一元一次方程及其应用讲义

1、 科登教育学科教师讲义课 题一元一次方程及其应用教学目标分类型列方程解应用题重点、难点找等量关系 教学内容 1、 知识梳理：1列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）“设”：用字母（例如x）表示问题的_未知量_；（2）“找”：看清题意，分析题中及其关系，找出用来列方程的_ 等量关系_；（3）“列”：用字母的代数式表示相关的量，根据 等量关系_列出方程；（4）“解”：解方程；（5）“验”：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案；（6）“答”：答出题目中所问的问题。2.和差倍分问题增长量原有量×增长率 现在量原有量增长量3.等积变形问题 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依

2、据形虽变，但体积不变 圆柱体的体积公式 V=底面积×高S·hr2h 长方体的体积 V长×宽×高abc4数字问题 一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c 十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程5市场经济问题 （1）商品利润商品售价商品成本价 （2）商品利润率×100% （3）商品销售额商品销售价×商品销售量 （4）商品的销售利润（销售价成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%

3、出售6行程问题：路程速度×时间 时间路程÷速度 速度路程÷时间 （1）相遇问题： 快行距慢行距原距 （2）追及问题： 快行距慢行距原距 （3）航行问题：顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度 逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系7工程问题：工作量工作效率×工作时间 完成某项任务的各工作量的和总工作量18储蓄问题 利润×100% 利息本金×利率×期数9、 调配问题列方程解调配问题各类型的应用题；各部分量之和等于总量是解决这类应用题的基关键所在。10、

4、浓度问题浓度类问题：溶质溶液×浓度，溶液溶质溶剂。溶液：一种或以上的物质溶解在另一种物质中形成的均一、稳定的混合物。溶质： 被溶解的物质（如溶于水中的糖、盐、酒精、硫酸等）溶剂： 能溶解其他物质的物质二、典例 分析：1、从实际问题到方程一、基础题，请你做一做1、已知小帅和大帅共有100元钱，设小帅有x元，则大帅有 （100x） 元2、一个数x的2倍减去7的差, 得36 ,列方程为_ 2x7=36_；二、综合题1.完成下面的解题过程：小帅种了一株树苗，开始时树苗高为40厘米，栽种后每周树苗长高15厘米，几周后树苗长高到100厘米？解：设x周后树苗长高到100厘米.根据题意，得40+15

5、x=100. 解方程，得x=4. 答：4周后树苗长高到100厘米.2 （年龄问题）在课外活动中，张老师发现同学们的年龄大多是13岁.就问同学：“我今年45岁，几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?” 解：设x年后，学生的年龄是张老师年龄的三分之一，依题意，得解得x=3答：3年后，学生的年龄是张老师年龄的三分之一。3甲种铅笔每支0.3元，乙种铅笔每支0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20支，两种铅笔各买了多少支？解：设有甲种铅笔x支，依题意，得解得x=10乙种铅笔有20-10=10支答：甲、乙两种铅笔各有10支。2 行程问题一、基础题，请你做一做1、甲的速度是每小时行4千米，则他x小时行（ 4x

6、）千米.2、乙3小时走了x千米，则他的速度是每小时行（ ）千米.3、甲每小时行4千米，乙每小时行5千米，则甲、乙一小时共行（ 9 ）千米，y小时共行（ 9y ）千米.4、某一段路程 x 千米，如果火车以49千米/时的速度行驶，那么火车行完全程需要（ ）小时.三、综合题1.甲、乙两地路程为180千米，一人骑自行车从甲地出发每小时走15千米，另一人骑摩托车从乙地出发，已知摩托车速度是自行车速度的3倍，若两人同时出发，相向而行，问经过多少时间两人相遇？解：易知摩托车的速度是每小时45千米。设经过x小时两人相遇，依题意，得15x+45x=180解得x=3答：经过3小时两人相遇。2. 甲、乙两地路程为1

7、80千米，一人骑自行车从甲地出发每时走15千米，另一人骑摩托车从乙地出发，已知摩托车速度是自行车速度的3倍，若两人同向而行，骑自行车在先且先出发2小时， 问摩托车经过多少时间追上自行车？解：设摩托车经过x小时追上自行车，依题意，得45x15（x+2）=180解得x=7答：摩托车经过7小时追上自行车3一架直升机在A，B两个城市之间飞行，顺风飞行需要4小时，逆风飞行需要5小时 .如果已知风速为30km/h，求A，B两个城市之间的距离.解：设飞机无风时的速度为x 千米/小时，依题意，得，解得x=270所以（270+30）× 4=1200（千米）答：A，B两个城市之间的距离为1200千米。4

8、.甲、乙两人都以不变速度在400米的环形跑道上跑步，两人在同一地方同时出发同向而行，甲的速度为100米/分，乙的速度是甲速度的倍，问（1）经过多少时间后两人首次相遇（2）第二次相遇呢？ 解：乙的速度是100 =150米/分。（1） 设经过x分钟后两人首次相遇，依题意，得 解得x=8（2） 设经过x分钟后两人第二次相遇，依题意，得 解得x=16答：（1）设经过8分钟后两人首次相遇；（2）设经过16分钟后两人第二次相遇。注：环形跑道问题，通常转化为追及、相遇问题。3调配问题一、基础题1.某人用三天做零件330个，已知第二天比第一天多做3个，第三天做的是第二天的2倍少3个，则他第一天做了多少个零件？

9、解：设他第一天做零件 x 个，则他第二天做零件_（x+3）_个，第三天做零件_2（x+3）3_个，根据“某人用三天做零件330个”列出方程得：_x+x+3+_2（x+3）3=330_.解这个方程得：_x=84_.答：他第一天做零件 _84_ 个.2.初一甲、乙两班各有学生48人和52人，现从外校转来12人插入甲班 x 人，其余的都插入乙班，问插入后，甲班有学生48+x人，乙班有学生52+12x人，若已知插入后，甲班学生人数的3倍比乙班学生人数的2倍还多4人，列出方程是： 3（48+x）=2（52+12x）+4二、综合题1、有23人在甲处劳动，17人在乙处劳动，现调20人去支援，使在甲处劳动的人

10、数是在乙处劳动的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？解：设应调往甲处x人，依题意，得解得x=17答：应调往甲处17人，调往乙处3人。2.配制一种混凝土，水泥、沙、石子、水的质量比是1：3：10：4，要配制这种混凝土360千克，各种原料分别需要多少千克？解：设有水泥x千克，依题意得解得x=20所以沙有20×3=60千克石子有20×10=200千克水有20×4=80千克答：水泥、沙、石子、水分别需要20千克、60千克、200千克、80千克。3、为鼓励节约用水，某地按以下规定收取每月的水费：如果每月每户用水不超过20吨，那么每吨水按1.2元收费；如果每月每户用水超过2

11、0吨，那么超过的部分按每吨2元收费。若某用户五月份的水费为平均每吨1.5元，问，该用户五月份应交水费多少元？解：设该用户五月份共用水x吨，依题意，得解得x=32水费为答：该用户五月份应交水费48元注：本题不是“求什么设什么”。所以同学们要学会设一个合适的未知量，以便于列方程。有了这道题目的解答，请同学们解决基础训练P42,12题和P44,19题。4 工程问题 一、基础题1做某件工作，甲单独做要8小时才能完成，乙单独做要12小时才能完成，问：甲做1小时完成全部工作量的几分之几？乙做1小时完成全部工作量的几分之几？ 甲、乙合做1小时完成全部工作量的几分之几？甲做x小时完成全部工作量的几分之几？甲、

12、乙合做x小时完成全部工作量的几分之几？甲先做2小时完成全部工作量的几分之几？乙后做3小时完成全部工作量的几分之几？甲、乙再合做x小时完成全部工作量的几分之几？三次共完成全部工作量的几分之几？结果完成了工作，则可列出方程：二、综合题1.一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？解：设还需要x天完成，依题意，得解得x=5答：还需要5天完成2.食堂存煤若干吨，原来每天烧煤4吨，用去15吨后，改进设备，耗煤量改为原来的一半，结果多烧了10天，求原存煤量.解：设原存煤量为x吨，依题意，得解得x=55答：原存煤量为55吨3.一水池，单开进水

13、管3小时可将水池注满，单开出水管4小时可将满池水放完。现对空水池先打开进水管2小时，然后打开出水管，使进水管、出水管一起开放，问再过几小时可将水池注满？解：设再过x小时可将水池注满，依题意，得解得x=4答：再过4小时可将水池注满。5销售储蓄问题一、。基础题1.某商品按定价的八折出售，售价14.80元， 则原定价是_18.5_元。解：设定价为x元，0.8x=14.8，解得x=18.52.小帅把爸、妈给的压岁钱1000元按定期一年存入银行。当时一年期定期存款的年利率为1.98%，利息税的税率为20%。到期支取时，利息为_19.8元_，税后利息_15.84元_,小帅实得本息和为_1015.84元_.

14、3.A、B两家售货亭以同样价格出售商品，一星期后A家把价格降低了10%，再过一个星期又提高20%，B家只是在两星期后才提价10%，两星期后_家售货亭的售价低。解：设两家售亭一开始的价格为x，A：（1-10%）（1+20%）x=1.08xB：（1+10%）x=1.1x答：A家售货亭的售价低。4.某服装商贩同时卖出两套服装，每套均卖168元，以成本计算其中一套盈利20%，另一套亏本20%，则这次出售商贩_（盈利或亏本） 元。解：设其中一套的成本价为x元，依题意，得解得x=140设另一套的成本价为y元，依题意，得解得y=210（元）答：亏本14元。二、综合题1.小明爸爸前年存了年利率为2.43%的二

15、年期定期储蓄，今年到期后，扣除利息税，利息税的税率为20%，所得利息正好为小明买了一只价值48.60元的计算器，问小明爸爸前年存了多少元？解：设小明爸爸前年存了x元，依题意，得2.43%×2×（1-20%）x=48.6解得x=1250答：小明爸爸前年存了1250元2.一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折（也就是按标价的80%）卖出，结果每件仍获得利润15元，这种服装每件的成本价是多少元？（提示：每件服装的利润售价成本价）解：这种服装每件的成本价是x元，依题意，得解得x=125答：这种服装每件的成本价是125元6.数字问题1、有一个三位数，个位数字为百位数字的

16、2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。解：设百位数字为x，则个位数字为2x，十位数字为2x+1，依题意，得解得x=3所以个位数字为6，十位数字为4.答：原数为346。2、一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位与个位上的数字之和是这个两位数的五分之一，求这个两位数。解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为x-1，依题意，得解得x=5十位数字为5-1=4答：这个两位数是457、古典数学1.100个和尚100个馍，大和尚每人吃三个，小和尚三人吃一个，问有多少大和尚，多少小和尚。解：设有x个大和尚，依题意，得解得x=2

17、5小和尚有100-25=75个答：有25个大和尚，75个小和尚。2.有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？解：设鸡有x只，则兔有（88-x）只，依题意，得解得x=54兔有88-54=34只答：鸡有54只，则兔有34只。8、浓度问题1、有含盐20%的盐水5千克，要配制成含盐8%的盐水，需加水_千克。解：设要加水x千克，依题意，得，解得x=7.52、某化工厂现有浓度为15%的稀硫酸175千克，要把它配成浓度为25%的硫酸，需要加入浓度为50%的硫酸多少千克？解：设需要加入浓度为50%的硫酸x千克，依题意，得解得x=70答：需要加入浓度为50%的硫酸70千克3、今需将浓度

18、为80%和15%的两种农药配制成浓度为20%的农药4千克，问两种农药应各取多少千克？解：设取浓度为80%的农药x千克，则取浓度为15%的农药（4-x）千克，依题意，得解得x=所以浓度为15%的农药为千克答：取浓度为80%的农药千克，则取浓度为15%的农药千克。9、时钟问题在6点和7点间，何时分针和时针重合？解：设在6点x分时，分针和时针重合，依题意，得解得答：在6点分时，分针和时针重合。10、日历问题日历上同一竖列上3日，日期之和为75，第一个日期是几号？解：设第一个日期是x号，依题意，得解得x=18答：第一个日期是18号。2、小华在日历上任意找出一个数，发现它连同上、下、左、右的共5个数的和

19、为85，请求出小华找的数。解：设小华找的数是x，依题意，得解得x=17答：小华找的数是17。11、几何问题有一块棱长为4厘米的正方体铜块，要将它熔化后铸成长2厘米、宽4厘米的长方体铜块，铸成后的铜块的高是多少厘米（不计损耗）？解：设铸成后的铜块的高是x厘米，依题意，得解得x=8答：铸成后的铜块的高是8厘米。12、方案问题博才中学需要添置某种教学仪器, 方案1: 到商家购买, 每件需要8元; 方案2: 学校自己制作, 每件4元, 另外需要买制作工具120元, 设需要仪器x件.(1)试用含x的代数式表示出两种方案所需的费用; (2)当所需仪器为多少件时, 两种方案所需费用一样多? 解：（1）方案1

20、：8x元方案2：（120+4x）元（2）依题意，得解得x=30答：当所需仪器为30件时, 两种方案所需费用一样多。13、考虑车身长度的问题在一段双轨铁道上，两列火车相向驶过，A列车车速为20米/秒，B列车车速为24米/秒，若A列车全长180米，B列车全长160米，求两列车从相遇到相离所要的时间。解：设两列车错车的时间是x秒，依题意，得解得x=答：两列车错车的时间是秒。总结：（1）火车过隧道（桥）问题：火车速度×过隧道（桥）时间=隧道（桥）长+火车车身长度（2）两车相向而行（从相遇到相离）：快车驶过的路程慢车驶过的路程=两车的车身长度和（3）两车同向而行（从追上到超过）：快车驶过的路程

21、慢车驶过的路程=两车车身的长度和中考训练 一、选择题1（2012铜仁）铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是（）A BCD2（2012重庆）已知关于x的方程2x+a9=0的解是x=2，则a的值为（）A2B3C4D5二、填空题1（2012湘潭）湖南省2011年赴台旅游人数达7.6万人我市某九年级一学生家长准备中考后全家3人去台湾旅游，计划花费20000元设每人向旅行社缴纳x元费用后，共剩5000元用于购物和品尝台湾美食根据题意，列出方程