二重积分的计算（课堂PPT）

1、.1*三、二重积分的换元法三、二重积分的换元法 第二节二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算.2为什么为什么21D0y xD1D2D3D4D:之之间间的的环环域域 和和 yxyx 4321DDDDI.怎么计算？怎么计算？ Dyxy,xfId)d(需使用需使用此题用直角系算麻烦此题用直角系算麻烦必须把必须把D分块儿分块儿!二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 .3又如又如计算计算,dd22Dyxyxe其中其中.:222ayxD2xe的原函数的原函数不是初等函数不是初等函数 ,故本题

2、故本题无法用直角坐标计算无法用直角坐标计算.由于由于机动 目录 上页 下页 返回 结束 本题解法见后面本题解法见后面例题例题8也积不出！交换顺序积不出！解：2222222222222/2/2/2/yayaxaayxaxayaaxdxedyedyedxe还可举例还可举例2222:,22ayxDdxdyeIDyx.4极坐标系下的面积元素极坐标系下的面积元素 DyxfId),(将将变换到极坐标系变换到极坐标系0D iriri+1iiirr .ir iiiiiirrrr2)( ),(iiiiiiiirrsin ,cos iiinif),(lim1 iiiiiiinirrrrf)sin,cos(lim1

3、 Drrrrfdd)sin,cos(.i. 是平均值)是平均值)ir ( i i i + iI = riiiiiirrr21)(2122 r cos ,rx ,rysin ? d .,d .机动 目录 上页 下页 返回 结束 用用 = =常数常数分割区域分割区域 D.51.极点不在区域极点不在区域 D 的内部的内部 0ABFE)(1 r)(2 r DD:)()(21 rrr rrrrrfrrd)sin,cos( )()(21 DyxyxfIdd),( Dyxy,xfId)d(r.60ABFE)(1 r)(2 r Drrrrfrrd)sin,cos( )()(21 D:)()(21 rrr .

4、Dyxy,xfId)d( DyxyxfIdd),(1.极点不在区域极点不在区域 D 的内部的内部 r.70ABFE)(1 r)(2 r Drrrrfrrd)sin,cos( )()(21 dD:)()(21 rrr . 步骤：步骤：1 从从D的图形找出的图形找出 r, 上、下限上、下限；2 化被积函数为极坐标形式；化被积函数为极坐标形式；3 面积元素面积元素dxdy化为化为rdrd . Dyxy,xfId)d( DyxyxfIdd),(1.极点不在区域极点不在区域 D 的内部的内部 r.82.极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部 0)( r Drrrrfrd)sin,cos( )(0 r

5、D:)(0 rr 20 DyxyxfIdd),( Dyxy,xfId)d(r机动 目录 上页 下页 返回 结束 .9)( r D:)(0 rr 20 rrrrfrd)sin,cos( )(0 D0. Dyxy,xfId)d( DyxyxfIdd),(2.极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部 r机动 目录 上页 下页 返回 结束 .10)( r D:)(0 rr 20 rrrrfrd )sin,cos( )(0 20d.D0 步骤：步骤：1 从从D的图形找出的图形找出 r, 上、下限上、下限；2 化被积函数为极坐标形式；化被积函数为极坐标形式；3 面积元素面积元素dxdy化为化为rdrd

6、. Dyxy,xfId)d( DyxyxfIdd),(2.极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部 r机动 目录 上页 下页 返回 结束 .110y x变变为为极极坐坐标标形形式式 把把 d)d,( DyxyxfI所所围围区区域域与与 0 )( :222 yayaxD2a cos2ar . 20cos20d)sin,cos(darrrrf )(222ayax ,ar cos 即即解解例例1. DyxyxfIdd),(.代入 令 sincosryrx机动 目录 上页 下页 返回 结束 （第一象限部分）（第一象限部分）(极点极点不在不在区域区域 D 的内部的内部).12此题用直角系算此题用直角系

7、算麻烦，需使用麻烦，需使用21D0y xD: 4321DDDDI变换到变换到 20 : rrrrf2021d)sin,cos(d. 之之间间的的环环域域 和和 yxyx 例例2. Dyxy,xfId)d(计算计算 DyxyxfIdd),(D: =1和和 =2 围成围成机动 目录 上页 下页 返回 结束 .13 )d,(d 变为极坐标形式变为极坐标形式 把把 RyRyxyxfyI2R区域区域边界：边界：x = 0 I.0y x 即即 r =2Rsin r =2Rsin 20sin20d)sin,cos(dRrrrrf例例3.22yRyx 2 2 即即 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 .14

8、 DyxxyIddarctan计计算算 所所围围第第一一象象限限部部分分 y, xy,yx,yx:D 0y x12 y =xD 4021darctantandrr 4021ddrr2643 . I例例4.机动 目录 上页 下页 返回 结束 .150y x4r = 4 cos 所所围围xy, yx, xyx,xyx:D 422xyx 822xyx r = 8 cos 8D 1 2,r cos 即即 即即 arctan 即即,r cos 即即例例5. Dyxy,xfId)d(计算计算y = 2xx = y机动 目录 上页 下页 返回 结束 .160y x 422xyx 822xyx yx 即即xy

9、2 arctan 即即r = 8 cos D48.r = 4 cos 2 1所所围围xy, yx, xyx,xyx:D ,r cos 即即 2arctan4cos8cos4d)sin,cos(drrrrf,r cos 即即例例5. Dyxy,xfId)d(计算计算I =机动 目录 上页 下页 返回 结束 .173261sin4 ryxyxDdd)(22sin4sin22drrr)32(15yyx422yyx22203 yx例例6 计算计算其中其中D 为由圆为由圆所围成的所围成的,dd)(22yxyxD,222yyxyyx42203 xy及直线及直线, 03yx解：解：平面闭区域平面闭区域.03

10、 xysin2 roxy2436d机动 目录 上页 下页 返回 结束 .18例例7. 将积分化为将积分化为极坐标形式极坐标形式y = R x RR RRRxRyxyfx21)d(d )d(d21 RRRxyxyfxD1D2.R0y xD d)(tandarctan RRrrf )d(tanarctan RfR.22xRy d)d(tanarctan RRrrfarctanR.I =I =机动 目录 上页 下页 返回 结束 r =R.19若若 f 1 则可求得则可求得D 的面积的面积d)(21202Dd思考思考: 下列各图中域下列各图中域 D 分别与分别与 x , y 轴相切于原点轴相切于原点,

11、试试答答: ;0) 1 ()(rDoyx)(rDoyx问问 的变化范围是什么的变化范围是什么?(1)(2)22)2(机动 目录 上页 下页 返回 结束 (极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部) .20例例8.计算计算,dd22Dyxyxe其中其中.:222ayxD解解: 在极坐标系下在极坐标系下,200:arD原式原式Drerard02are02212)1(2ae2xe的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角坐标计算故本题无法用直角坐标计算.2reddrr20d由于由于故故机动 目录 上页 下页 返回 结束 .21注注:利用利用例例8可得到一个在概率论与数理统计及工程

12、上可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的非常有用的反常反常积分公式积分公式2d02xex事实上事实上, 当当D 为为 R2 时时,Dyxyxedd22yexeyxdd2220d42xex利用利用例例8的结果的结果, 得得)1 (limd42220aaxexe故故式成立式成立 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .22例例9. 求球体求球体22224azyx被圆柱面被圆柱面xayx222)0( a所截得的所截得的(含在柱面内的含在柱面内的)立体的立体的体积体积. 解解: 设设由由对称性对称性可知可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2

13、022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323aoxyza2机动 目录 上页 下页 返回 结束 .23时，请考虑用极坐标。为圆域、环域、扇形域且中，如果在或或DxygyxgyxgyxfdyxfD)()()(),(),(22常常用用D到到D的的转转换换tgxyCtgyxryxaCosrDayaxaSinrDaayxarDyxayxarDayx;20 ,22: )(4(;20 ,0: )() 3(;0 ,20: 0,)2(;0 ,20: ) 1 (222222222222222被积函数：、机动 目录 上页 下页 返回 结束 极坐标下的二次积分注释极坐标下的二次积分注释.24

14、作业作业P138-139 2 ; 3; 4 (2), (4); 5 (2), (4); 6 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 .25baxxfd)() )(txtttfd)()(定积分换元法定积分换元法三三*、二重积分换元法、二重积分换元法 ),(),(:vuyyvuxxTDDvu),(满足满足上在Dvuyvux),(, ),() 1 (一阶导数连续一阶导数连续;雅可比行列式雅可比行列式上在D)2(;0),(),(),(vuyxvuJ(3) 变换变换DDT:则则Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(定理定理:,),(上连续在闭域设Dyxf变换变换:是一一对应的是一一对应的 ,v

15、uvuJdd),(ovuDoyxDT机动 目录 上页 下页 返回 结束 .26oyxDovuD证证: 根据定理条件可知变换根据定理条件可知变换 T 可逆可逆. 用平行于坐标轴的用平行于坐标轴的 ,坐标面上在vou 直线分割区域直线分割区域 ,D任取其中一个小矩任取其中一个小矩T形形, 其顶点为其顶点为),(, ),(21vhuMvuM1Mu4M3M2Mhu vkv通过变换通过变换T, 在在 xoy 面上得到一个四边面上得到一个四边形形, 其对应顶点为其对应顶点为)4, 3, 2, 1(),(iyxMiii1M4M3M2M,22kh 令则则12xx ),(),(vuxvhux).,(, ),(4

16、3kvuMkvhuM)(),(ohvuux机动 目录 上页 下页 返回 结束 .2714xx ),(),(vuxkvux)(),(okvuvx12yy )(),(ohvuuy同理得同理得14yy )(),(okvuvy当当h, k 充分小时充分小时,曲边四边形曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四近似于平行四 边形边形, 故其面积近似为故其面积近似为4121MMMM14141212yyxxyyxxkhkhvyvxuyuxhkvyuyvxuxhkvuJ),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 .28vuvuJdd),(d因此面积元素的关系为因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式从而得二

17、重积分的换元公式: Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(vuvuJdd),(例如例如, 直角坐标转化为极坐标时直角坐标转化为极坐标时, sin,cosryrx),(),(ryxJcossinrsincosrrDyxyxfdd),(Drrrrfdd)sin,cos(机动 目录 上页 下页 返回 结束 .29例例21. 计算计算其中其中D 是是 x 轴轴 y 轴和直线轴和直线2 yx所围成的闭域所围成的闭域. 解解: 令令,xyvxyu则则2,2uvyuvx),(),(vuyxJyxeDxyxyddvuevuDdd2120d21vvveed)(211201ee2 yxDxoy2121

18、212121vvvuue dxyxye,ddyx)(DD DD2vvu vuuov机动 目录 上页 下页 返回 结束 .30ybx 2yax 2Doyxxqy 2xpy 2,22yxvxyu例例22. 计算由计算由,22xqyxpyybxyax22,)0,0(baqp所围成的闭区域所围成的闭区域 D 的面积的面积 S .解解: 令令Duvopqab则则bvaqupD :D),(),(vuyxJ),(),(1yxvu31DyxSddbaqpvudd31vuJDdd)(31abpq机动 目录 上页 下页 返回 结束 .31例例23. 试计算椭球体试计算椭球体1222222czbyax解解: yxz

19、VDdd2yxcDbyaxdd122222由对称性由对称性, 1:2222byaxD取令令,sin,cosrbyrax则则D 的原象为的原象为20,1: rD),(),(ryxJcossinsincosrbbraaDcV2rrrcbad1d210220cba34rba21rddrrba的体积的体积V.机动 目录 上页 下页 返回 结束 .32内容小结内容小结(1) 二重积分化为累次积分的方法二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为若

20、积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD则则xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD机动 目录 上页 下页 返回 结束 .33)()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(则则)()(21d)sin,cos(drrrrf(2) 一般换元公式一般换元公式),(),(vuyyvuxxDyx),(,),(Dvu0),(),(vuyxJ且且则则DDvuvuyvuxfyxfdd ),(),(d),(J极坐标系情形极坐标系情形: 若积分区域为若积分区域为ddrrDo)(1r)(2r在变换