一维抛物线偏微分方程数值解法(3)(附图及matlab程序)

1、 一维抛物线偏微分方程数值解法（3） 上一篇参看 一维抛物线偏微分方程数值解法（2）（附图及matlab程序）解一维抛物线型方程(理论书籍可以参看孙志忠：偏微分方程数值解法）Ut-Uxx=0, 0<x<1,0<t<=1（Ut-aUxx=f(x,t),a>0) U(x,0)=ex, 0<=x<=1,U(0,t)=et,U(1,t)=e(1+t), 0<t<=1精确解为：U(x,t)=e(x+t);此种方法精度为o(h12+h22)一：用追赶法解线性方程组（还可以用迭代法解）Matlab程序function u p e x t=CN(h1,h2

2、,m,n)%Crank-Nicolson格式差分法解一维抛物线型偏微分方程%此程序用的是追赶法解线性方程组%h1为空间步长，h2为时间步长%m,n分别为空间，时间网格数%p为精确解，u为数值解,e为误差x=(0:m)*h1+0; x0=(0:m)*h1;%定义x0,t0是为了f(x,t)=0的情况%t=(0:n)*h2+0; t0=(0:n)*h2+1/2*h2;syms f;for(i=1:n+1)for(j=1:m+1) f(i,j)=0; %f(i,j)=f(x0(j),t0(i)=0%endendfor(i=1:n+1) u(i,1)=exp(t(i); u(i,m+1)=exp(1+

3、t(i);endfor(i=1:m+1) u(1,i)=exp(x(i);endr=h2/(h1*h1);for(i=1:n) %外循环，先固定每一时间层，每一时间层上解一线性方程组% a(1)=0;b(1)=1+r;c(1)=-r/2;d(1)=r/2*(u(i+1,1)+u(i,1)+h2*f(i,j). +(1-r)*u(i,2)+r/2*u(i,3);for(k=2:m-2) a(k)=-r/2;b(k)=1+r;c(k)=-r/2;d(k)=h2*f(i,j)+r/2*u(i,k)+(1-r). *u(i,k+1)+r/2*u(i,k+2);%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%

4、end a(m-1)=-r/2;b(m-1)=1+r;d(m-1)=h2*f(i,j)+r/2*(u(i,m+1)+u(i+1,m+1). )+r/2*u(i,m-1)+(1-r)*u(i,m);for(k=1:m-2) %开始解线性方程组 消元过程 a(k+1)=-a(k+1)/b(k); b(k+1)=b(k+1)+a(k+1)*c(k); d(k+1)=d(k+1)+a(k+1)*d(k);end u(i+1,m)=d(m-1)/b(m-1); %回代过程% for(k=m-2:-1:1) u(i+1,k+1)=(d(k)-c(k)*u(i+1,k+2)/b(k);endendfor(i

5、=1:n+1)for(j=1:m+1) p(i,j)=exp(x(j)+t(i); %p为精确解 e(i,j)=abs(u(i,j)-p(i,j);%e为误差endendu p e x t=CN(0.1,0.005,10,200);surf(x,t,e); shading interp;>> xlabel('x');ylabel('t');zlabel('e');>> title('误差曲面')plot(x,e)plot(t,e)误差较向前欧拉法减小一半但是运行时间较长，约39秒,而前两次运行只需l秒左右；

6、u p e x t=CN(0.01,0.01,100,100);运行需三分钟左右,误差比前次提高五倍,运算量也提高五倍u p e x t=CN(0.1,0.1,10,10);surf(x,t,e) 运行需要2秒；精度还是挺高的；u p e x t=CN(0.1,0.2,10,5);surf(x,t,e)误差还可以接受此种方法精度高，计算量较大二：用迭代法解线性方程组：Matlab程序如下：function u e p x t k=CN1(h1,h2,m,n,kmax,ep)% 解抛物线型一维方程 C-N格式 （Ut-aUxx=f(x,t),a>0)%用g-s(高斯-赛德尔)迭代法解%km

7、ax为最大迭代次数%m,n为x,t方向的网格数，例如（2-0）/0.01=200;%e为误差，p为精确解syms temp;u=zeros(n+1,m+1);x=0+(0:m)*h1;t=0+(0:n)*h2;for(i=1:n+1) u(i,1)=exp(t(i); u(i,m+1)=exp(1+t(i);endfor(i=1:m+1) u(1,i)=exp(x(i);endfor(i=1:n+1)for(j=1:m+1) f(i,j)=0;endenda=zeros(n,m-1);r=h2/(h1*h1); %此处r=a*h2/(h1*h1）；a=1for(k=1:kmax)for(i=1

8、:n)for(j=2:m) temp=(r/2*u(i,j-1)+(1-r)*u(i,j)+r/2*u(i,. j+1)+h2*f(i,j)+r/2*u(i+1,j-1)+r/2*u(i+1,j+1)/(1+r); a(i+1,j)=(temp-u(i+1,j)*(temp-u(i+1,j); u(i+1,j)=temp;%此处注意是u(i+1,j),而不是u(i+1,j+1)%endend a(i+1,j)=sqrt(a(i+1,j);if(k>kmax)break;endif(max(max(a)<ep)break; endendfor(i=1:n+1)for(j=1:m+1) p(i,j)=exp(x(j)+t(i); e(i,j)=abs(u(i,j)-p(i,j);endendu e p x t k=CN1(0.1,0.005,10,200,10000,1e-10);运行速度：1秒迭代次数k =81surf(x