七年级下册第题压轴题平行线的拐角问题

1、七下平行线，平面直角坐标系压轴题二解答题（共27小题）14如图，已知直线ABCD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM平分EFD，点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P，HM平分BHP交FM于点M（1）如图1，试说明：HMF=（BHP+DFP）；请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M作MQAB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）ABCD（已知），MQCD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）1=3，2=4（ ）1+2=3+4（等式的性质）即HMF=1+2FM平分EFD，HM平分BHP（已知）1=BHP，2=DFP（ ）HMF

2、=BHP+DFP=（BHP+DFP）（等量代换）（2）如图2，若HPEF，求HMF的度数；（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分HFE交AB于点N，过点N作NQFM于点Q，试说明无论点H在何处都有EHF=2FNQ14如图，已知直线ABCD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM平分EFD，点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P，HM平分BHP交FM于点M（1）如图1，试说明：HMF=（BHP+DFP）；请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M作MQAB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）ABCD（已知），MQCD（如果两条直线都和第三条直线平行，

3、那么这两条直线也互相平行）1=3，2=4（两直线平行，内错角相等）1+2=3+4（等式的性质）即HMF=1+2FM平分EFD，HM平分BHP（已知）1=BHP，2=DFP（角平分线定义）HMF=BHP+DFP=（BHP+DFP）（等量代换）（2）如图2，若HPEF，求HMF的度数；（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分HFE交AB于点N，过点N作NQFM于点Q，试说明无论点H在何处都有EHF=2FNQ【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线定义进行判断即可；（2）先根据HPEF，ABCD，得到EHP+DFP=90°，再根据（1）中结论即可得到HMF的度数；（3）先根

4、据题意得到NFQ=90°FNQ，再根据FN平分HFE，FM平分EFD，即可得出HFD=2NFQ，最后根据EHF+HFD=180°，即可得出EHF=2FNQ【解答】解：（1）由MQCD，得到1=3，2=4，其依据为：两直线平行，内错角相等； 由FM平分EFD，HM平分BHP，得到1=BHP，2=DFP，其依据为：角平分线定义故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线定义（2）如图2，HPEF，HPE=90°，EHP+HEP=180°90°=90°（三角形的内角和等于180°）又ABCD，HEP=DFPEHP+DFP=90

5、76;由（1）得：HMF=（EHP+DFP）=×90°=45° （3）如图3，NQFM，NFQ+FNQ=180°90°=90°（三角形的内角和等于180°）NFQ=90°FNQFN平分HFE，FM平分EFD，又NFQ=NFE+QFE=（HFE+EFD）=HFD，HFD=2NFQ又ABCD，EHF+HFD=180°，EHF=180°HFD=180°2NFQ=180°2（90°FNQ）=2FNQ，即无论点H在何处都有EHF=2FNQ【点评】本题主要考查了平行线的性质与判

6、定，角平分线的定义以及平行公理的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补15如图1，直线mn，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连结FE并延长至点A，连结BA和CA，使AEC=BAC（1）求证：BFA+BAC=180°；（2）请在图1中找出与CAF相等的角，并加以证明；（3）如图2，连结BC交AF于点D，作CBF和CEF的角平分线交于点M，若ADC=，请直接写出M的度数（用含的式子表示）【分析】（1）根据平行线的性质即可得到AEC=AFM，再根据AEC=BAC，可得AFM=BAC，根据BFA+AFM=180°，可得结论；（2）根据三

7、角形内角和定理以及平行线的性质，即可得到与CAF相等的角；（3）过D作DHBF，过M作MGBF，根据平行线的性质，即可得到CED=HDE，FBD=HDB，再根据CBF和CEF的角平分线交于点M，可得CEM+FBM=（CED+FBD），进而得到M的度数【解答】解：（1）如图1，直线mn，AEC=AFM，AEC=BAC，AFM=BAC，又BFA+AFM=180°，BFA+BAC=180°；（2）与CAF相等的角有：ANC，ABF，BNG证明：AEC=BAC，ACE=NCA，CAE=ANC=BNG，mn，ABF=ANC，与CAF相等的角有：ANC，ABF，BNG；（3）如图2，过

8、D作DHBF，过M作MGBF，BFCE，DHBFCE，MGBFCE，CED=HDE，FBD=HDB，CED+FBD=EDB=180°ADC=180°，CBF和CEF的角平分线交于点M，CEM+FBM=（CED+FBD）=（180°）=90°，MGBFCE，CEM=GME，FBM=GMB，BME=GME+GMB=CEM+FBM=90°【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，解题时注意：两直线平行，内错角相等16已知直线ABCD，M，N分别是AB，CD上的点（1）若E是AB，CD内一点如图甲所示，请写出BME，

9、DNE，MEN之间的数量关系，并证明如图乙所示，若1=BME，2=DNE，请利用的结论探究F与MEN的数量关系（2）若E是AB，CD外一点如图丙所示，请直接写出EMB，END，E之间的数量关系如图丁所示，已知BMP=EMB，在射线MP上找一点G，使得MGN=E，请在图中画出点G的大致位置，并求ENG：GND的值【分析】（1）过E作EFAB，构造内错角，依据两直线平行，同旁内角互补进行推导，即可得到BME+DNE+MEN=360°过F作FGAB，构造内错角，依据两直线平行，内错角相等，即可得到MFN=1+2，再结合的结论，即可得出3MFN+MEN=360°；（2）过E作EFA

10、B，构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行推导计算，即可得到DNEBME=MEN；设GMB=，G=，由BMP=EMB，G=E，可得EMQ=3，E=4，根据8字形结构得到GNQ=3+3，根据三角形外角性质以及平行线的性质，得到GND=1=+，据此可得ENG：GND的值【解答】解：（1）BME+DNE+MEN=360°证明：如图甲，过E作EFAB，ABCD，EFCD，BME+FEM=180°，DNE+FEN=180°，BME+FEM+DNE+FEN=180°+180°=360°，即BME+DNE+MEN=360°如图乙，过F

11、作FGAB，ABCD，FGCD，1=MFG，2=NFG，MFN=1+2，又1=BME，2=DNE，BME=31，DNE=32，又BME+DNE+MEN=360°，31+32+MEN=360°，即3MFN+MEN=360°；（2）EMB，END，E之间的数量关系为：DNEBME=MEN理由如下：如图丙，过E作EFAB，ABCD，EFCD，DNE=FEN，BME=FEM，又FENFEM=MEN，DNEBME=MEN；点G的大致位置如图丁所示：设MG与NE交于点Q，NG与AB交于点F，设GMB=，G=，由BMP=EMB，G=E，可得EMQ=3，E=4，EQM=GQN，E

12、+EMQ=G+GNQ，即GNQ=E+EMQG=4+3=3+3，1是GFM的外角，1=G+GMF=+，又ABCD，GND=1=+，ENG：GND=（3+3）：（+）=3【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质的运用，过拐点作平行线，准确识图，理清图中各角度之间的关系是解决问题的关键17已知，ABCD，点E为射线FG上一点（1）如图1，若EAF=30°，EDG=40°，则AED=70°；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则AED、EAF、EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，

13、DI平分EDC，交AE于点K，交AI于点I，且EAI：BAI=1：2，AED=22°，I=20°，求EKD的度数【分析】（1）延长DE交AB于H，依据平行线的性质，可得D=AHE=40°，再根据AED是AEH的外角，即可得到AED=A+AHE=30°+40°=70°；（2）依据ABCD，可得EAF=EHC，再根据EHC是DEH的外角，即可得到EHG=AED+EDG，即EAF=AED+EDG；（3）设EAI=，则BAE=3，进而得出EDK=2°，依据EHC=EAF=AED+EDG，可得3=22°+24°，求

14、得EDK=16°，即可得出EKD的度数【解答】解：（1）如图，延长DE交AB于H，ABCD，D=AHE=40°，AED是AEH的外角，AED=A+AHE=30°+40°=70°，故答案为：70；（2）EAF=AED+EDG理由：ABCD，EAF=EHC，EHC是DEH的外角，EHG=AED+EDG，EAF=AED+EDG；（3）EAI：BAI=1：2，设EAI=，则BAE=3，AED=22°，I=20°，DKE=AKI，又EDK+DKE+DEK=180°，KAI+KIA+AKI=180°，EDK=2

15、76;，DI平分EDC，CDE=2EDK=24°，ABCD，EHC=EAF=AED+EDG，即3=22°+24°，解得=18°，EDK=16°，在DKE中，EKD=180°16°22°=142°【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用三角形外角性质进行计算求解解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和19如图1，AC平分DAB，1=2（1）试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；（2）如图2，当ADC=120&

16、#176;时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨E和F的数量关系；（3）如图3，AD和BC交于点G，过点D作DHBC交AC于点H，若ACBC，问当CDH为多少度时，GDC=ADH【分析】（1）依据AC平分DAB，1=2，即可得到2=BAC，进而判定CDAB（2）当ADC=120°时，1=2=30°，依据2是CEF的外角，可得E+F=2=30°（3）依据DHBC，ACBC，可得DHAC，进而得到ADH=CDH，据此可得当GDC=ADH时，CDG=CDH=ADH，即可得到CDH=×180°=60°【解答】解：（1）如图，AC平

17、分DAB，1=BAC，又1=2，2=BAC，CDAB（2）当ADC=120°时，1=2=30°，点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，2是CEF的外角，E+F=2=30°（3）DHBC，ACBC，DHAC，又1=2，ADH=CDH，当GDC=ADH时，CDG=CDH=ADH，CDH=×180°=60°故当CDH为60度时，GDC=ADH【点评】本题主要考查了平行线的判定以及三角形外角性质的运用，两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行即内错角相等，两直线平行22如图，已知ABCD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：

18、第一次操作，分别作ABE和DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作ABE1和DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作ABE2和DCE2的平分线，交点为E3，第n次操作，分别作ABEn1和DCEn1的平分线，交点为En（1）如图，求证：BEC=ABE+DCE；（2）如图，求证：BE2C=BEC；（3）猜想：若En=度，那BEC等于多少度？（直接写出结论）【分析】（1）先过E作EFAB，根据ABCD，得出ABEFCD，再根据平行线的性质，得出B=1，C=2，进而得到BEC=ABE+DCE；（2）先根据ABE和DCE的平分线交点为E1，运用（1）中的结论，得出CE1B=ABE1+DCE1=ABE+DCE=BEC；同理可得BE2C=ABE2+DCE2=ABE1+DCE1=CE1B=BEC；（3）根据ABE2和DCE2的平分线，交点为E3，得出BE3C=BEC；据此得到规律En=BEC，最后求得BEC的度数【解答】解：（1）如图，过E作EFAB，ABCD，ABEFCD，B=1，C=2，BEC=1+2，BEC=ABE+DCE；（2）如图2，ABE和