二维随机变量函数的分布（课堂PPT）

1、退出退出退出退出退出退出退出退出返回返回 在离散量的分布列中在离散量的分布列中, 对对X , Y 所有能所有能使函数使函数 Z 取同一值的全部取值概率进行取同一值的全部取值概率进行归并归并 ( 例如例如, 固定一个变量的取值固定一个变量的取值, 然后然后寻找另一变量与其之和为同一值的取值寻找另一变量与其之和为同一值的取值概率概率), 所得之和即是函数所得之和即是函数 Z 在同一可取在同一可取之值上的取值概率之值上的取值概率.1. 离散变量之和的分布列可用归并法求之离散变量之和的分布列可用归并法求之Z = XY试求试求 的分布列的分布列退出退出返回返回例例1 设随机变量设随机变量 ( X, Y

2、) 的联合分布列如下的联合分布列如下ZXY 在联合分布列中对使在联合分布列中对使 Z解解 Z 所有可能的取值显然为所有可能的取值显然为 0，1，2, , 8 . Y X01234500 00.010.010.030.030.050.050.070.070.090.0910.010.010.020.020.040.040.050.050.060.060.080.0820.010.010.030.030.050.050.050.050.050.050.060.0630.010.010.020.020.040.040.060.060.060.060.050.05可取同一值的可取同一值的X 与与Y的取

3、值概率进行归并的取值概率进行归并, 即得即得Y 的分布律如下的分布律如下00.020.020.240.240.190.190.130.130.060.0601P5432Z6780.190.190.120.120.050.05退出退出2. 连续变量之和的概率密度可用卷积公式求之连续变量之和的概率密度可用卷积公式求之 利用分布函数转化法可以证明利用分布函数转化法可以证明: 将联合概率密度中的任一变量改写成将联合概率密度中的任一变量改写成和变量与另一变量的差和变量与另一变量的差, 然后关于另一然后关于另一变量在变量在 ( , ) 上积分上积分, 即得和的即得和的概率密度概率密度:返回返回Zfzzf

4、xx dx( ,( ) Zfy yfzdyz (, )( ) 或或Z = XY退出退出( )ZFz证证 Z 的分布函数的分布函数( , )z x dxf x y dy P XYz ( , )xy z f x y dxdy ( )Zfz( )ZdFzdz(,)ytxz fx tx dt dx P Zz Z 的概率密度的概率密度返回返回 例例2-12-1 设随机变量设随机变量( X，Y ) )的联合概率密度为的联合概率密度为 f ( x，y ) . 证明证明 Z = XY 的概率密度的概率密度Zfzzf xx dx( ,( ) 或或Zfy yfzdyz (, )( ) ( ,)zd f x tx

5、dt dxdz ( ,)zd f x tx dx dtdz f x zx dx ( ,) XY0 x + y = z退出退出( )ZFz证证( , )zy dyf x y dx P XYz ( , )xy z f x y dxdy ( )Zfz( )ZdFzdz(,)xtyz f ty y dt dy P Zz Z 的概率密度的概率密度返回返回 例例2-12-1 设随机变量设随机变量( X，Y ) )的联合概率密度为的联合概率密度为 f ( x，y ) . 证明证明 Z = XY 的概率密度的概率密度Zfzzf xx dx( ,( ) 或或Zfy yfzdyz (, )( ) (, )zd f

6、 ty y dt dydz (, )zd f ty y dy dtdz(, ) f zy y dy XY0 x + y = z类似地类似地, 退出退出例例2-2 两标准正态量两标准正态量 X 与与Y 相互独立相互独立, 求其和求其和的概率密度的概率密度.ZXY 解解( , )( )( )XYf x yxy 22()2212zxxeedx 22221122xyee,)()Zfzzf xdxx 22()4212xzz eedx 2412z e 返回返回于是于是, 依卷积公式即得依卷积公式即得(0,1) ,(0,1) ,XN YN 且相互独立且相互独立 , 联合概率密度联合概率密度即即2tedt 2

7、412z e 24122z e ZN .(0,2)3. 若干重要独立量的和的分布可加性若干重要独立量的和的分布可加性 换言之换言之, 如果相互独立的随机变量如果相互独立的随机变量 Xi N ( i ,i2 ), i = 1, 2, , k 那么那么, 其任意的线性组合量其任意的线性组合量 Z = b 1 X1+ b 2 X2+ b k X k 也是正态量，且有也是正态量，且有kkiiiiiiZbb2211 N ( , )退出退出返回返回Z = XY 有限个相互独立的正态量的线性组合仍然有限个相互独立的正态量的线性组合仍然是正态量是正态量.3. 若干重要独立量的和的分布可加性若干重要独立量的和的

8、分布可加性 换言之换言之, 如果相互独立的随机变量如果相互独立的随机变量 Xi B ( ni , p ), i = 1, 2, , k 那么那么, 其和变量其和变量 Z = X1 + X2 + + X k 也是二项分布量，且有也是二项分布量，且有kiiZnp1 B ( , ) 退出退出返回返回Z = XY是二项分布量是二项分布量. 因此因此, 服从服从B ( n , p )的二项分布量是的二项分布量是 n 个相互独立的个相互独立的 0-1量之和量之和. 有限个相互独立的同类二项分布量之和仍然有限个相互独立的同类二项分布量之和仍然3. 若干重要独立量的和的分布可加性若干重要独立量的和的分布可加性

9、kiiZ1 P ( ) 退出退出返回返回Z = XY 有限个相互独立的泊松量之和仍然是泊松量有限个相互独立的泊松量之和仍然是泊松量. 换言之换言之, 如果相互独立的随机变量如果相互独立的随机变量 Xi P ( i ), i = 1, 2, , k 那么那么, 其和变量其和变量 Z = X1 + X2 + + X k 也是泊松量，且有也是泊松量，且有退出退出例例2-4 两两 0 ,1 上的均匀量上的均匀量 X 与与Y 相互独立相互独立, 试求和变量试求和变量的概率密度的概率密度.ZXY 解解1,01( )0,Xxfx ，其其它它( )(),01010,XYfx fdx xzx z x 其其它它且

10、且1,01( )0,Yyfy 其其它它()()XYZfzzxfx fdx 返回返回于是于是, , 依卷积公式依卷积公式, , 即得即得XY R(0,1) , R(0,1) ,且相互独立且相互独立 , 概率密度概率密度1ZXOz = x + 1z = x1x = z例例2-4 两两 0 ,1 上的均匀量上的均匀量 X 与与Y 相互独立相互独立, 试求和变量试求和变量的概率密度的概率密度.ZXY 解解1,01( )0,Xxfx ，其其它它1,01( )0,Yyfy 其其它它XY R(0,1) , R(0,1) ,且相互独立且相互独立 , 概率密度概率密度()()XYZfzzxfx fdx 于是于是

11、, 依卷积公式依卷积公式, 即得即得01, 01zdx z 111, 12zdx z 0 , 其其它它 , 012, 120 , z z z z 其其它它1ZXOz = x + 11x = zx = 1 - z退出退出返回返回退出退出返回返回M = max ( X，Y ) )与与 N = = min( X，Y ) ) 如果随机变量如果随机变量 X 和和Y 相互独立，分布函数依次相互独立，分布函数依次为为FX ( x ) 和和FY ( y ) ，则最大值，则最大值 M = max ( X，Y ) 与最小值与最小值N = min( X，Y ) 的分布函数必依次为的分布函数必依次为MXYFm Fm

12、Fm()()() NXYFn Fn Fn ( )1 1( ) 1( ) 即最大值的分布函数是边缘分布函数之积，最小值的分布即最大值的分布函数是边缘分布函数之积，最小值的分布函数是边缘分布函数（关于函数是边缘分布函数（关于1 ）的补数之积的补数）的补数之积的补数1. 最值分布的分布函数最值分布的分布函数退出退出返回返回M = max ( X，Y ) )与与 N = = min( X，Y ) ) 即最大值的分布函数是边缘分布函数之积，最小值的分布即最大值的分布函数是边缘分布函数之积，最小值的分布函数是边缘分布函数（关于函数是边缘分布函数（关于1 ）的补数之积的补数）的补数之积的补数1. 最值分布的

13、分布函数最值分布的分布函数XY Fm Fm ()() ; 【最值分布函数计算式的证明】【最值分布函数计算式的证明】MFm P Mm () P X Ym max(,) P Xm Ym , P Xm P Ym 退出退出返回返回NFn P Nn ( )XY Fn Fn 1 1( ) 1( ) P Nn 1 P X Yn 1 min(,) P Xn Yn 1, P Xn P Yn 1 M = max ( X，Y ) )与与 N = = min( X，Y ) )1. 最值分布的分布函数最值分布的分布函数【最值分布函数计算式的证明】【最值分布函数计算式的证明】 即最大值的分布函数是边缘分布函数之积，最小值

14、的分布即最大值的分布函数是边缘分布函数之积，最小值的分布函数是边缘分布函数（关于函数是边缘分布函数（关于1 ）的补数之积的补数）的补数之积的补数退出退出返回返回M = max ( X，Y ) )与与 N = = min( X，Y ) )111(),( ),kkij Mk Xk Yi Xj Yk 111kkk ij kij p p 即最大值的分布列是联合分布列中两变量即最大值的分布列是联合分布列中两变量取不超过同一可取取不超过同一可取 k 值的所有概率的总和值的所有概率的总和2. 离散变量的最值分布列可由联合分布列直接归并离散变量的最值分布列可由联合分布列直接归并【依据】【依据】111,kkij

15、 P Mk P Xk Yi P Xj Yk 退出退出返回返回M = max ( X，Y ) )与与 N = = min( X，Y ) )1()(, )i kj k Nk Xk Yi Xj Yk 1k ij ki kj k p p 即最小值的分布列是联合分布列中两变量即最小值的分布列是联合分布列中两变量取不小于同一可取取不小于同一可取 k 值的所有概率的总和值的所有概率的总和2. 离散变量的最值分布列可由联合分布列直接归并离散变量的最值分布列可由联合分布列直接归并【依据】【依据】1,i kj k P Mk P Xk Yi P Xj Yk 退出退出返回返回例例2-12-1 设随机变量设随机变量（X

16、，Y ) )的分布律的分布律为为Y X01234500 00.010.010.030.030.050.050.070.070.090.0910.010.010.020.020.040.040.050.050.060.060.080.0820.010.010.030.030.050.050.050.050.050.050.060.0630.010.010.020.020.040.040.060.060.060.060.050.05试求试求 max ( X，Y ) )与与min ( X，Y ) )的的分布律分布律. .M 取其中任一取其中任一M = max ( X，Y ) 的取值范围显然为的取值范

17、围显然为05 , 解解值值 i 的概率的概率 ( 即分布律即分布律 ) 为为M012345p00.040.160.280.240.28退出退出返回返回例例2-12-1 设随机变量设随机变量（X，Y ) )的分布律的分布律为为Y X01234500 00.010.010.030.030.050.050.070.070.090.0910.010.010.020.020.040.040.050.050.060.060.080.0820.010.010.030.030.050.050.050.050.050.050.060.0630.010.010.020.020.040.040.060.060.06

18、0.060.050.05试求试求 max ( X，Y ) )与与min ( X，Y ) )的的分布律分布律. .N 取其中任一取其中任一N = min ( X，Y ) 的取值范围为的取值范围为03 , 同理同理, 值值 i 的概率的概率 ( 即分布律即分布律 ) 为为N0123p0.300.250.170.28退出退出返回返回M = max ( X，Y ) )与与 N = = min( X，Y ) ) 如果随机变量如果随机变量 X 和和Y 相互独立，分布函数依次相互独立，分布函数依次为为FX ( x ) 和和FY ( y ) ，则最大值，则最大值 M = max ( X，Y ) 与最小值与最小

19、值 N = min( X，Y ) 的分布函数必依次为的分布函数必依次为MXYFm Fm Fm()()() NXYFn Fn Fn ( )1 1( ) 1( ) 即最大值的分布函数是边缘分布函数之积，最小值的分布即最大值的分布函数是边缘分布函数之积，最小值的分布函数是边缘分布函数（关于函数是边缘分布函数（关于1 ）的补数之积的补数）的补数之积的补数3. 连续变量的最值概率直接由分布函数计算连续变量的最值概率直接由分布函数计算退出退出返回返回 例例2-22-2 设随机变量设随机变量Xi (i =1, 2,5)是相互独立的服从同一是相互独立的服从同一分布的连续随机变量，分布的连续随机变量，概率密度概

20、率密度为为求求 M = max ( X1，X2， X3，X4 ，X5 ) 的的分布函数以及概率分布函数以及概率 P M 4 . .xxe xf x x28,0( )40,0 各各 Xi 的分布函数都为的分布函数都为281,0( )( )0,0 xxXe xFxf t dt x 从而，从而， M = max ( X1，X2， X3，X4 ，X5 ) 的分布函数为的分布函数为解解15 ()max MiiFmMmmPPX 12345,P XXXmm XXmmm 51iimP X 51()XimF 2585(1) ,0( )0,0 xXe xFx x 1441(4)MMMF P P 251(1)0.5

21、167e 退出退出返回返回 例例2-32-3 某型电子管寿命某型电子管寿命( (小时小时) )服从正态分布服从正态分布 求任取求任取4 4只只, , 无一只的寿命小于无一只的寿命小于180180小时的小时的概率概率. .2(160,20 )1,2,3,4,iXN , i =且各且各Xi (i =1, 2, 3 3, 4) 相互独立相互独立. .解解2(160,20 )N .以以Xi (i =1, 2, 3 3, 4) 分别记分别记4 4只电子管的寿命只电子管的寿命，则显然则显然令令N = min X1, X2, X3 3, X4 ，则应求的概率则应求的概率801P N 411 11()180

22、iXi F 4181()0 16020 11180()018NPFN 41( )14(10.84131) 0.000634 相互独立时相互独立时, k 个随机变量最大值的分布函数个随机变量最大值的分布函数等于各变量分布函数的乘积，多维随机变量最小等于各变量分布函数的乘积，多维随机变量最小值的分布函数等于各变量分布函数值的分布函数等于各变量分布函数( 关于关于1 ) 的补的补数之积的补数数之积的补数, 即即iXMkiFm Fm 1()(, iXNki FFn n1( )1 1( ) 退出退出返回返回4. 多维独立随机变量最值分布的一般性结论多维独立随机变量最值分布的一般性结论ii kNX1min

23、 ii kMX1max 若若 k 个随机变量同分布个随机变量同分布(包括同参数包括同参数), 则有则有XMkFm Fm()(), XNk Fn F n 1 1)() 其中其中, FX ( x ) 表各随机变量共同的分布函数表各随机变量共同的分布函数.求求 的概率密度的概率密度.退出退出*例例3-1 设设 X 与与Y 相互独立相互独立, 概率密度分别为概率密度分别为ZXY解解 依卷积公式依卷积公式( )ZFz1()01, 0100,zxedx x zx 且且其其它它( )()XYfx fzx dx zz xzedxdx z 1()00,01 返回返回z xedx z 1()0,1 z0,0 ,(

24、 ).,yYe yfy 00其其它它,( ),X xfx 1010其其它它1, 01ze z (1),1zee z 0,0 z 1ZXO1z = xx =1退出退出返回返回 例例3-23-2 随机变量随机变量（X，Y ) )的联合分布律的联合分布律如右表所示如右表所示 :1 12 23 31 11/61/61/91/91/61/62 21/181/181/91/91/181/183 31/61/61/91/91/181/18XYjp ip 试求概率试求概率 P X=2 | Y=2 以以及及 max ( X，Y ) )的的分布律分布律. .解解两边缘分布列如联合两边缘分布列如联合分布列加边后算出

25、的数字所示分布列加边后算出的数字所示.8 / 188 / 184 / 184 / 186 / 186 / 187 / 187 / 18 6 / 186 / 185 / 185 / 1822.21/914/182pp 条件概率条件概率 M = max( X, Y ) 的分布律的分布律1232,22|22P XYPP XYY 1 / 6MP Mk 518 1018 16退出退出125,XXX21,0( )20 ,xexf x 其它* *例例3-33-3 设随机变量设随机变量试求随机变量试求随机变量解解各各Xi 的分布函数的分布函数21,0( )( )0 ,xxXXexFxft dt 其它521,0

26、0 ,nex 其它5()()MXmFmF ()()MMdFmdmfm 4225(1) ,020 ,mmeem 其它5 1 ( )1( )NXFnFn 返回返回125max, ,MXXX 相相概率密度皆为概率密度皆为互独立互独立, , 服从同一分布服从同一分布, ,的概率密度的概率密度. .125min,NXXX 525,0( )2(,)0nNNdexFndnfn 其它课外书面练习退出退出返回返回概率统计练习册概率统计练习册 P19：1. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (二维离散与连续随机变量基础知识二维离散与连续随机变量基础知识) P20: 2.(求二维离散变量的联合分布律求

27、二维离散变量的联合分布律) 3.(求联合概率密度的未知参数与计算概率求联合概率密度的未知参数与计算概率) 参考答案参考答案退出退出返回返回(6) , ,(3) , ,(4) , ,(2) , 以及1 (1) ,(, )0Fy ,Xx YyXxYy ( , ),F x yP Xx Yy ( , )( , )xyF x yduf u v dv ( , )( , )GPx yGf x y dxdy ( ,)0F x (,)1F 13( , )dxf x y dy 2( , )( , )F x yf x yx y 3 c 7012P Y 5112P X ( , )1f x y dxdy (,),iji

28、jxx yyFx yp XxYy (5)4( , )xdxf x y dy ( , )( , )xyF x yduf u v dv 1.5( , )dxf x y dy参考答案参考答案退出退出返回返回*23 (1) (2)116k5412P XY(3) (4)451.564P X0X013. jp1Y3/8231/831,316P XY3/83/83/80001/86/81/8. ip2/81/8课外书面练习概率统计练习册概率统计练习册P21, P22 P21: 4. (二维均匀与正态量与边缘概率密度基础知识二维均匀与正态量与边缘概率密度基础知识) 5. (求联合概率密度的未知参数与边缘概率密

29、度求联合概率密度的未知参数与边缘概率密度) P22： 6. (求二维随机变量的取值概率与边缘概率密度求二维随机变量的取值概率与边缘概率密度) 7. (求二维均匀量的联合概率密度及其函数值求二维均匀量的联合概率密度及其函数值) (3) , .(3) , .参考答案参考答案退出退出返回返回(2)(2)(2) (2) 均匀分布均匀分布 , 面积面积 , 1 , 4 (1) 4 (1) 二维正态分布二维正态分布 , ,f xdxy( , ) N221122(,;,;) 212(34), 015 0 , ( ) Yfyyyyy 其它C24=4.8 5 2312(2), 015 0 , ) (Xfxxxx

30、 其它AA15 (1)5 (1)fy dyx( , ) 参考答案参考答案退出退出返回返回(2)(2)6 6 yYyeyfy, 0( ) 0 , 其它P XYee131,3)1 Xf (2)14 yf xDyx1 , ( , )20 , ( , ) 其它Xxfxxe21, 1 ,2 0 , ( ) 其它 7 (1)7 (1)xXexxf ( ) 0 , , 0 其它课外书面练习概率统计练习册概率统计练习册*P23, P24 P23：8. (条件分布、一般随机变量与正态量相互独立的常识条件分布、一般随机变量与正态量相互独立的常识) P24：9. (求联合分布律，判断离散量的相互独立性求联合分布律，

31、判断离散量的相互独立性) 10.(求未知分布参数与两个边缘概率密度，求未知分布参数与两个边缘概率密度， 判断连续量的相互独立性判断连续量的相互独立性) (3) , , , .(3) , , , .参考答案参考答案退出退出返回返回(4)(4)(2)(2)8 (1) ,8 (1) ,221122N(,;,;) ijjpip. ,1,2,3, N(0,5)ijipjp.,1,2,3, , 0 211N(,) , (6) (6) 相互独立相互独立Yf x yfy( , ) ,( )Xf x yfx( , )( )222N(,) , P Yy P Xx Xfx( )Yfy( )XFx( )YFy( )ijp p. (7) (7) (5) (5) 相互独立相互独立 X 与与 Y 相互独立相互独立 .参考答案参考答案退出退出返回返回Xfxxx2( ) , 0 , 2, 0( 1) 其它1010ppp000.0 , jp 01001230XYC3610C363C361C363C366C366ip C361C361C369C3610C361C3699 9 联合分布列与边缘分布列为联合分布列与边缘分布列为因为至少有因为至少有A4 , yYeyfy22, 0( ) 0 , 其它XYf x yfx fy( , )( )( ) , 所以所以 X 与与 Y 不相互独立不相互独立 .课外书面练习概率