高数教学案例

1、高等数学案例教学教案（刘凤林）【案例一】房贷还款问题模型背景：我校王教授今年准备贷款买一套房子，需要贷款50万元，预计20年还清.现行贷款年率为7.04%，如果按9折优惠，计算王教授按以下哪种还款方式更好？ 一是等额本息还款法；二是等 额本金还款法.模型假设：（1）贷款50万元；（2）20年还清；（3）贷款年率为7.04%，按9折优惠，实际月利率 0.528%.符号说明：A。：贷款额；r ：月利率（每期利率）；x :等额本息还款法中，每月的还款额；x k :等额本金还款法中，第 k个月的还款额；Ak :第k期结束时的欠款；n :借款期限（单位：月）.模型建立：（1）等额本息还款：第一期后欠款：

2、A A0 A0 r 一 x = A0 （1 r） 一 x ；第二期后欠款：A? = A A r - x 二 A （1rx ；第三期后欠款：A3 = A：* A2 r - x = A2 （1' r） - x ；依此类推，第k期后欠款：Ak二 Ak(1 * r) 一 x ( k = 1 2,，n )（2 ）等额本金还款：第一期还款：A。X1 =(Ao -nA01)r = A°(1 -nn1)r；n第二期还款：A0X2(A。-2A01)r=A°(12)r；nnnnA03A013第二期还款：x3- (A0一)= A° (1-一)门；nnnn1k依此类推，第k期还款

3、：Xk二A。 (1 _ )门(k = 1, 2,，n ).nn模型求解：(1)等额本息还款：Ak = Ak 丄(1 r) x = Ak J1 r) x(1 r) x = Aj2(1 r)2 x1 - (1 - r)-x1 - (1 - r) - (1 - r)2二Ak£1 r) x(1 - r) -x1(1r)k3k 1=A0(1 - r)- x1 (1 r) (1 r- -.-(1 r) _k-Ao(1 r)kx(1 r) -1r要想n个月还清贷款,A0r (1 亠 r)nx =亠-厶，将A。n则有 An =0，此时 A0（1 r）n -空一r） 1 = 0，解得r= 500000

4、、r =0.00528、n = 240 代入上式，得 x :- 3679 .75（元）,（1 - r） 1即每月还款3679.75（元），20年共还款883140（元）.（2）等额本金还款：这种还款额度的计算需要借助于计算机，通过计算机计算，得到（元）,Xt : 4712 .33 （元八 x2 : 4701 .33 （元）、x239 : 2094 .33 （元）、x240 : 2083 .3320年共还款815480（元）.模型分析：比等额本息还款少还款 67660 （元），但是前期还款压力较大.【案例二】分针与时针重合问题模型假设：（1）钟面分为60格；（2）分针1min转过1格，1h转过6

5、0格，时针1h转过 符号说明：（1） x n :分针位置（追赶序列）；（2）yn :时针的位置（逃逸序列）；（3）x :分针与时针重合的位置.模型建立：.因此我们不难发现，分针速度是时针速度的12倍，并且在1h内分针与时针最多重合一次从整点k （ k =1, 2,，1 ）开始，分针位于时针之前 5k格.此时当分针行走5k格（即追到最先时针位置）时，时针走（逃）了5k格，这时12当分针又走(追)格，这时当分针再走(追)格，此时5kx = 5 k、 y = 5 k ；12了 竺格（即此前时针走过的格数）时，时针又走（逃）了125kx2 = 5k125k、y2 = 5k 亠125k122 ；笙格（即

6、上次时针针走过的格数）时,12 2时针又走（逃）了5k15k*:21212125k15k122123125k 5kx 3 = 5 k12 125k 5k 5k=5k 2 ?；12 12 12依此类推,=5k5k 5k5kL：;囂12 12=5k(11 1H+12 12nr)，二 5k5k 5k5k+ +1212 2n125k+12 n1 1=5k(112n _L121-).12 n模型求解:分针与时针位置差为-xn5k，显然lim (y12 n5k)=lim0，n n->C12是k点之后分针与时针重合的位置为x = lim xn ：:(或 lim yn_JC1)=lim 5k(12n12

7、 12=lim 5kn_):n1211 _12垫(k =1, 2，,11).1160:-5.4545 ，11120当 k =2 时，x10 .9091即1点后重合时间大约为 1点5分27.27秒;11，即2点后重合时间大约为 2点10分54.55 秒;以后再重合的时间分别为3点16分21.82秒、4点21分49.09秒、5点27分16.36秒、6点 32 分 43.64 秒、7 点 38 分 10.91 秒、8 点 43 分 38.18 秒、9 点 49 分 5.45 秒、10 点 54 分 32.73秒、11点60分0.00秒（即12点整）.模型分析：由于时针、分针都是匀速运动，且12小时内

8、它们要重合11次，每次重合间的时间都应该是相等的，而5分27.27秒，所以它们每隔大约1小时5分27.27秒重合一次，上面的11解也验证了这一事实.【案例二】饮料罐形状设计模型背景:听装百事可乐罐大体为圆柱体形状，全高为11.7cm、主体部分的高为9.5cm、底与顶盖部分的高为1.2cm、主体部分的直径为 6.6cm、底与顶盖部分的直径为5.9cm.容积为352ml但是为安全起见实际只装 330ml.另外顶盖部分的材质好于侧面模型假设：圆柱形有盖饮料罐符号说明：r ：饮料罐底的半径（单位： cm）；h :饮料罐底的高（单位：cm）；k :饮料罐侧面与底材料单位造价（单位：元）；ak :饮料罐顶

9、盖材料单位造价（单位：元，其中a . 1）；W :饮料罐总造价.模型建立：352 cm 3,于是二r 2h = 352 ，3522 .:r饮料罐侧面造价为:k 2 二 r h饮料罐底的造价为:2k ： r ；饮料罐总造价为：704 kW =饮料罐顶盖的造价为:r即h704 k 一（兀）；（元）；-a 二kr 2 k 二r2 二 k 竺 r (a T)二r ( r . 0).饮料的密度与水的密度大体是相等的，所以饮料罐的体积为模型求解:根据一元函数最值求法，由=k-口4 - 2（a - 1）二r =0，得唯一驻点d rr1 2352- d W1408、亠r° =,厂 y0 = k一 +2（a +1）兀乂 A 0，所以r°是W 的唯一极小值点，也（a +1）兀drr152是最小值点，于是当r° =3 （此时h = （1 ' a）r0 ）时，饮料罐的造价最低.（a +1）兀模型结果分析：根据材料的使用与技术要求，顶盖单位造价大约是侧面与底面单位造价的3倍,188 一这时a =3，求得r0 =（