第1章 1.1 1.1.4　投影与直观图

1、.1.1.4投影与直观图学习目的：1.理解投影的概念重点2.理解“斜二测画法的概念并掌握斜二测画法的步骤重点3.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和常见几何体的直观图重点4.逆用斜二测画法，找出直观图的原图难点自 主 预 习·探 新 知1投影的概念1定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影2投影线：光线3投影面：留下影子的屏幕2直观图的概念1定义：把空间图形平面图形和立体图形的统称画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图2说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形3用斜二测

2、画法画程度放置的平面图形的直观图的步骤1画轴：在图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x轴和y轴，两轴交于点O，且使xOy45°或135°，它们确定的平面表示程度面2画线：图形中平行于或在x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于或在x轴、y轴的线段3取长度：图形中在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段，长度为原来的一半4立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面xOy垂直的轴Oz，且平行于Oz的线段长度不变其他同平面图形的画法根底自测1判断正确的打“，错误的打“×1两

3、条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行2平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴3平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变4斜二测坐标系取的角可能是135°.解析平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故3错误；由斜二测画法的根本要求可知124正确答案123×42利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的选项是图中的C正方形的直观图是平行四边形，且平行于x轴的边长为3，平行于y轴的边长为1.5.图1­1­463如图1­1­46所示是程度放置的三角形的直观图，ABy轴，那么原图中ABC的形状是_.【导学号：9

4、0662033】解析因为ABy轴，AC在x轴上，所以原图中ABAC，所以ABC是直角三角形答案直角三角形合 作 探 究·攻 重 难画平面图形的直观图按图1­1­47的建系方法，画程度放置的正五边形ABCDE的直观图图1­1­47思路探究按照斜二测画法画程度放置的平面图形的步骤画直观图解画法：1在图中作AGx轴于点G，作DHx轴于点H.2在图中画相应的x轴与y轴，两轴相交于点O，使xOy45°.3在图中的x轴上取OBOB，OGOG，OCOC，OHOH，y轴上取OEOE，分别过G和H作y轴的平行线，并在相应的平行线上取GAGA，HDHD.

5、4连接AB，AE，ED，DC，并擦去辅助线GA，HD，x轴与y轴，便得到程度放置的正五边形ABCDE的直观图ABCDE如图规律方法1在画程度放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点2画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段平行性不变，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段跟踪训练1用斜二测画法画程度放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图1­1­48所示图1­1­48解画法：1如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标

6、系xOy，使xOy45°如图2以O为中点在x轴上取ABAB，在y轴上取OEOE，以E为中点画CDx轴，并使CDCD.3连接BC，DA，所得的四边形ABCD就是程度放置的等腰梯形ABCD的直观图.画空间几何体的直观图画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.【导学号：90662034】思路探究解画法：1画轴：画Ox轴、Oy轴、Oz轴，xOy45°或135°，xOz90°，如图.2画底面：以O为中心，在xOy平面内，画出正方形程度放置的直观图ABCD.3画顶点：在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高4成图：顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅

7、助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图.规律方法1画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出程度放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可2直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变2用斜二测画法画正六棱柱底面是正六边形，侧棱垂直于底面的直观图解1画轴：画x轴、y轴、z轴，使xOy45°或135°，xOz90°.2画底面：在面xOy内，画出正六边形的直观图ABCDEF.3画侧棱：过A、B、C、D、E、F分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA、BB、CC、DD、EE、FF都等于侧棱长4成图

8、：顺次连线A、B、C、D、E、F，并加以整理就得到正六棱柱的直观图，如下图直观图的复原和计算问题探究问题1如图1­1­49，ABC是程度放置的ABC斜二测画法的直观图，能否判断ABC的形状？图1­1­49提示根据斜二测画法规那么知：ACB90°，故ABC为直角三角形2假设探究1中ABC的AC6，BC4，那么AB边的实际长度是多少？提示由得ABC中，AC6，BC8，故AB10.3假设一个三角形的面积为S，它的直观图面积是多少？提示原三角形面积为Sa·ha为三角形的底，h为三角形的高，画直观图后，aa，hh·sin 45

9、6;h，Sa·ha·h×a·hS.如图1­1­50所示，ABC是程度放置的平面图形的斜二测直观图，将其复原成平面图形.【导学号：90662035】图1­1­50思路探究由直观图复原平面图形的关键1平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段扩大为原来的2倍2对于相邻两边不与x、y轴平行的顶点可通过作x轴，y轴平行线变换确定其在xOy中的位置解画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OAOA，即CACA；过B作BDy轴，交x轴于点D，在OA上取ODOD，过D作DBy轴，且使DB2DB；连接AB，BC，得ABC.那么AB

10、C即为ABC对应的平面图形，如下图母题探究：1.如图1­1­51所示，矩形OABC是程度放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，CD2 cm，那么原图形的形状是_图1­1­51解析如下图，在原图形OABC中，应有OD2OD2×24cm，CDCD2cm，OC6cm，OAOC，故四边形OABC是菱形答案菱形2如图1­1­52所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图假设A1D1Oy，A1B1C1D1，A1B1C1D12，A1D1OD11.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积图1­1­52

11、解如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取ODOD11，OCOC12.在过点D的y轴的平行线上截取DA2D1A12.在过点A的x轴的平行线上截取ABA1B12.连接BC，即得到了原图形由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB2，CD3，直角腰的长度AD2，所以面积为S×25.规律方法1由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与程度直线成45°角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高2假设一个平面多边形的面积为S，它的直观图面积为S，那么SS.当 堂 达 标·固 双 基1关于斜二测画法所得

12、直观图的说法正确的选项是A直角三角形的直观图仍是直角三角形B梯形的直观图是平行四边形C正方形的直观图是菱形D平行四边形的直观图仍是平行四边形D由斜二测画法规那么可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确2如图1­1­53所示为一个平面图形的直观图，那么它的实际形状四边形ABCD为【导学号：90662036】图1­1­53A平行四边形B梯形C菱形 D矩形D因为DAB45°，由斜二测画法规那么知DAB90°，又因四边形ABCD为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形3如图1­1­54所示为程度放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为2,2，那么在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B到x轴的间隔 为_图1­1­54解析画出直观图，BC对应BC，且BC1，BCx45°，故顶点B到x轴的间隔 为.答案4如图1­1­55所示的直观图AOB，其平面图形的面积为_.【导学号：90662037】图1­1­55解析由直观图可知其对