数最大的项.【题型九】两边求导法求特定数列和例1：若(2x3)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则a12a23a34a45a5_解析原等式两边求导得5(2x3)4(2x3)a12a2x3a3x24a4x35a5x4，令上式中x1，得a12a23a34a45a510.【题型十】整除问题例1：设aZ，且0a13，若512 012a能被13整除，则a()A0 B1 C11 D12解析512 012a(521)2 012a

13、C522 012C522 011C52(1)2 011C(1)2 012a，C522 012C522 011C52(1)2 011能被13整除且512 012a能被13整除，C(1)2 012a1a也能被13整除因此a可取值12.例2：已知m是一个给定的正整数，如果两个整数a，b除以m所得的余数相同，则称a与b对模m同余，记作ab(mod m)，例如：513(mod 4).若22015r(mod 7)，则r可能等于()A.2013 B.2014 C.2015 D.2016解：220152223671486714(71)6714(7671C7670C71).因此22015除以7的余数为4.经验证，只有2013除以7所得的余数为4.故选A.三自我检测1、()“n5”是“(nN*)的展开式中含有常数项”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2、已知C2C22C23C2nC729，则CCCC等于()A63 B64 C31 D323、组合式C2C4C8C(2)nC的值等于 ()A(1)n B1 C3n D3n14、若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，则a2a4a12_5、已知(1x)10a0a1(