不定积分的分部积分法

1、不定积分的分部积分法第一页，共32页。一、基本内容一、基本内容问题问题 ?dxxex解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.设函数设函数 u=u(x) 和和 v=v(x)具有连续导数具有连续导数, ,)(vuvuuv ,)(vuuvvu ,ddxvuuvxvu .dduvuvvu 分部积分公式分部积分公式第二页，共32页。例例1 1 求不定积分求不定积分.d xxex解解,xu 设设xevxdd xxexd xexexxd.Cexexx )(dxex分部积分法的关键是正确选择分部积分法的关键是正确选择 u 和和 v . .,dduvuvvu ,dxe 第三页，共3

2、2页。例例2 2 求不定积分求不定积分.dcos xxx若若 xxxdcos xxxxxdsin2cos222显然显然 , u 和和 dv 选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.解解 xxxdcos )(sindxx xxxxdsinsin.cossinCxxx )2(dcos2xx第四页，共32页。说明：说明：口诀（反、对、幂、三、指）口诀（反、对、幂、三、指）第五页，共32页。例例3 3 求不定积分求不定积分.d)1(2 xexx解解 xexxd)1(2 xxeexxxd2)1(2.)(2)1(2Cexeexxxx .)32(2Cexxx )(d)1(2xex再次使用再次使用分部积

3、分法分部积分法 )(d2)1(2xxexex第六页，共32页。例例4 4 求不定积分求不定积分解解 xxxdarctanxxxxxd112arctan2222 xxxxd)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx )2(darctan2xx.darctan xxx第七页，共32页。例例5 5 求不定积分求不定积分解解 xxdarcsin)(arcsindarcsinxxxx xxxxxd1arcsin2.darcsin xx.1arcsin2Cxxx 第八页，共32页。说明：说明：单纯的反三角函数、对数函数积分，单纯的反三角函数、对数函数积分，可直接运用

4、分部积分；可直接运用分部积分；第九页，共32页。例例6 6 求不定积分求不定积分.dsin xxex解解 xxexdsin )cosd(xex xxexexxdcoscos )d(sincosxexexx xxexxexxdsin)cos(sin xxexdsin)cos(sin2xxex 注意循环注意循环形式形式.C 第十页，共32页。说明：说明：不定积分可通过解方程求得，但要注意不定积分可通过解方程求得，但要注意结果结果+C；可连续几次利用多次分部，但每次应可连续几次利用多次分部，但每次应塞同一类函数；塞同一类函数；第十一页，共32页。例例 求不定积分求不定积分.dsec3 xx解解 dx

5、x3sec xxxdsecsec2 )(secdtantansecxxxx xxdsec3 )(tandsecxx xxxxxdsectantansec2 xxxxxd)sec(sectansec3 xxxxxxdsectanseclntansec3Cxxxx )tanseclntan(sec21第十二页，共32页。例例 求不定积分求不定积分.d)sin(ln xx解解 xx d)sin(ln )sin(lnd)sin(lnxxxx xxxxd)cos(ln)sin(ln )cos(lnd)cos(ln)sin(lnxxxxxx xxxxxd)sin(ln)cos(ln)sin(ln xx d

6、)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 第十三页，共32页。例例 求不定积分求不定积分.d)sin(ln xx解解,lnux 令令,uex 则则,dduexu xx d)sin(ln uueudsin第十四页，共32页。例例7 7 求不定积分求不定积分 .d12sinxx解解,12ux 令令 xxd12sin uuudsin,212 ux则则,dduux )cos(duu uuuudcoscosCuuu sincos.12sin12cos12Cxxx 第十五页，共32页。说明：说明：有时应结合换元积分，先换元后再分部；有时应结合换元积分，先换元后再分部；第十六页，共32页。解解

7、 xxfxd)( )(dxfx,d)()( xxfxxf,d)(2 Cexxfx由由已已知知可可得得两边同时对两边同时对 x 求导求导, 得得,2)(2xxexf xxfxd)( xxfxxfd)()(.2222Ceexxx 第十七页，共32页。说明：说明：被积函数中含有抽象函数的导函数，常被积函数中含有抽象函数的导函数，常考虑用分部积分；考虑用分部积分；第十八页，共32页。说明：利用分部积分法可得求不定积分的递说明：利用分部积分法可得求不定积分的递推公式推公式解解.d)(ln xxxn例例9 9 求积分求积分 xxxInnd)(ln )2d()(ln2xxn )(lnd21)(ln2122n

8、nxxxx xxxnxxnnd)(ln2)(ln2112122)(ln21 nnInxx)1,(* nNn)(*Nn 递递推推公公式式为为),1,( ,2)(ln21*12 nNnInxxInnn第十九页，共32页。 xxxIdln1而而 )2(dln2xx )(lnd2ln222xxxx xxxxd2ln22Cxxx 2ln222.,1nIn由递推公式都可求得由递推公式都可求得所以对任意确定的所以对任意确定的 第二十页，共32页。例例1010 求不定积分求不定积分 .d)ln1(xxxex解解 xxxexd)ln1( xxexxexxdlnd )(dlndxxexxxe xxexexxexx

9、xdlnd.lnCxex 第二十一页，共32页。练习：练习： 求下列不定积分求下列不定积分 .d1arctan)1(2xxxx .d)1()2(2xxxex .d1)1()3(1xexxxx第二十二页，共32页。二、小结二、小结.单纯的反三角函数、对数函数积分，单纯的反三角函数、对数函数积分，可直接运用分部积分；可直接运用分部积分；.口诀（反、对、幂、三、指）口诀（反、对、幂、三、指）;.不定积分可通过解方程求得，但要注意不定积分可通过解方程求得，但要注意结果结果+C；.有时应结合换元积分，先换元后再分部；有时应结合换元积分，先换元后再分部；.被积函数中含有抽象函数的导函数，常被积函数中含有抽

10、象函数的导函数，常考虑用分部积分；考虑用分部积分；. .利用分部积分法可得求不定积分的递利用分部积分法可得求不定积分的递推公式。推公式。第二十三页，共32页。 .d1arctan)1(2xxxx解解 xxxxd1arctan2 )1d(arctan2xx)(arctand1arctan122xxxx xxxxxd111arctan1222 .)1ln(arctan122Cxxxx xxxxd11arctan122 第二十四页，共32页。 .d)1()2(2xxxex解解 dxxxex2)1( )11(dxxex )d(111xxxexxxe xexxexxd1Cexxexx 1Cxex 1第二

11、十五页，共32页。解解 .d1)1()3(1xexxxx xexexxxxxxdd)1(11原原式式 xexexxxxxxdd)11(112 xeexxxxxd)(d11 xexexexxxxxxdd111.1Cxexx 第二十六页，共32页。一、填空题：一、填空题：1 1、 xdxxsin_；2 2、 xdxarcsin_；3 3、计算、计算 xdxx ln2， u可可设设_ _ , , dv_；4 4、计算、计算 xdxexcos， u可可设设_ _ _ , , dv_；5 5、计算、计算 xdxx arctan2， u可可设设_ _ , , dv_； 6 6、 计计算算 dxxex， u

12、可可设设_ _ _ _ _ _ _, , dv_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二二、 求求下下列列不不定定积积分分：1 1、 dxxx2cos22； 2 2、 dxxx23)(ln；练练 习习 题题第二十七页，共32页。3、 nxdxeaxcos； 4、 dxex3；5、 dxx)cos(ln； 6、 dxxxex232arctan)1( .三三、 已已知知xxsin是是)(xf的的原原函函数数，求求 dxxxf)(. .四四、 设设 CxFdxxf)()(，)(xf可可微微，且且)(xf的的反反函函数数)(1xf 存存在在，则则 CxfFxxfdxxf )()()(111.

13、 .第二十八页，共32页。一一、1 1、Cxxx sincos； 2 2、Cxxx 21arcsin； 3 3、dxxx2,ln； 4 4、,xe xdxcos； 5 5、dxxx2,arctan； 6 6、dxexx ,. .二、二、1、Cxxxxxx sincossin21623； 2、Cxxxx 6ln6)(ln3)(ln123； 3、Cnxnnxanaeax )sincos(22 4、Cxxex )22(33323；练习题答案练习题答案第二十九页，共32页。 5 5、Cxxx )sin(ln)cos(ln2； 6 6、Cexxx arctan2121； 7 7、Cexexexxxx 22. .三、三、Cxxx sin2cos. .第三十页，共32页。例例4 4 求不定积分求不定积分.dcos)2(2 xxxx解解 xxxxdcos)2(2 xxxxxxdsin)1(2sin)2(2 )(sind)2(2xxx )cos(d)1(2sin)2(2xxxxxdcos)cos)(1(2sin)2(2 xxxxxxxCxxxxxx sin2)1(cos2sin)2(2