例谈抽象函数问题

1、例谈抽象函数问题普陀中学数学组 周岳全函数是中学数学的重点内容，而抽象函数问题又是函数内容的难点之一。抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则。由于此类函数问题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识,所以倍受命题者的青睐，在高考试题中也经常出现。下面就通过例题来探讨这类问题的求解策略。1 抽象函数中的奇偶性一般地，如果对于函数f(x定义域内的任意一个x，都有f(-x=-f(x或f(-x=f(x，则称f(x为这一定义域内的奇函数或偶函数。奇函数的图象关于原点

2、对称；偶函数的图象关于y轴对称。例1 (1已知函数f(x对于任意实数x、y满足f(x+y=f(x+f(y,判断f(x的奇偶性。(2已知函数f(x对于任意实数x、y满足f(xy=f(x+f(y,判断f(x的奇偶性。(3已知函数f(x对于任意实数x、y满足f(x/y=f(x-f(y,判断f(x的奇偶性。(4已知函数f(x对于任意实数x、y满足f(x+y+f(x-y=2f(xf(y,(f(00, 判断f(x的奇偶性。解：（1）令y=-x,则f(0=f(x+f(-x;再令y=x=0，得f(0=0；即0=f(x+f(-x,f(-x=-f(x。f(x是奇函数。（2）令y=-1，得f(-x=f(x+f(-1

3、,又f(-1=0,即f(-x=f(x。f(x是偶函数.(3令y=-1，得f(-x=f(x-f(-1,又f(-1=0, 即f(-x=f(x。f(x是偶函数.(4令x=0,得f(y+f(-y=2f(0f(y,再令x=y=0,可得f(0=1,f(x是偶函数.点评:解决此类问题时,只要根据奇偶函数的定义，并应用赋值法(因x、y是任意实数,就不难解决。2 抽象函数中的周期一般地，对于函数f(x，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T=f(x，那么函数f(x就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。常见结论:（1）f(x+a=f(x,则T=a(a是非零常数。（2）f(x

4、+a=-f(x,则T=2a(a是非零常数。（3）f(x+2=f(2-x, f(x+7=f(7-x, 则T=10。例2 已知f(x为偶函数,其图象关于x=a(a0对称,求证f(x是一个以2a为周期的周期函数。解：函数f(x的图象关于x=a(a0对称, f(x+2a=f(-x;又f(x为偶函数,f(x+2a=f(x,即T=2a。例3 设f(x是R上的奇函数,且f(x+3=-f(x,求f(2004的值。解： f(x+3=-f(x,f(x+6=f(x+3+3=-f(x+3=f(x,即周期T=6。又f(x是R上的奇函数,有f(0=0,从而f(2004=f(6334=f(0=0。点评：解决本题的关键是：首

5、先,由f(x+3=-f(x,可得6是该函数的一个周期；其次,若奇函数f(x在x0处有定义，则必有f(x=0。3 抽象函数中的单调性一般地，设函数f(x的定义域为I：如果对于属于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时（x1x2），都有f(x1f(x2（f(x1f(x2），那么就说f(x在这个区间上是增函数（减函数）。例3 定义在R上的函数f(x同时满足条件: (1f(x+y=f(x+f(y,x,yR;(2当x0时,f(x0,且f(1=-2。求f(x在区间-3,3上的最大值和最小值。解： 由(1可知f(x是奇函数;又因x1x20时,f(x1-f(x2=f(x1+f(-x

6、2=f(x1-x20,所以f(x是R上的减函数.因而易得函数f(x在区间-3,3上的最大值和最小值分别是6和-6。例4 已知偶函数f(x在0,+上是增函数，解不等式f(x-1f(1-2x。解：（1）当x时，x-10,1-2x0,由于f(x-1=f(1-x，故原不等式即为f(x-1=f(1-x，再由f(x在0,+上递增,得x1>12x，即0x。（2）当x1时，x-10，12x<0，从而1-x0，2x1>0，故原不等式可化为f(1-x>f(2x-1，所以1x>2x1，即x。（3）当x>1时，x1>0，12x<0，由f(x-1>f(1-2x=f(

7、2x-1,得x1>2x1，即x<0这与x>1矛盾。综合(1、(2、(3得原不等式的解为0x。点评：可见例3中判断函数f(x的奇偶性和单调性是关键；例4中解不等式f(x-1f(1-2x，必须设法去掉符号“f”，而去掉符号“f ”只能依据f(x的单调性。当然，也可考虑运用特殊化的思想方法，即用一个满足条件的具体函数，代替抽象函数，使问题迎刃而解。这种特殊化方法在解客观题时优势特别明显。4 抽象函数中的对称性对称问题:（1） 点关于点对称：点（x,y）关于点（a,b）对称的坐标为（2a-x,2b-y）。（2） 直线关于点对称。（3） 曲线关于点对称：曲线f(x,y=0关于点（a,b

8、）对称的曲线f(2a-x,2b-y=0。（4） 点关于直线对称。（5） 直线关于直线对称。（6） 常见对称：f(-x=f(x,即函数f(x关于y轴对称；f(-x=-f(x, 即函数f(x关于原点(0,0对称；f(a-x=f(a+x,即函数f(x关于直线x=a对称；f(a-x=-f(a+x,即函数f(x关于点(a,0对称。例5 已知f(x满足f(x+2=f(2-x, f(x+7=f(7-x,x,yR。 （1）如f(5=9, 求f(-5。（2）已知当x2,7时, f(x=(x-22;求当x16,20时,函数f(x的表达式。解：(1方法一：f(x+2=f(2-x，即f(x=f(4-x=f(7-3-x=f(3+x+7=f(x+10,T=10f(-5=f(-5+10=f(5=9； 方法二：f(-5=f(2-7=f(7+2=f(9=f(2+7=f(7-2=f(5=9。(2由题意知, 函数f(x关于直线x=2,x=7对称,且周期T=10. 当x16,17时, f(x=(x-122; 当x(17,2