双重根号化简

1、双重根号化简及根与系数的关系一、双重根号的化简：对于p+2q,若存在实数a,b，满足a+b=p,ab=q,则p±2q=a+b±2ab=a±b(a>b>0)，例如：4+23=3+1典例：化简：1、5+26 2、7-2103、3+22 4、8-2155、8-43 6、6+42二、韦达定理：1、若一元二次方程中，两根为，。则，；补充公式2、一般地，对于关于x的方程x2pxq0（p，q为已知常数，p24q0），它的两个根为x1、x2，则x1x2=-p,x1x2=q即：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项典例1：写出下列方程的两根和与两根积：三、韦

2、达定理的应用： 应用（1）：已知方程的一个根，求另一个根 。典例2：1、 已知一元二次方程2x2-7x+6=0的一个根是2，则它的另一个根是2、 .已知关于x的方程x26xp22p50的一个根是2，求方程的另一个根和p的值.应用（2）：已知方程的两个根，求做方程（根据根与系数的关系，把已知的两个根的和的相反数做所求方程的一次项系数，两根的积做常数项，而把二次项系数作为1，这样，就能作出这个方程。）典例3：已知方程的两个实数根是1+2和1-2，则这个方程是应用（3）：不解这个方程，求某些与根有关的代数式的值（这些代数式是方程两个根的对称式）。典例4：已知方程x2+2x-1=0的两根分别

3、是x1,x2,求x12+x22x12+x1x2+x22 1x12+1x22 x1-x2 的值。 应用（4）：求作另一个方程，使它的根与原方程的根有某些特殊关系。典例5：已知方程x2+5x-2=0,求作一个新的一元二次方程, 使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数。应用（5）：不解方程，判断方程根的情况。典例6：若k>1,关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0的根的情况是( ) A.有一正根和一负根B.有两个正根 C.有两个负根 D.没有实数根应用(6)：利用给出的条件，确定一个一元二次方程中某些字母系数的值。（注意验证：0）典例7：（2013呼和浩特，9，3分）已知

4、、是关于x 的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=-1，求m 的值应用(7)：根据根与系数的关系，可以把所求的两个数当作一元二次方程当中的系数，然后解这个方程，那么方程的两个根就是这两个数。典例8：已知两个数的和是20，乘积是23，求这两个数。应用（8）：综合应用：即已知方程两根时，要同时考虑根的定义和根与系数的关系。（2013烟台）已知实数a，b分别满足a26a40，b26b40，且ab，求的值四、跟踪练习1、已知、是一元二次方程的两根，则的值是（）A.0 B.2 C. D.42、已知一元二次方程的一个根是2，则另一个根为（）A.2 B.3 C.4 D.

5、83、关于x的方程x2pxq0的两根同为负数，则()Ap0且q0 Bp0且q0Cp0且q0 Dp0且q04.(2014,陕西)若x=2是关于x的一元二次方程x2ax+a2=0的一个根，则a的值为（）A1或4B1或4C1或4D15、（2014,广西来宾）已知一元二次方程的两根分别是2和3，则这个一元二次方程是（）Ax26x+8=0Bx2+2x3=0Cx2x6=0Dx2+x6=06.（2014,攀枝花）若方程的两实根为、，那么下列说法不正确的是（）A.B. C. D.7、（2014,莱芜）若关于x的方程x2+（k2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=8、（2014,江西）若是方程的两个实数根，则_

6、.9、已知关于x的方程x2pxq0的两个根是0和3，则p=_， q=_10、孔明同学在解一元二次方程x23xc0时，正确解得x11，x22，则c的值为_11已知方程x26x50的两根为a，b，则的值是_12、.已知关于x的方程x22xm2+m20的一个根是2，求方程的另一个根和m的值.13、（2014山东省烟台市，8，3分）关于x的方程的两个根的平方和5是，求a的值14、已知，关于x的方程的两个实数根、满足，求实数的值.15、已知方程x2+3x+m=0的两根之差为5,求m的值.16、如果m,n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3,n2-n=3,求代数式2n2-mn+2m+2015的值。17、已知：a2+2a-1=0,b4-2b2-1=0且1-ab20,求()2004的值。18、已知关于x的方程x2+2mx+m+2=0,求:(1)m为何值时,方程的两个根一个大于0,另一个小于0;(2)m为何值时,方程的两个根都是正数;(3)m为何值时,方程的两个根一个大于1，一个根小于1。19、（1）已知方程x2-x-6=0的两个根是、，求2+2（2）已知方程x2-2(k+1