数值分析常用的插值方法

1、数值分析报告班级：专业：流水号：学号：姓名：常用的插值方法序言在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。早在 6 世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17 世纪之后，牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。插值问题的提法是：假定区间a，b上的实值函数 f（x ）在该区间上n1 个互不相

2、同点 x0， x1 xn 处的值是 f（x0）， f（xn），要求估算 f （x）在 a， b中某点的值。其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n1 个参数 C0，C1， Cn 的函数类 (C0，C1， Cn)中求出满足条件P（xi ）（f xi ）（i 0，1， n）的函数 P(x)，并以 P(x)作为 f(x) 的估值。此处 （fx）称为被插值函数， x0，x1， xn 称为插值结 ( 节) 点， (C0，C1， Cn)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，（ C0， Cn）中满足上式的函数称为插值函数，R（x） f（ x） P（x ）称为插值余项。求解这类问题，它有很多种插值法，其

3、中以拉格朗日(Lagrange) 插值和牛顿(Newton) 插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermit 插值，分段插值和样条插值。一拉格朗日插值1. 问题提出：已知函数 yfx 在 n+1 个点 x0 , x1, xn 上的函数值 y0 , y1 , yn ，求任意一点x 的函数值 fx。说明：函数 yfx 可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值 fx。2. 解决方法：构造一个 n 次代数多项式函数 Pnx 来替代未知（或复杂）函数 y f x ，则用 Pn x 作为函数值 fx 的近似值。设 Pn xa0 a1xa2 x2an xn ，构造 Pnx 即

4、是确定n+1 个多项式的系数a0 , a1, a2 , , an 。3. 构造 Pn x的依据：当多项式函数Pn x 也同时过已知的n+1 个点时，我们可以认为多项式函数Pn x 逼近于原来的函数fx 。根据这个条件，可以写出非齐次线性方程组：a0a1x0a2 x02an x0 ny0a0a1x1a2 x12an x1ny1a0a1xna2 xn2an xn nyn其系数矩阵的行列式D 为范德萌行列式：1x0x02x0n1x1x12x1nDxi x jn i j 01xnxn2xn n故当 n+1 个点的横坐标 x0 , x1, xn 各不相同时，方程组系数矩阵的行列式D 不等于零，故方程组有

5、唯一解。即有以下结论。结论：当已知的 n+1 个点的横坐标 x0 , x1, , xn 各不相同时，则总能够构造唯一的 n 次多项式函数 Pn x ，使 Pn x 也过这 n+1 个点。4. 几何意义f(x)P5(x)5举例：已知函数 fxx ，求 f 115 。分析：本题理解为，已知“复杂”函数fxx ，当x=81,100,121,144时，其对应的函数值为： y=9,10,11,12 ，当 x=115 时，求函数值f 115 。解：（1）线性插值：过已知的（ 100,10 ）和（121,11 ）两个点，构造 1 次多项式函数 P x ，于是有1P1x121x100x121101110012

6、1100则f 115P1 115。（2）抛物插值：构造 2 次多项式函数 P2 x ，使得它过已知的（100,10 ）（、121,11 ）和（ 144,12 ）三个点。于是有2 次拉格朗日插值多项式：P2x121x 144x100x 144x100x 121x121100144101001211114410014412100121144121则有f 115P2 11510.722755505364206. 拉格朗日 n 次插值多项式公式：xx1xx2xxny0Pn xx1x0x2x0xnx0xx0xx2xxny1x1x0x1x2x1xnxx0xx1xxn 1ynxnx0xnx1xnxn 1nP

7、n xl 0 x y0l1 x y1ln x ynlk x ykk0其中 lkx称为基函数（k=0,1,.,n ），每一个基函数都是关于 x 的 n 次多项式，其表达式为：lk xnxx jj0 xkx jjk拉格朗日公式特点：1把每一点的纵坐标yk 单独组成一项；2. 每一项中的分子是关于 x 的 n 次多项式，分母是一个常数；3. 每一项的分子和分母的形式非常相似，不同的是：分子是x，而分母是xk7. 误差分析（拉格朗日余项定理）n1nfPnx xk ，x f xn1 ! k 0其中在 x0 , x1, xn , x 所界定的范围内。针对以上例题的线性插值，有P1 115 f 115f11

8、5 100 115 1212!函数 fx 在100,115 区间绝对值的极大值为f1002.5 10 4 ，则有：P 115f 1150.011250.051于是近似值 f 115P1 115有三位有效数字。针对以上例题的抛物线插值，有P2 115f 115f115 100 115 121115 1443!函数 fx 在 100,115区间绝对值的极大值为f 100 3.75 10 6 ，则有P2 115f 1150.00163125<0.005于是近似值 f 115P2115 10.72275550536420 有四位有效数字。8. 拉格朗日插值公式的优点公式有较强的规律性，容易编写程

9、序利用计算机进行数值计算。9. 拉格朗日插值通用程序程序流程图如下：开始输入 nxi,yi,（i=0,1,n ）t （即插值点 x）p0，k0k<=nyynl 1，j 0j<kyn开始输入 nl l*(t-xj)/(xk-xj) j=j+1j=k+1xi,yi,（i=0,1,n ）t （即插值点 x）p0，k0nj< nyl l*(t-xj)/(xk-xj) j=j+1k<=nyy计算 l(k)np=p+l*ykp=p+l*ykk=k+1k=k+1输出p输出p结束结束l 1，j 0j<kynl l*(t-xj)/(xk-xj) j=j+1j=k+1nj< n

10、yl l*(t-xj)/(xk-xj) j=j+1文件 lagrange.m 如下：%拉格朗日插值close alln=input('已知的坐标点数n=?');x=input('x1,x2,.,xn=?');y=input('y1,y2,.,yn=?');xx=input('插值点 =？ ');syms t%定义 t 为符号量p=0;for k=1:nl=1;for j=1:k-1l=l*(t-x(j)/(x(k)-x(j);endfor j=k+1:nl=l*(t-x(j)/(x(k)-x(j);endp=p+l*y(k);en

11、dp=inline(p);%fplot(p,min(min(x),xx)-1,max(max(x),xx)+1);%把符号算式 p 变为函数形式画多项式函数hold onp(xx)plot(x,y,'o',xx,p(xx),'*');%显示插值点画已知点和插值点在 MATLAB命令窗口输入：lagrange然后有以下对话过程和结果，已知的坐标点数n=?6x1,x2,.,xn=?1,3,5,7,9,11y1,y2,.,yn=?-1,20,0,-1,12,3插值点 =？8ans =有以下图形：二牛顿插值拉格朗日插值的缺点：无承袭性（继承性）若算出 3 点的抛物插值精

12、度不够，再进行4 点的3 次多项式插值时，必须从头算起，前面算出的3 点抛物插值的计算结果不能利用。而泰勒插值却是具有承袭性的，如线性插值的结果不精确，那么再加上一项，就变成了泰勒抛物插值，如：泰勒 1 次插值： P1xfx0fx0xx0泰勒 2 次插值： P2xfx0fx0xx0f x0x x02 。2!而牛顿插值就是具有承袭性的插值公式1. 差商的概念设 n+1 个点 x0 , x1, , xn 互不相等，则定义：xi和 x j ij 两点的一阶差商为： f xi , x jf xifx jxix jxi, x j , xk三点的二阶差商为： fxi, x j , xkf xi , xjf

13、 xj , xkxixkxi, x j , xk, xl 四点的三阶差商为： ff xi , x j , xkf xj , xk , xlxi , xj , xk , xlxixln+1 个点 x0 , x1 , xn 的 n 阶差商为：fx0 , x1, xnf x0 , x1 , , xn 1f x1 , x2 , xnx0xn差商具有对称性： f xi , x jfxj, xi ； fxi , xj , xkfx j , xi , xk2. 牛顿插值解决的问题与拉格朗日插值解决的问题相同只是表述 n 次多项式 Pn x 的公式不同。3. 牛顿插公式的推导根据差商的概念，有：fxfx0fx

14、, x0xx0fx, x0是 x, x0 两点的一阶差商；fx, x0fx0 , x1fx, x0 , x1xx1fx, x0 , x1是 x, x0 , x1 三点的二阶差商；fx, x0 , xn 1fx0 , x1, xnfx, x0, x1, xnxxn把以上各式从后向前逐次代入，可以得到：f xf x0f x0 , x1x x0f x0 , x1 , x2x x0x x1f x0 , x1 , , xnx x0x x1x xn 1f x, x0 , x1 , , xnx x0x x1x xnf xPn xRnx其中 Pn xf x0f x0 , x1x x0f x0 , x1 , x

15、2x x0 x x1f x0 , x1, , xnx x0x x1x xn 1Rn xf x, x0 , x1, , xnx x0x x1x xn以上 Pnx 的表达式称为牛顿插值公式， 可以证明， n 次牛顿插值多项式与 n 次拉格朗日插值多项式完全相同，只是表达形式不同。故，拉格朗日余项定理与牛顿余项定理相同：nfn1nRn xPn xf xf x, x0 , x1, , xnx xkx xk ，n1 !k0k 0其中在 x0 , x1, xn , x 所界定的范围内。则有公式： fx, x0 , x1,f n1, xn1 !n4. 牛顿插值差商表xiyi一阶差商二阶差商n 阶差商*x0y

16、01x1y1fx0,x1(x-x0)x2y2fx1,x2fx0,x1,x2(x-x0)(x-x1)x3y3fx2,x3fx1,x2,x3(x-x0)(x-x2) xn-yn-11xnynfxn-1,xnfxn-2,xn-1,xnfx0,xn(x-x0)(x-xn-1)5. 举例已知函数 f(x) 当 x=-2,-1,0,1,2时，其对应函数值为 f(x)=13,-8,-1,4,1。求 f(0.5)的值。解：该题目与例 1 相比，就是多了一个点， 所以和例 1 的差商表相比， 只需多一列，多一行：xiyi一阶差二阶差三阶差四阶差*商商商商-2131-1-8-21(x+2)0-1714(x+2)(

17、x+1)145-1-5(x+2)(x+1)x21-3-4-11(x+2)(x+1)x(x-1)而 5 个点的 4 次牛顿插值多项式 P4x 是在 P3x 的基础上多增加1 项：P4 x 13 21 x 214 x 2 x 1 5 x 2 x 1 x x 2 x 1 x x 1则f 0.5P4 0.5 1321 0.5 214 0.520.5 150.5 20.5 1 0.5 0.5 2 0.5 1 0.5 0.52.6875可以在 MATLAB下运行程序 newton02.m：p4=inline('13-21*(x+2)+14*(x+2)*(x+1)-5*(x+2)*(x+1)*x+(

18、x+2)*(x+1)*x*(x-1)');fplot(p4,-2.5,2.5,'r');hold onxi=-2,-1,0,1,2;yi=13,-8,-1,4,1;plot(xi,yi,'*');plot(0.5,p4(0.5),'o');可以得到以下图形：6. 牛顿插值的优点（ 1）具有承袭性质（ 2）利用差商表，计算多点插值，比拉格朗日公式计算方便。7. 牛顿插值算法的通用程序以下是程序流程图：开始输入 nxi,yi,（i=0,1,n ）t （即插值点 x）fi=yi,i=0,n1p=f0,k=1i=1i<=nnyyk<=

19、nyl=1,j=0nnk=nj< k-1yk>=iyfk=(fk-1-fk)/(xk-i-xk)k=k-1i=i+11nl l*(t-xj) j=j+1pp+fk*lk=k+1输出p结束MATLAB的通用程序 newton.m 为：%牛顿插值close alln=input('已知的坐标点数n=?');x=input('x1,x2,.,xn=?');y=input('y1,y2,.,yn=?');xx=input('插值点 =？ ');% 计算差商： fx1,x2,fx1,x2,x3,.,fx1,x2,.,xn f=y

20、;for i=1:n-1%计算第 i 阶差商for k=n:-1:i+1f(k)=(f(k)-f(k-1)/(x(k)-x(k-i);endendsyms t%定义t为符号量p=f(1);for k=2:nl=1;for j=1:k-1l=l*(t-x(j);endp=p+l*f(k);endp=inline(p);%把符号算式p 变为函数形式fplot(p,min(min(x),xx)-1,max(max(x),xx)+1);%画多项式函数hold onp(xx)plot(x,y,'o',xx,p(xx),'*');%显示插值点画已知点和插值点在 MATLAB命令窗口输入：newton然后有以下对话过程和结果，已知的坐标点数n=?6x1,x2,.,xn=?1,3,5,7,9,11y1,y2,.,yn=?-1