平面向量知识点总结与训练

1、第二章平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1向量的概念: 向量：既有大小又有方向的量 向量一般用a,b,c来表示，或用有向线段的uuuuu起点与终点的大写字母表示，如：AB几何表示法AB， a ;坐标表示法uuua xi yj （x,y）.向量的大小即向量的模（长度），记作| AB |即向量的大小, 记作I a | ”向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. 零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行 零向| a I= 0由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在非零向量”这个条件.（注意有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有 与0的区别） 单位

2、向量：模为1个单位长度的向量向量a0为单位向量I a0 |= 1- 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以 移到同一直线上 方向相同或相反的向量，称为平行向量+记作a / b”由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上， 故平行向 量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选 取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线” 、的含义，要 理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. 相等向量：长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合，记为a b大小相等，方向相

3、同（x-yj （x2, y2）yi y22向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法uuu r uuu rr uuu umr uuu设 AB a,BC b，贝U a+b=AB BC =AC（1）0 a a 0 a ；（2）向量加法满足交换律与结合律;向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：(1) 用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线， 而差向量是另一条对角线，方向是从减向量 指向被减向量(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一 个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被 减向量的终

4、点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时， 用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：uuuur uur uuuuuu uuuABBC CDL PQQR AR，但这时必须“首尾相连”.3向量的减法 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量 记作a，零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有：(i) ( a) =a ; (ii) a+( a)=( a)+a=0 ;(iii)若a、b是互为相反向量，则 a = b ,b = a,a+b=O 向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：a b a ( b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法

5、作图法：a b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起 点)4实数与向量的积： 实数入与向量a的积是一个向量，记作入a，它的长度与方向规定如下：(I) a a ；(U)当 0时，入a的方向与a的方向相同；当 0时，入a的方向与a 的方向相反；当0时，a 0，方向是任意的 数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线 有且只有一个实数，使得b = a6平面向量的基本定理：如果e!,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1, 2使：a e 2e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表 示这一平面内所有向量的一组基

6、底7特别注意：(1) 向量的加法与减法是互逆运算(2) 相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件(3) 向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)，而向量平行 则包括共线(重合)的情况(4) 向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与 其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点， 以数代形，以形观数，用代数的 运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面 向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂 直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结 合起来进行综合考查

7、，是知识的交汇点.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与 x轴、y轴方向相同的两个 单位向量ir,r作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示rr成a xi yj，由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标(1) 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2) 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只 与其相对位置有关2平面向量的坐标运算:r by1y2y1卷X1y2uuu(2)若 A Xi, yi ,B X2, y2 ,贝U

8、ABx?Xi,y2yi(3)若 a=(x,y),r(4)若 a 为，yia=( x,X2, y2 ,y)则 a/bx?yi0r a若5)y1y2x2X1y2%ra若o2yy12 X1X 则3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运 算的坐标表示和性质运几何方法坐标方法运算性质算类型向1 平行四边形法则r b(xy)ab ba量2 ”三角形法则a b的 加(a b) c a(b c)法uuuLuuruuurABBCAC向三角形法则r r(x x?,yiy2)b a(b)量a ba的uuuuuu减ABBA法uuuuuuuuuOBOAAB向a是一个向量,(x, y)(a)(

9、)a量满足：a的>0时，a与a同()a乘向；aa法<0时,a与a异 向；(ab)ab=0时，a=0a /bab向 量a?b是一个数a?bxx yy2a?b b?a的 数a 0或b 0时，(a)?b a?( b)(a?b)量积a?b=0(ab) ?ca ?cb ?ca 0且b 0时，2 a|a|2,|a| v'x2 2ya?b |a|b|cos a,b|a?b| |a|b|三.平面向量的数量积1两个向量的数量积：r rr r rr已知两个非零向量a与b，它们的夹角为 ，则a b = | a I b | cos叫做a与b的数量积（或内积）规定0 a 0ra br r2向量的投影

10、：丨b | cos =l R,称为向量b在a方向上的投影投影的绝对 |a|值称为射影3数量积的几何意义：a b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系:r2a|a|2rr ,rr22r22aa baarr 2r2r rr2r2r rraa2a bba2a bb5乘法公式成立:26平面向量数量积的运算律：r r 交换律成立：a b b 对实数的结合律成立：a b a b 分配律成立：a b c a c b c c a b特别注意：(i)结合律不成立：a b c a b c ；(2)消去律不成立abac不能得到b crr r r(3) a b =0不能得至U a =0或b =0

11、 7两个向量的数量积的坐标运算：rr已知两个向量a (x1,y1),b (x2,y2)，则a b二乂凶 yy8向量的夹角：rruuu r uuu r已知两个非零向量a与b，作OA = a , OB = b ,则/ AOB=叫做向量a与b的夹角1800)(0°cos =cos a,bX1X2yi y2当且仅当两个非零向量 a与b同方向时，B =00，当且仅当a与b反方向时B =1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题r rn r rr r9垂直：如果a与b的夹角为90则称a与b垂直，记作a丄b10两个非零向量垂直的充要条件：a 丄 b a b = OX1X2y20“巩固练

12、习例1给出下列命题： 若| a| = | b |，则 a=b ;uuu uur 若A, B, C, D是不共线的四点，贝U AB DC是四边形ABCD为平行四边 形的充要条件； 若a = b , b=C，贝U a=c ,rrr a=b的充要条件是i ai=i bi且a b；rr 若ab, bc，则 ac,其中正确的序号是例2设A、B C、D、O是平面上的任意五点，试化简：uuuuuuruuu uuuuuiruuuuuu uuuruuuuuur例3设非零向量a、b不共线, ABBCCD， DBACBD OA OCOBCOC=k；+b , d=；+kb (k R),若 C d，试例 4 已知向量

13、a (1,2),b(x,1),u a 2b , v 2a b，且 u/v，求实数 x 的值例5已知点A(4,0), B(4,4),C(2,6)，试用向量方法求直线AC和OB ( O为坐标原 点)交点P的坐标.r rn r r r r r rr例6已知两单位向量a与b的夹角为1200，若c 2a b,d 3b a，试求c与 d的夹角b, ： 2a b ,按下列条件求实数例 7 已知 a 4,3, b 1,2 , mm a的值(1) rn n ； (2) rn/n ； (3) rn n例8已知|a| 4，|b|2，且a与b夹角为120 °求a与a b的夹角。(a 2b)? (a b)； | 2a b| ；例 9 已知向量 a =(1,2)，b=( 3,2)。求| a b|与| a b | :当k为何值时，向量