第2章 2.5　直线与圆锥曲线

1、.2.5直线与圆锥曲线学习目的：1.通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系重点2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题重点、难点自 主 预 习·探 新 知1直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2bxc0.方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a0，02相交a0，01相切a0，00相离直线与双曲线a01直线与双曲线的渐近线平行且两者相交a0，02相交a0，01相切a0，00相离直线与抛物线a01直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交a0，02相交a0，01相切a0，00相离考虑：直线与抛物线、双曲线只有一个

2、公共点时，是否一定相切？提示不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交2弦长公式当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题，弦长公式为：假设直线l的斜率为k，与圆锥曲线C交于Ax1，y1，Bx2，y2两点，那么 |AB|x1x2|y1y2|.根底自测1考虑辨析1平面上到定点A1,0和到定直线l：x2y30的间隔 相等的点的轨迹为抛物线2一条直线与双曲线的两支交点个数最多为2条3抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件提示123×必要不充分条件2假

3、设直线ykx1与椭圆1总有公共点，那么m的取值范围是 Am1Bm1或0m1C0m5且m1Dm1且m5D直线ykx1恒过定点0,1，当0,1在椭圆上或椭圆内时直线与椭圆总有公共点1，解得m1.当m5时1表示圆应选D.3假设直线xa与双曲线y21有两个交点，那么a的值可以是A4 B2 C1 D2A因为在双曲线y21中，x2或x2，所以假设xa与双曲线有两个交点，那么a2或a2，故只有A符合题意合 作 探 究·攻 重 难直线与圆锥曲线的位置关系探究问题直线与圆锥曲线相交时，能用两点间间隔 公式求弦长吗？提示可以当直线与圆锥曲线相交，两交点坐标好求时，可先求出两交点坐标，用两点间间隔 公式求

4、弦长；当两交点坐标不便求出时，最好不用此法直线ymx1与椭圆x24y21有且只有一个交点，求m2的值思路探究联立方程组，消元后利用判别式求解解由消去y整理得4m21x28mx30，由64m2124m210，得m2.母题探究：1.改变问法典例中假设直线与椭圆相交，弦的中点的轨迹方程是什么？解设直线与椭圆交点为Ax1，y1，Bx2，y2，AB的中点坐标为Mx，y，由消去y整理得4m21x28mx30，x1x22x，即x， y1y22y2，y1， 由得4m， 又点x，y在直线ymx1上，所以m， 由得x24y24y0，所以弦中点的轨迹方程为x24y24y0.2改变问法典例中假设直线与椭圆相交于A，B

5、两点，求弦|AB|的长解设Ax1，y1，Bx2，y2，由消去y整理得4m21x28mx30，16m2120，解得m或m，由根与系数的关系得x1x2，x1·x2，|AB|规律方法直线与圆锥曲线位置关系的判断方法提醒：过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.弦长问题及中点弦问题椭圆ax2by21与直线xy10相交于A，B两点，C是AB的中点，假设|AB|2，OC的斜率为，求椭圆的方程. 【导学号：33242204】思路探究此题有两种解法一是利用设点、代入、作差，借助斜率解题的方法，可称为“点差法二是利用圆锥曲线弦长的根本求法，先利用两点间间隔 公式求出含a，b的关系式，再借助弦所在直线的斜率求解

6、解法一：设Ax1，y1，Bx2，y2，代入椭圆方程并作差，得ax1x2x1x2by1y2y1y20.而1，kOC，代入上式可得ba.|AB|x2x1|2，即x2x124，其中x1，x2是方程abx22bxb10的两根，又x1x224x1x2x2x124，4·4.将ba代入，解得a，b，所求椭圆的方程是y21.法二：由得abx22bxb10.设Ax1，y1，Bx2，y2，那么|AB|·.|AB|2，1. 设Cx，y，那么x，y1x.OC的斜率为，代入，解得a，b，所求椭圆的方程是y21.规律方法直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和

7、根与系数的关系解决要考虑特殊情形；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线合适题意.跟踪训练1点A1,0，B1,0，直线AM，BM相交于点M，且kMA×kMB2.1求点M的轨迹C的方程；2过定点0,1作直线PQ与曲线C交于P，Q两点，且|PQ|，求直线PQ的方程解1设Mx，y，那么kMA，kMBx±1，×2，x21x±12当直线PQ的斜率不存在，即PQ是椭圆的长轴时，其长为2，显然不合题意，即直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程是ykx1，Px1，y1，Qx2，y2，那么y1y2kx1x2，联立消去y得k22x22kx10.4k24k228k210

8、，kR，x1x2，x1x2，|PQ|2·，|PQ|2·，k22，k±，直线PQ的方程是y±x1.圆锥曲线中的最值及范围问题双曲线C：1a0，b0的焦距为3，其中一条渐近线的方程为xy0.以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A，B两点1求椭圆E的方程；2假设点P为椭圆E的左顶点，2，求|2|2的取值范围. 【导学号：33242205】解1由双曲线1的焦距为3，得c，a2b2. 由题意知， 由解得a23，b2，椭圆E的方程为y21.2由1知P，0设Gx0，y0，由2，得x0，y02x0，y0即解得G.设Ax1，y1，那

9、么Bx1，y1，|2|22y2y2x2y2x3xx.又x1，x0,3，x，|2|2的取值范围是.规律方法1求参数范围的方法据条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围2求最值问题的方法几何法题目中给出的条件有明显的几何特征，那么考虑用图象来解决代数法题目中给出的条件和结论几何特征不明显，那么可以建立目的函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法，单调性法等跟踪训练2椭圆C：x22y24.1求椭圆C的离心率；2设O为原点，假设点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值解1由题意，椭圆C的标准方程为1.所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.

10、故椭圆C的离心率e.2设点A，B的坐标分别为t,2，x0，y0，其中x00.因为OAOB，所以·0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2x0t2y0222y022xy4x440x4因为40x4，当且仅当x4时等号成立，所以|AB|28.故线段AB长度的最小值为2.当 堂 达 标·固 双 基1直线ykx1与椭圆4x2y21的位置关系是A相交B相切C相离D相交或相切D直线ykx1过定点A0,1，而A在椭圆4x2y21上，故直线ykx1与椭圆相切或相交2直线ykx2交抛物线y28x于A，B两点，假设AB中点的横坐标为2，那么k等于A2或2B1C2D3C由得k2x2

11、4k2x40，那么4，解得k2k1舍去3双曲线C：x21，过点P1,2的直线l，使l与C有且只有一个公共点，那么满足上述条件的直线l共有 【导学号：33242206】A1条B2条C3条D4条B因为双曲线的渐近线方程为y±2x，点P在一条渐近线上，又由于双曲线的顶点为±1,0，所以过点P且与双曲线相切的切线只有一条过点P平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条4假设直线ykx1与双曲线x2y21有且只有一个公共点，那么k的值为_±1或±由得1k2x22kx20.当1k20时，即k±1时，方程变为±2x20，x±1，此时直线与双曲线渐近线平行，有且只有一个交点当1k20时，由4k281k20，解得k±，此时直线与双曲线相切，有且只有一个公共点综上所述k±1，±.5直线yax1与双曲线3x2y21相交于A，B两点1求线段AB的长；2当a为何值时，