习题1-3-行列式的性质

1、精选优质文档-倾情为你奉上1、用行列式的性质计算下列行列式：；【分析】可见行列式中1，2两列元素大部分数字是相等的，列差同为1000，易于化为下三角行列式，于是，【解法一】。【解法二】。；【分析】各行、列都有公因，抽出后再行计算。【解】。；【分析】将第一行加到以下各行即成为上三角行列式，【解】。2、把下列行列式化为上三角形行列式，并计算其值：；【解法一】。【解法二】。【分析】该行列式属于同行元素之和相等的类型，应将2，3，4列加到第1列：【解】。3、设行列式，依下列次序对进行变换后，求其结果：交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有元素，再用(-3)乘以第二列加到第四列，最后用4除第二行各元素。

2、【解】交换第一行与第五行，行列式变号，结果为；再转置，行列式的值不变，；用2乘所有元素，即5行里每行都有公因2，这等于用乘以行列式，结果为；再用(-3)乘以第二列加到第四列，这是倍加，行列式的值不变，结果仍为；最后用4除第二行各元素，即第二行有公因，这等于用乘以行列式，结果为。4、用行列式的性质证明下列等式：；【证法一】左边=右边，证毕。【证法二】右边=左边，证毕。【证法三】左边=+0+0+0=右边，证毕。【证法一】左边=右边=，对比即得 左边=右边，证毕。【证法二】左边=+=右边，证毕。5、计算下列行列式：；【分析】该行列式属于同行元素之和相等的类型，应将2列以后各列加到第1列：【解】设为n

3、阶行列式，则每行中有1个，n-1个a，于是=。；【分析】该行列式主对角线以下元素与首行元素对应为相反数，因此，将首行加到以下各行，将化为上三角行列式。【解】。；【分析】这是为n+1阶行列式。该行列式主对角线以下元素与首行元素对应相等，因此，将首行的-1倍加到以下各行，将化为上三角行列式。【解】。，其中。【分析】为化成上三角行列式，须将下方元素全化为0，这样就需要次第地（以一定顺序，一个接一个地），将化为-1后加到第1列，将化为-1后加到第2列，.，将化为-1后加到第1列。【解】.=上述的n次列倍加运算也可以叠加进行：6、解下列方程：；【解】先将等式左边的行列式化为上三角形行列式，注意到1，2两

4、行及3，4两行有较多的相同元素，得：左边=，原方程为，即得4个根为，。；【解】先将等式左边的行列式化为上三角形行列式，将第一行的-1倍加到以下各行即成为上三角行列式。左边=，原方程为，即得n-1个根为，()7、 设n阶行列式，把上下翻转，或逆时针旋转90o，或依副对角线翻转，依次得，证明，。【证明】，这就是将变换成：，由于把上下翻转得到，翻转变换中，元素的列码仍为列码，顺序没变，行码则由顺序变成了逆序。由于排列变成要经过次对换，可知把上下翻转得到，须经过次行对换，从而。证毕。，这就是将变换成：，由于把逆时针旋转90o得到：旋转变换中，元素的第一码变成了第二码，都作为行码看待时，由顺序变成为逆序

5、；而第二码变成了第一码，都作为列码看待时，顺序不变，由于排列变成要经过次对换，可知把旋转90o得到，须经过次对换，从而。证毕。这就是将变换成：，由于把依副对角线翻转得到：翻转变换中，元素的第一码变成了第二码，都作为行码看待时，由顺序变成为逆序；第二码变成了第一码，都作为列码看待时，由顺序变成为逆序，从而，把依副对角线翻转得到，须经过次偶数对换，从而。证毕。8、已知255，459，527都能被17整除，不求行列式的值，证明行列式能被17整除。【分析】若行列式的任一项含有255，459，527这三个数之一，则行列式必能被17整除，而这样只须行列式中有一行以255，459，527这三个数之一为元素即可，经观察，行列式第一列恰有2，5，5，作行倍加即可得