递推数列分类 (2)

1、递推数列分类类型1：渗透三角函数周期性数列与三角函数的结合是一类创新试题，利用三角函数的周期性体现数列的变化，利用三角不等式进行放缩是证明数列不等式的常见方法。例1（2008年湖南卷，18，满分12分）数列an满足a1=1，a2=2，求a3，a4,并求数列an的通项公式；本题分为两种情况，采取非常规的递推数列求通项的方法，利用三角函数的诱导公式寻找递推关系，体现三角函数的周期性，进而求出该数列的通项为一分段数列。例2（2009年江西，文，21，满分12分）数列an的通项，其前n项和为（1）求sn；（2）令，求数列bn的前n项和Tn例3（2009年江西，理8，5分）数列an的通项，其前n项和为s

2、n，则sn为（ ）A470B490C495D510类型2：an+1=an+f(n)解法思路：把原递推公式转化为an+1-an=f(n)，利用累加法（逐差相加法）求解例4（2008，江西，理5）在数列an中，a1=2,an+1=an+ln,则an=A2+lnnB2+(n-1) lnnC2+nlnnD1+n+lnn例5（2009，全国I，理22）在数列an中，a1=1,an+1=（1）设，求数列an的通项公式；（2）求数列an的前n项和。 类型3：an+1=f(n)an解法思路：把原递推公式转化为，利用累乘法（逐商相乘法）求解例6（2004，全国I，理15）已知数列an，满足a1=1,an=a1+

3、2a2+3a3+(n1)an1(n2)，则an的通项an=_解：由已知，得an+1=a1+2a2+3a3+(n1)an1+nan，用此式减去已知式，得当n2时，an+1an=nan，即an+1=（n+1）an，又a2=a1类型4：an+1=pan+q（其中p、q均为常数，且pq(p1)0）解法思路：待定系数法，把原递推公式转化为an+1t=p(ant)，其中，再利用换元法转化为等比数列求解，或转化为二队循环数列来解（见后文），或直接用逐项迭代法求解。例7（2008年，安徽，文21）设数列an满足a1 =a,an +1=c an +1c,nN*，其中a、c为实数，且c0求数列an的通项公式；解：

4、方法一：因为an+11=c(an1)所以当a1时，an1是首项为a1，公比为c的等比数列所以an1=( an1)cn1即an=( an1)cn1+1当n=1时，an=1仍满足上式数列an的通项公式为an=( a1)cn1+1 (nN*)方法二：由题设得：n2时, an1=c( an11)=c2 (an21)= cn1(an1)= (a1)c n1所以an=( a1)=c n1+1n=1时，a1=a也满足上式所以an的通项公式为an=( a1)cn1+1 (nN*)类型4的变式：an+1=pan+f(n)解法思路：通过构造新数列bn，消去f(n)带来的差异，例如下面的类型5 ：an+1=pan+

5、qn（其中p、q均为常数，pq(p1)(q1)0）（或an+1=pan+rqn，其中p、q、r均为常数）解法思路：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn+1，得，引入辅助数列bn（其中），得即可转化为类型3。或直接将原递推式变形为），（其中），则直接转化为等比数列例8（2006，全国I22，12分）设数列an的前n项的和求首项a1与通项an。例9（2009，全国II，理19）设数列an的前n项的和（1）设，证明数列bn是等比数列；（2）求数列an的通项公式。类型6：（其中p，q均为常熟）。解法一（待定系数法）：先把原递推公式转化为，其中s, t满足解法二（特征根法）：对于由递推公式,=,=给出

6、的数列an，方程,叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列an的通项为，其中A、B由=,=决定（即把和n=1,2,代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A、B由=,=决定（即把和n=1,2，代入，得到关于A、B的方程组）。例10（2006，福建，文22）已知数列an满足=1,=3，（）。（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列an的通项公式；（3）若数列bn满足（），证明bn是等差数列。解：（1），=1,=3，（），是以=2为首项，2为公比的等比数列。（2）（），an =+ + + += + +2+1=-1（）类型7 递推公式为Sn与的关系式（或Sn）解法思路：这

7、种类型一般利用=或=消去进行求解。例11.（2009，湖北19）已知数列an的前项和Sn= -+2（为正整数），令=，求证数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式解：在Sn= +2中，令n=1，可得S1 = -+1=，当时，Sn-1= +2，=SnSn-1=+2=+，即=+1又=，=+1，即当时，-=1又=2=1数列bn是首项和公差均为1的等差数列，于是=n=,=.例12 （2008，全国II20）设数列an的前n项和为Sn，已知=,=Sn+（）,（）设=-，求数列bn的通项公式；（）若（），求的取值范围。解（）依题意-=+，即=2+，由此得-=2（-），因此，所求通项公式为=-=（-3），

8、（）。（）由（）知=+（-3），（），于是当时，=-=+（a-3）-（a-3）=2×+(a-3) =4×+(a-3) =,当时,09。又=+3综上，所求的的取值范围是。类型8 an+1=pan+an+b(p1,a0)解法思路：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列， 即令，与已知递推式比较，解出，从而转化为是公比p为的等比数列。例13.（2006山东，文，22）已知数列an中，=，点在直线上，其中（）令，求证数列bn是等比数列；（）求数列an的通项。所以bn是以为首项，以为公比的等比数列类型9 （p0, 0）解法思路：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求

9、解。例14（2005，江西，理，21）已知数列an的各项都是正数，且满足：求数列的an通项公式例15（2006，山东22）已知，点在函数的图像上，其中证明数列是等比数列类型10 解法思路：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例17（2006，江西，理，22，本大题满分14分）已知数列满足： 求数列的通项公式；解：将条件变为：为一个等比例数，其首项为从而据此得类型11 解法思路：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且phqr,r0, ），那么，可作特征方程，当特征方程有且仅有一根时，则是等差数列；当特征议程有两价目相异的根x1、x2时，则是等比数列。例19(2009年,江西,理,22)各项均为正数的数列,且对满足