分式考点及典型例题分析(最全面)

1、分式考点及典型例题分析1、分式的定义:（2 ）下列式子，哪些是分式?c3ra 3.y.7x；2； ；5 x 4y8（1） 使分式有意义： 令分母工0 按解方程的方法去求解;（2 ）使分式无意义：令分母=0 按解方程的方法去求解;注意：（x21工 0）例 1:例 3:当 x时，分式一x当 x时，分式11有意义；512有意义。x212x 1例 2:分式中，当x2 x时，分式没有意义时，分式2x有意义x21例 4:当 x例 5:x,y满足关系时，分式y无意义；xy例 6 :无论 x 取什么数时，总是有意义的分式是（)3、分式的值为零:使分式值为零：令分子 =0 且分母工 0，注意：当分子等于o 使，

2、看看是否使分母=0 了，如果使分母=0例：下列式子中,x y235a b 3a2b2-、 -2x y 45xy 1a丄中分式的个数为（m(A)2(B)练习题:（1）下列式子中，是分式的有2x 1 3xy-、 -2(C)(D)5xy小2 2.2x y2、分式有，无意义，总有意义:xy.1b； x2y452xx21B.2x 13xC.x31例 7 :使分式有意义的 x 的取值范围为（)A.x 2B.x 2C.x例&要x 2(x 1)(x 3)210 x了，那么要舍去。1 2a时，分式的值为 0a 1例 2 :当 x时，分式1-的值为 0 x 1例 3 :如果分式一a2-的值为为零，则 a

3、的值为（2A.B.2C.2例 4 :能使分式.笃xx的值为零的所有x的值是11ex 0或x 1Dx例 5:要使分式 #9的值为 0,则 x 的值为（x 5x 6A.3 或-3B.3C.-3例 6 :若1 0,则 a4、分式的基本性质的应用:分式的基本性质: 分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变。xyaabyA ,A_eBBe6x(y z)3(yz)2如果7(3a 1)55成立，则 a 的取值范围是7例 2 :33a b (例 3: 如果把分式A、 扩大 10 倍例 4: 如果把分式A. 扩大 100 倍例 5: 如果把分式2A、扩大 2 倍;a 2b出砧 中的a bB、缩小

4、a 和 b 都扩大 10 倍，那么分式的值（10 倍 C10-中的 x, y 都扩大yB .扩大 10 倍 C、是原来的 20 倍 D、不变10 倍，则分式的值（.不变 D 缩小到原来的红 中的 x 和 y 都扩大 2 倍，即分式的值（yB、扩大 4 倍;C、不变;D 缩小 2 倍xy5、分式的约分及最简分式:1约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分2分式约分的依据：分式的基本性质.3分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式.4约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要

5、分数字，同字母进行约分。第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。x例 1:下列式子（1） Pxy2y1/c、b a a b /c、b aa b1;(4)%yx yx yx yx yc a a cI O 丿-中正确的是（）A、 1 个B、2 个C、 3 个D、4 个例 2 :下列约分正确的是（)例 6:如果把分式A、扩大 2 倍;例 7 :如果把分式中的 x 和 y 都扩大 2 倍，即分式的值（扩大 4 倍;C、不变;D 缩小中的 x 和 y 都扩大 2 倍，即分式的值（A、扩大 2 倍;扩大 4 倍;C、不变;D 缩小例&若把分式A.扩

6、大 12 倍x2xB.缩小 12 倍竺的 x、y 同时缩小 12 倍，则分式的值（C.不变D.缩小 6 倍9 :若 x、y 的值均扩大为原来的2 倍，则下列分式的值保持不变的是（A、3x2y3x273x3例 10:根据分式的基本性质，分式可变形为（b例 11 :不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，例 12:不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，aa b0.2x 0.012x 0.051 x2 =1 x x6x3A x;xc、x yxyx22xy24x2y例 3:下列式子正确的是（A J 02x yB.aa yyC.例 4:下列运算正确的是（A、F 列式子正确的是（

7、A.b22a化简m2约分:例 8: 约分:ax ay2 2x ya2b2D.-a4x2y6xy2a24a24ax216x28x16xx294xy162y例 9 :分式弓_2,f-a23 a2A. 1 个 B . 2 个6、分式的乘，除，分式的乘法：乘法法测:分式的除法：除法法则:5ab20a2b4a12(a b)乘方:12m0.1a0.3b3b0.2a3xy2a(a b)b(a b)92x 6x29x26x 9xy2a b13y0.6x y3x 5yo1中，最简分式有（）x 2；xy；(x y)214a2bc321a3bca c ac- ;- -b d一bda c a d1:_ -114b d

8、 b cadbc分式的乘方：求 n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是a（）n.分式的乘方，是把分子、b分母各自乘方用式子表示为:naa()n=-(n 为正整数)bb例题:计算:(1)空?邑15x639y716x3y4(2)10125a56x413100a(3)aa?1a计算:2, 2?a b4aab ab a2(5)xx225x24(6)2a-2 a -14a计算:(7)6x2y2? 4x3y3(8)6ab3b22a(9)xyxyx y计算:(10)尘3y25y6x10y21x2(11)2x-2 x16x 9(1 x)?x2(12)计算:(13)a 2a242a(14)2a

9、64 4a a2求值题：（1）已知:2xy y22的值。2x xy(2)已知:9y3x，2求 Z42x2y2y的值。(3)已知:求2x 3xy例题:计算:(1 )c 2(斛3计算:b2a2(6)a a2a21求值题：（1）已知:（2） 已知:x 2xy y2ab(3)(5)b2x2a22a4a3a2a 610 x3y32x2ab4求xy yz xz25x2z2的值。2X X2xy 2y的值。C1x2)A.1A. (m n)(mn2)/ 2B .(m2 2n )C .(mn)2(m n)例 2 :对分式乂,2xx2，3y21通分时,4xy最简公分母是（23A.24xy2x2y2C.D.12例 3

10、:下面各分式:2.x1xy222x x x y2 2xy，x y其中最简分式有）个。A. 4B. 3C. 2D. 17、分式的通分及最简公分母:通分： 主要分为两类： 第一类： 分母是单项式； 第二类： 分母是多项式 分为三种类型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三种类型。“二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。2x例如：最简公分母就是x 2 x 2。x 2 x 2“二、四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母。例如：2x24 x 2 x 22最间公刀母就是xx2x 4“四、六”型:指几个分母之间有相同的因式，冋时也有独特的因式，最

11、简公分母要有独特的；相冋的都要有。例如：一x-最简公分母是：2xx 22x 2 x x 2这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用，仔细的去发现之间的区别与联系。例题：计算(x2y)2xy ?x2x x y的结果是（Bx例题：化简的结果是（xB.xyC.计算：（1）2x3x24x 48x；(2)2x 42x 2x 1x212xx 1(3) (a22a 21a 12a 2（要先把分母因式分1 1例 1 :分式-,2-m n m n22,-的最简公分母是（m n112 2a29+3 a(2)(3)(4)例 4 :分式的最简公分母是.a 4 2a 41例 5 :分式 a 与的最简公分母为 _;b

12、1 1例 6 :分式212,21的最简公分母为 _x y x xy8、分式的加减：分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。通分方法： 先观察分母是单项式还是多项式， 如果是单项式那就继续考虑是什么类型， 找出最简公分母, 进行通分；如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式与分式的加减。2a23 a241 a212x 2 x计算:(1)(4)化简例 12:(3)(ab2b)2(ba)25a2bab23 3a2bab21 1

13、11+丄+丄等于（x2x 3x8 a2bab2112x2x6x6x2a4例 8:(x3xx3)23 xx2练习题：（1）x 62小x 3xb2abb2a22a 1例 10 :a(5)a 2a2411:4x242nx 2y112 2a29+3 a(2)(3)(4)a 3 a 2 a 49、分式的混合运算:4x2162a例 13：计算a 1的结果是(a 1a2a 1a 1例 14:请先化简:2xx-,然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值42例 15:已知：x24x 301 2xx24x的值。例 2:4x 3a 3 a 2 a 4(7x y_2y2x 2xy10、分式求值问题:例 2 :已知

14、 x= 2, y =1，求 企 企的值.2(x y) (x y) x y x y1例 3 :已知实数 x 满足4X2-4X+I=O，则代数式 2x+的值为_2x例 4 :已知实数a 满足a2+ 2a 18=0,求a232a22a1的值.a 1 a1a4a 3例 5 :右x13求2x的值是().A .11B.1c.x42x x18102例 6 :已知113, 求代数式2x 14xy2y的值xyx 2xyy2a 1 a 3 a 6a 9练习题:x22xx2例 6:x y2y2y4xy4y2x 1x24x4)例 8:xx22x 121:已知 x 为整数，且2 2x 18+ +x 3 3 x为整数,9

15、求所有符合条件的x 值的和例 7:先化简，再对a取一个合适的数，代入求值22 2x y(1)J4xx，其中 x=5.b=2(4)(6)(7)(8)11、8x162(2) Ja宜上，其中 a=5162abV其中a=-3，a21a 4a 4先化简, 再求值:2x 4a=85;讯 x+2(5)（土x12x24x-_4，其中 x= -1x2,其中x=- 2.先化简,a22ab b2)1x21（汽1,其中 al,b，再选择一个你喜欢的数代入求值.分式其他类型试题:例 1:观察下面一列有规律的数:415524635748，根据其规律可知第n个数应是.（n为正整数）例 2:观察下面一列分式:x2卑，根据你的

16、发现，它的第 8 项是x，第 n 项是_。例 3:按图示的程序计算,若开始输入的n 值为 4，则最后输出的结果 m 是(A 10 B 20 C 55 D 501 10时，分式- 与-互为相反数.5 x 2 3x例 4 :当 x=例 5:在正数范围内定义一种运算，其规则为B.x 1C. x1，根据这个规则b-或 13x(x 1)i的解为已知4x(x24)Bx C已知(yA .A 10, B3y 71)(y13，则,B,C2)y 210, B，则（13CA10,B13D. x10, B 13例&已知2x3y,xy2y2x的值;y1 11例 9:设m n mn,则的值是()A.B.Om nm

17、n例 10：请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式例 11 :先填空后计算:12、化为一元一次的分式方程:(1) 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程一一分式方程。(2)解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式(最简公分母)，把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为 0,这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。X 1例 1:如果分式丄丄的值为一 1 贝 y X 的值是2x 154例 2 :要使-与-的值相等，则 x=_x 1 x 2 2mx 1 1例 3 :当 m=_时方程1=2 的根为-.m x2例 4 :如果方

18、程23的解是 x5，则 a =oa(x1)幽2例 5: (1)-x3(2)2x113 xx 1x3例 6:解方程：x 216x2x 2x24x2例 7 :已知：关于 x 的方程1ax4x 33尢解，求 a 的值 ox例 8:已知关于 x 的方程a1的根是正数，求 a 的取值范围。x 21x2例 9:若分式与的 2 倍互为相反数，则所列方程为 _x 2 x 3x2一 4 x y +4 y2-4y2x -2yC.1D.1(本小题 4 分)计算:1n(n 1)解:1n(n 1)1(n 1)(n 2)1(n 1)(n 2)1(n 2)(n3)1o -n 21(n 2)(n3)1o (3 分)(n 20

19、07)(n2008)(n 2007) (n 2008)(3)解分式方程的步骤(3):(1)能化简的先化简；解整式方程；(4)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程; 验根.mx x 1例 10:当 m 为何值时间？关于x的方程2的解为负数？x x 2 x 1 x 2b xx b例 11：解关于x的方程2(a 0)13、分式方程的增根问题:（1 ）增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为（2）分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母,解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。例 1:分式方程 +仁-有增根，则 m=_x 3 x 30，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 如

20、果最简公分母的值不为0，则整式方程的k时，关于 x 的方程x 314、分式的求值问题：例 1 ：已知旦1，分式a b的值为_b 32a 5b例 3 :若解关于 x 的分式方程x 2mx2x时，方程xx 2会产生增根，求 m 的值。会产生增根;x 3x例 5:若关于 x 的分式方程 x 3例 6 :当 k 取什么值时？分式方程2无解，则x 3k若方程例 8: 若方程m的值为0有增根.有增根，则44有增根，则增根可能为x（x 2）2m的值是（C、0 或 2)A. 4 B . 3 C . -3 D . 112:解关于 x例 15 知关于 x 的方程x!:x1x 12a(2 2( aba baabx

21、1x 22x ax 2x 1(x2)(x 1)x2x2y2x 2(xy)2xyx yx 1xm0)x 2y练习题:(1)16(x2)(x的解为负值,1）求 m 的取值范围。x(x 1)1 X2xx 5x 2(5)5x4x 62x 4“、11x)1(7)3(8x 22xx 32x513x622123xx2932x 2例 2 :当 k 的值等于4 x不会产生13:当 a 为何值时,的解是负数？14:先化简，再求值2,其中 x,y 满足方程组(9)例 2:若 ab=1，则1 1a 1 b 1的值为1例 3 :已知a a23，那么a1 a1 1例 4:已知丄 -3，则5x xy的值为（)A7 -B7C

22、-D2x yx xyy22777 :已知一与的和等于24x，贝 y a= , b =x 2 x 2x24错抄成了“x J3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事?（1 ）列方程应用题的步骤是什么？（1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）答.（2）应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种：a. 行程问题：基本公式：路程 =速度 x 时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题.b. 数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法.c. 工程问题：基本公式：工作量=工时 x工效.d.顺水逆水问题：V顺水二V静水+V水. V逆水二V静水-V水.工程问题：例 1 :一项工程，甲需x小时

23、完成，乙需y小时完成，则两人一起完成这项工程需要 _ 小时。例 2 :小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打 6 个字，小明打 120 个字所用的时间和小张打 180 个字所用的时间相等。设小明打字速度为120 180 120 180ABC例 5:已知2x 3y，求2Xy2x y2亠右的值;x y如果a=2，则b2 2a ab ba2b21 1&若xy x y 0，则分式一一y x9 :有一道题“先化简，再求值:1()A、B 、yxy4x、1飞 )一，其中xxC、1 D、一 13。”小玲做题时把,3 ”例 10:有这样一道数学题:“己知:a=2005,求代数式a(1+ 丄)-

24、a1-的值”，王东在计算时错把1“a=2005”抄成了“ a=2050”，但他的计算结果仍然正确，x22x 1例 11:有这样一道题：“计算：x22x 1x21但它的结果与正确答案相同，你说这是怎么回事?1c.x2x请你说说这是怎么回事。x 1令丄x的值，其中xx x2007”，某同学把x2007错抄例题:15、2008，已知x3，求飞xx分式的应用题:-的值。1x 个/分钟，则列方程正确的是（120 180 x x 6x 6 xx 6 x例 3:某工程需要在规定日期内完成，如果甲工程队独做，恰好如期完成；如果乙工作队独做，则超过规定日期 3 天,现在甲、乙两队合作2 天，剩下的由乙队独做，恰

25、好在规定日期完成，求规定日期如果设规定xx72 x一 ；x 3x 72:3372 x例&八（1）、八（2）两班同学参加绿化祖国植树活动，已知八（ 八（1）班种 66 棵树所用时间与八（2）班种 60 棵树所用时间相同，求：八（ 种几棵树？例 9:某一一项工程预计在规定的日期内完成，如果甲独做刚好能完成，如果乙独做就要超过日期3 天，现在甲、乙两人合做 2 天，剩下的工程由乙独做，刚刚好在规定的日期完成，问规定日期是几天？例 10:服装厂接到加工 720 件衣服的订单，预计每天做 48 件，正好可以按时完成，后因客户要求提前5天交货，则每天应比原计划多做多少件？例 11:为加快西部大开发

26、的步伐，决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单 独施工，则刚好可以按期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6 个月才能完成。现在甲、乙两队先共同施工 4 个月，剩下的由乙队单独施工，则也刚好可以按期完成。问师宗县原来规定修好这条公路需多 长时间？例 12:某工程由甲、乙两队合做 6 天完成，厂家需付甲、乙两队共4350 元；乙、丙两队合做 10 天完成，2厂家需付乙、丙两队共 4750 元；甲、丙两队合做 5 天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共 27503丿元。（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？（2）若工期要求不超过 20 天完成全部工程，问可由哪队单独

27、完成此项工程花钱最少？请说明理由。价格价钱问题：例 1: “五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180 元，日期为x 天，下面所列方程中错误的是六31；B.口1；D丄x 3x例 4:一件工程甲单独做是( ).(A)a ba小时完成，乙单独做1 1（B）-a bb小时完成，甲、1（C）-a b乙二人合作完成此项例 5:赵强同学借了一本书，共280 页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平时每天要多读21 页才能在借期内读完他读了前一半时，平均每天读多少页列方程中，正确的是（）140140?如果设读前一半时,平均每天读 x 页,则下A、14B、x x

28、21x例 6:某煤厂原计划x天生产 120 吨煤，列出方程为（120 120Ax 2 x例 7 :某工地调来280 280 x 21x由于采用新的技术，14B、10亠1x 21每天增加生产 3 吨,140140一14x x 21因此提前 2 天完成任务,120 120 x x 272 人参加挖土和运土工作，已知3C 迴竺3x 2 x3 人挖出的土力才使挖出来的土能及时运走且不窝工？要解决此问题，可设派120 1203- 3x x 21 人恰好能全部运走，问怎样调配劳动13；72 xx人挖土列方程2 棵树，1）班每小时比八（2）班多种1）、八（2）两班每小时各出发时又增加了两名同学，结果每个同学

29、比原来少摊了3 元钱车费，设参加游览的同学共x 人，则所列千克售价少 3 元，比乙种涂料每千克的售价多1 元，求这种新涂料每千克的售价是多少元？若设这种新涂料每千克的售价为 x 元，？则根据题意可列方程为 _ .例 3:某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150 人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别为600 元和1000 元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2 倍，问甲、乙同种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？例 4:为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为 5000 元，第二次捐款人数比第一次捐款人数多2

30、0 人，而且两次人均捐款额恰好相等。那么这两次各有多少人进行捐款？例 5 :随着 IT 技术的普及，越来越多的学校开设了微机课 .某初中计划拿出 72 万元购买电脑，由于团体 购买，结果每台电脑的价格比计划降低了500 元，因此实际支出了 64 万元.学校共买了多少台电脑？若每台电脑每天最多可使用 4 节课，这些电脑每天最多可供多少学生上微机课？（该校上微机课时规定为单人单机）例 6 :光明中学两名教师带领若干名三好学生去参加夏令营活动，联系了甲、乙两家旅游公司，甲公司提供的优惠条件是：1 名教师收行业统一规定的全票，其余的人按7.5折收费，乙公司则是：所有人全部按1一8 折收费经核算甲公司的

31、优惠价比乙公司的优惠价便宜，那么参加活动的学生人数是多少人？32例 7:北京奥运祥云”火炬 2008 年 5 月 7 日在羊城传递，熊熊燃烧的奥运圣火将在羊城传递和平、友谊、 进步的和平之旅”，广州市民万众喜迎奥运。某商厦用8 万元购进奥运纪念运动休闲衫，面市后供不应求，商厦又用万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2 倍，但单价贵了 4 元，商厦销售这种运动休闲衫时每件定价都是 58 元，最后剩下的 150 件按八折销售，很快售完，请问在这两笔生意 中，商厦共赢利多少元？906090609060A、 x 2 = x 2B、 x 2 = x 2C、 x+3= x例 3:轮船顺流航

32、行 66 千米所需时间和逆流航行 48 千米所需时间相同，已知水流速度是每小时 3 千米, 求轮船在静水中的速度。行程问题:方程为A 型x(180 x 2)B .型型3C .型型3D例 2:用价值 100 元的甲种涂料与价值 240 元的乙种涂料配制成一种新涂料,180 1803x 2 x其每千克售价比甲种涂料每顺水逆水问题:例 1 :小时，例 2 :速度,A、 B两地相距 已知水流速度为一只船顺流航行48 千米，一艘轮船从 A 地顺流航行至 B 地，又立即从 B 地逆流返回 A 地，共用去 9 4 千米/时，若设该轮船在静水中的速度为匹9C、48 4 x 4 xx90km 与逆流航行 60km 所用的时间相等，）x千米/时，则可列方程（9设船在静水中速度为xkm/h，则可列方程6090D、x+3=x例 4: A、B 两地的距离是 80 公里，一辆公共汽车从 A