八上反比例函数的几种解题技巧

1、反比例函数的几种类型解题技巧这对“数形结合”思想还有点欠缺的中学生来说摘要：由反比例函数的图像和性质衍生出了好多数学问题,无疑是一个难点。关键词：反比例函数、函数图象、函数性质一、给出自变量x的取值范围，让我们判断函数值y的范围；能把函数的图像正确的画出来，我们解决这种问题就相对比较直观，也比较简单，但是对于中学生来说好多学生不能对函数的图像有一个很好的掌握：1、反比例函数y=k(k>0),当x>a或xvb(a、b是非零常数)时，求y的取值范围。这种问题只需要x把这里的a或b代入函数的解析式中，得到y的值月或月，对应的y的取值范围就是yvX或y>k,由于反abab比例函数y=

2、K当k>0时，y随x的增大而减小。例如：函数丫=2，当*>1时，y的取值范围就是yv2；xx当xv2时y的取值范围就是y>1。2、反比例函数y=(kv0),当x>a或xvb(a、b是非零常数)时，求y的取值范围。我们同样把这里x的a或b代入函数的解析式中，得到y的值k或K,对应的y的取值范围就是y>K或yv人，由于反比例函abab数y=K当k<0时，y随x的减小而增大。例如：函数y=-，当x>1时，y的取值范围就是y>2；当xxxv2时y的取值范围就是yv1。3、反比例函数y=(k0),当avxvb,a、b同号时，求y的取值范围。我们还是把这里的

3、a、b代x入函数的解析式中，得到y的值然后对k、k按小到大排序，排好序后他们之间用“vyv”连接即abab可。若k>k,则y的取值范围就是kvyvk。例如：函数y=2,当一3vxv1时求y的取值范围，把一abbax3和一2代入解析式得到的y的值为一2和一2,则y的取值范围就是一2vyv2。334、反比例函数y=(k0),当avxvb,a*bv0时，求y的取值范围。同样先是把这里的a、b代入x函数的解析式中，得到y的值k、-,然后对这里的k、-进行大小比较，y的取值范围是“大于大的，小于abab小的"。若"v"则y的取值范围就是y<,y>°

4、;例如：函数y=,当一2<x<2时求y的取值范围，ababx把一2和2代入解析式得到的y的值为一1和1,则y的取值范围就是y<-1,y>1。二、已知反比例函数图像上的若干个点，知道横坐标的大小关系，让我们来判断纵坐标的大小关系；对于这种问题，如果能正确的画出反比例函数的图像，并会熟练的分析反比例函数的图像，那么这类问题也很容易解决，但面对一些实际情况，我们只能寻找一些学生更容易例接受的方式，下面我就对这些问题稍作分析：1、反比例函数y=k(k>0),点A1(X1,Y1),A2(X2,Y2)An(Xn,Yn)都在反比例函数的图像上，已知XYxX2VX3VXn(X1、

5、X2、X3Xn同号)，求丫1,丫2,丫3Yn的大小关系。这个问题我们直接利用反比例函数的性质(当k>0时，y随着x的增大而减小)，很容易得到丫1>丫2>丫3>>Yno例如：已知函数y=2,x点A(1,Y1),B(1,Y2),C(2,丫3)在函数的图彳a上，求丫1,丫2,丫3的大小关系。由于1<1<2,按照上面方法很容22易得到丫2>丫1>丫3。2、反比例函数y=k(kV0),点Al(Xl,Yl),A2(X2,Y2)An(Xn,Yn)都在反比例函数的图像上，已知XiVxX2VX3VXn(Xi、X2、X3Xn同号)，求丫1,丫2,丫3Yn的大小

6、关系。这个问题我们直接利用反比例函数的性质(当k<0时，y随着x的增大而增大)，很容易得到Y1<CY2<Y3<<Yn。例如：已知函数y=2,x点A(1,Yi),B(1,Y2),C(2,Y3)在函数的图彳t上，求Yi,Y2,Y3的大小关系。由于-<1<2,按照上面方法很容22易得到Y2VY1VY3。3、反比例函数y=k(k>0),点Al(Xl,Yl),A2(X2,Y2)An(Xn,Yn)都在反比例函数的图像上，已知XiVxX2VXkV0VXk+1<<Xn,求Yi,Y2,Y3Yn的大小关系。这个问题就不能像上面一样直接比较，Ai、A2An

7、这些点的横坐标中间被“0”隔微这类问题要分两块来进行解决。我们首先要分清楚每个点所在的函数图像在哪个象限，在每个象限内我们还是按照i和2的比较方式进行就可以了。反比例函数y=K,当kx>0时，它的图像在一、三象限，并且在函数图象的每一支上，y随着x的增大而减小。但不论怎样，第一象限内图像的每一个点对应的y值都比第三象限内图像的每一点对应的y值要大。因此我们恒有Ak+iAn这些点所对应的y值要比AiAk点对应的y值要大。Yi,Y2Yk的大小顺寻很容易判断是：Yi>Y2>>Yk；Yk+i,Yk+2Yn的大小顺序是：Yk+i>Yk+2>>Yno综上我们得到Y

8、i,Y2,Y3Yn的大小关系是：Yk+i>Yk+2>>Yn>Yi>Y2>>Yk；如果不考虑这么多，用一句简单化来概括的话就是：反比例函数y=kk>0时，图像上任意的点，横坐标为正的点对应的y值比横坐标为负的点对应的y值要大，若横坐标的符x号相同时我们就按照反比例函数的性质进行比较即可。例如:已知函数y=2,点A(i,Yi),B(一-,Y2),C(2,Y3),x2D(2.5,Y4而函数的图彳t上，求Yi,Y2,Y3,Y4的大小关系。解析：k=2是大于零的，A,B,C,D四点的横坐标有正有负，横坐标为正的点对应的y值比横坐标为负的点对应的y值要大，因

9、此肯定有Y3,Y4要大于Yi,Y2,当k>0时在反比例函数图像的每一支上，y随着x的增大而减小，因此有Y4VY3,Y2<Yi,进而Yi,Y2,Y3,Y4的大小关系是：Y2<Yi<Y4VY3。4、反比例函数y=k(k<0),点Ai(Xi,Yi),A2(X2,Y2)An(Xn,Yn)都在反比例函数的图像上,已知XiVxX2yXkV0VXk+i<<Xn,求Yi,Y2,Y3Yn的大小关系。同样Ai、A2An这些点的横坐标中间被“0”隔开，首先还是要分清楚每个点所在的函数图像在哪个象限，在每个象限内我们还是按照i和2的比较方式进行就可以了。反比例函数y=K,当k

10、>0时，它的图像在二、四象限，并且在函数图象的每一支上，y随x着x的增大而增大。但不论怎样，第二象限内图像的每一个点对应的y值都比第四象限内图像的每一点对应的y值要大。因此我们恒有AiAk这些点所对应的y值要比Ak+iAn点对应的y值要大。Yi,Y2Yk的大小顺寻很容易判断是：YiVY2VvYk；Yk+i,Yk+2Yn的大小顺序是：Yk+ivYk+2<<Yn。综上我们得到Yi,Y2,Y3Yn的大小关系是：Yk+iVYk+2<<YnVYiVY2V<Yk；如果不考虑这么多，用一句简单化来概括的话就是：反比例函数y=k,k<0时，图像上任意的点，横坐标为负的

11、点对应的y值比x横坐标为正的点对应的y值要大，若横坐标的符号相同时我们就按照反比例函数的性质进行比较即可。例如：已知函数y=2,点A(i,Yi),B(一-,Y2),C(2,Y3),D(2.5,Y4)在函数的图彳上，求Yi,Y2,Y3,Y4的大小关系。x2解析：k=2是小于零的，A,B,C,D四点的横坐标有正有负，横坐标为负的点对应的y值比横坐标为正的点对应的y值要大，因此肯定有Yi,Y2要大于Y3,Y4,当k<0时在反比例函数图像的每一支上，y随着x的增大而增大，因此有Yi<Y2,Y3VY4,进而Yi,Y2,Y3,Y4的大小关系是：Y3<Y4<YiVY2。反比例函数中的

12、面积问题、利用反比例函数中凶的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN,垂足分别为M、N,则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|X|PN|二|y|X|x|=|xy|xy=k故S=|k|从而得结论1:过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值四对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2:在直角三角形ABO中，面积S=结论3:在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4:在三角形AMB中，面积为S二|k|1.已知面积，求反比例函数的解析式（或比

13、例系数k）例1如图，已知双曲线（）经过矩形的边的中点，且四边形的面积为2,则.分析：连结OB,.£、F分别为AB、BC的中点而由四边形OEBF的面积为2得解得k=2评注：第小题中由图形所在象限可确定k>0,应用结论可直接求k值。第小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相等，列出含k的方程求k值。例2如图，矩形ABOD的顶点A是函数与函数在第二象限的交点，轴于B,轴于D,且矩形ABOD的面积为3.（1）求两函数的解析式.（2）求两函数的交点A、C的坐标.（3）若点P是y轴上一动点，且，求点P的坐标.解：（1）由图象知k<0,由结论及已知条件得-k=3反比例函

14、数的解析式为，一次函数的解析式为（2）由，解得，点A、C的坐标分别为（，3）,（3,）（3）设点P的坐标为（0,m）“而G=牙占曲d+工仃成=TI干河|工|+|勺|）=5直线与y轴的交点坐标为M（0,2）上IPMI=，即Im-2I=，或，点P的坐标为（0,）或（0,）评注：依据图象及结论求k值是本题的关键，只有求出k代值，才能通过解方程组求A、C两点的坐标，然后才能解决第小问。2.已知反比例函数解析式，求图形的面积例3在反比例函数的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）分析：因为过原点的直线与双曲线交点关于原点对称，故B、C、D的面积易求。对于A:S=4,对于B:阴影中所含的三个小直角三角形面

15、积相等，故S=，对于C:S=4,对于D:S=4故选(B)评注：过双曲线上作坐标轴垂线所围成的矩形的面积可直接由结论求解，过程简单。二、利用点的坐标及面积公式求面积例4如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点.(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线与轴的交点的坐标及三角形的面积.解：(1)在上.反比例函数的解析式为：.点在上经过，解之得一次函数的解析式为：(2)是直线与轴的交点当时，点例5:如图，直线与反比例函数(V0)的图象相交于点A、点B,与x轴交于点C,其中点A的坐标为(一2,4),点B的横坐标为一4.(1)试确定反比例函数的关系式；(2)求AOB的面积.解：(

16、1)二.点A(-2,4)在反比例函数图象上k=-8反比例函数解析式为y二(2) B点的横坐标为-4,，纵坐标为y=2B(-4,2)点A(-2,4)、点B(-4,2)在直线y=kx+b上4=-2k+b且2=-4k+b解得k=1b=6直线AB为y=x+6与x轴的交点坐标C(-6,0)S=12评注：于例4、例5类型的题目，其解题方法基本上都是分三步：先由条件求函数解析式，再通过解方程组求交点坐标，最后由面积公式计算面积。难度属中档题。三、利用对称性求反比例函数有关的面积问题例6已知，A、B、C、D、E是反比例函数(x>0)图象上五个整娄点(横、纵坐标均为整数)，分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段

17、，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形(阴影部分)，则这五个橄榄形的面积总和是(用含兀的代数式表示)分析：:x,y为正整数，x=1,2,4,8,16即A、B、C、D、E五个点的坐标为(1,(16) 2,8),(4,4),(8,2),(16,1),因五个橄榄形关于y=x对称，故有S=13乃26例7(2009年济宁市)如图，OA和。B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于分析：因为圆心A中的非阴影部分与圆B中的阴影部分为对称图形，圆A中的阴影部分与圆B中的非阴影部分也关于原点对称，故两阴影部分面积的和等于圆的面积。设圆A的圆心A的坐标为(x,y),由图可知，x=yA点在反比例函数图象上，解得x=1从而所求面积为兀评注：对于较复杂的图形面积计算问题，先应观察图形的特征，若具有对称特征，则应用对称关系可以简化解题过程。四、讨论与面积有关的综合问题例9.已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；(2)根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？(3)是反比例函数图象上的一动点，