高一数学总结难点

1、高一数学总结1集合2函数3基本初等函数4立体几何初步5平面解析几何初步6基本初等函数7平面向量8三角恒等变换9解三角形10.数列11.不等式1集合一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元。如（1）阿Q正传中出现的不同汉字（2）全体英文大写字母 集合的分类: 并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作AB（或BA），读作“A并B”（或“B并A”），即AB=x|xA,或xB交集： 以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交（集），记作AB（或BA），读作“A交B”（或“B交A”），即AB=x|xA,且

2、xB差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差（集）注:空集包含于任何集合，但不能说“空集属于任何集合注:空集属于任何集合,但它不属于任何元素.某些指定的对象集在一起就成为一个集合，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做。 集合的性质：确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。不能写成1，1，2，应写成1，2。无序性：a,b,cc,b,a是同一个集合集合有以下性质：若A包含于B，则AB=A，AB=B常用数集的符号：（1）全体

3、非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N（2）非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作N+（或N*）（3）全体整数的集合通常称作整数集，记作Z（4）全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q（5）全体实数的集合通常简称实数集，级做R集合的运算：1.交换律AB=BAAB=BA2.结合律(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)3.分配律A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)例题已知集合Aa2，a1，3，Ba3，2a1，a21，且AB3，求实数a的值AB33B若a33，则a0，则A0，1，3，B3，1，1AB3，1与B3矛盾，所以a33若2a13，则a1，则A1，

4、0，3，B4，3，2此时AB3符合题意，所以a12函数函数的单调性：设函数f(x)的定义域为I. 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时： （1）若总有f(x1)<f(x2),则称函数y=f(x)在这个区间上是增函数； （2）若总有f(x1)>f(x2),则称函数y=f(x)在这个区间上是减函数。 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，则称函数y=f(x)在这一区间上具有严格的单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间。函数的奇偶性：在函数y=f(x)中，如果对于函数定义域内的任意一个x. （1）若都有f(-x)=-f(

5、x),则称函数f(x)为奇函数； （2）若都有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为偶函数。 如果函数y=f(x)在某个区间上是奇函数或者偶函数，那么称函数y=f(x)在该区间上具有奇偶性。1作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）        2性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与x轴交点的坐标总是（0，b)正比例函数的图像总是过原点

6、。        3k，b与函数图像所在象限：        当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；        当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。        当b0时，直线必通过一、二象限；当b0时，直线必通过三、四象限。        特别地，当b=O时，直

7、线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。        这时，当k0时，直线只通过一、三象限；当k0时，直线只通过二、四象限。 自变量x和因变量y有如下关系：             y=kx+b        则此时称y是x的一次函数。        当b=0时，y是x的正比例函数。    

8、60;  即：y=kx （k为常数，k0）例 证明函数在上是增函数1分析解决问题    针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流 证明：任取,   设元 求差 变形   , 断号 即函数在上是增函数定论3基本初等函数指数函数的一般形式为y=ax(a>0且不=1) ，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得 如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。在函数y=ax中可以看到：（1） 指数函数的定

9、义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时a等于一般也不考虑。（2） 指数函数的值域为大于0的实数集合。（3） 函数图形都是下凹的。（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。（5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,

10、永不相交。（7） 函数总是通过（0，1）这点（8） 显然指数函数无界。 （9） 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。例1：下列函数在R上是增函数还是减函数？y=4x因为4>1，所以y=4x在R上是增函数；y=(1/4)x因为0<1/4<1,所以y=(1/4)x在R上是减函数对数函数一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1在一个普通

11、对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的。但是，根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：loga Mn = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log(-2) 4(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）对数函数的一般形式为 ，它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不

12、过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。（1） 对数函数的定义域为大于0的实数集合。（2） 对数函数的值域为全部实数集合。（3） 函数总是通过（1，0）这点。（4） a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。（5） 显然对数函数无界。对数函数的运算性质：如果a0，且a不等于1,M>0,N>0，那么：（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);（3）log(a)(Mn)=nlog(a)(M) （n属于R）4立体几何初步

13、1.1.1 构成空间几何体的基本元素柱 1.1.2 棱、棱锥和棱台的结构特征 1.1.3 圆柱、圆锥和圆台的结构特征 1.1.4 投影与直观图 1.1.5 三视图 1.1.6 棱柱、棱锥和棱台的表面积 1.1.7 柱、锥和台的体积棱柱表面积A=L*H+2*S,体积V=S*H (L-底面周长,H-柱高,S-底面面积) 圆柱表面积A=L*H+2*S=2*R*H+2*R2,体积V=S*H=*R2*H (L-底面周长,H-柱高,S-底面面积,R-底面圆半径) 球体表面积A=4*R2,体积V=4/3*R3 (R-球体半径) 圆锥表面积A=1/2*s*L+*R2,体积V=1/3*S*H=1/3*R2*H

14、(s-圆锥母线长,L-底面周长,R-底面圆半径,H-圆锥高) 棱锥表面积A=1/2*s*L+S,体积V=1/3*S*H (s-侧面三角形的高,L-底面周长,S-底面面积,H-棱锥高)长方形的周长=（长+宽）×2 正方形 a边长 C4a Sa2 长方形 a和b边长 C2(a+b) Sab 三角形 a,b,c三边长 ha边上的高 s周长的一半 A,B,C内角 其中s(a+b+c)/2 Sah/2 ab/2·sinC s(s-a)(s-b)(s-c)1/2a2sinBsinC/(2sinA) 四边形 d,D对角线长 对角线夹角 SdD/2·sin 平行四边形 a,b边长

15、 ha边的高 两边夹角 Sah absin 菱形 a边长 夹角 D长对角线长 d短对角线长 SDd/2 a2sin 梯形 a和b上、下底长 h高 m中位线长 S(a+b)h/2 mh d直径 Cd2r Sr2 d2/4 扇形 r扇形半径 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长 三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×

16、2 圆的面积=圆周率×半径×半径 长方体的表面积= （长×宽+长×高宽×高）×2 长方体的体积 =长×宽×高 正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长 圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 圆柱的体积=底面积×高 圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体（正方体、圆柱体） 的体积=底面积×高 平面图形 名称 符号 周长C和面积S a圆心角度数 C2r2r×(a/360) S

17、r2×(a/360) 弓形 l弧长 b弦长 h矢高 r半径 圆心角的度数 Sr2/2·(/180-sin) r2arccos(r-h)/r -(r-h)(2rh-h2)1/2 r2/360 - b/2·r2-(b/2)21/2 r(l-b)/2 + bh/2 2bh/3 圆环 R外圆半径 r内圆半径 D外圆直径 d内圆直径 S(R2-r2) (D2-d2)/4 椭圆 D长轴 d短轴 SDd/4 立方图形 名称 符号 面积S和体积V 正方体 a边长 S6a2 Va3 长方体 a长 b宽 c高 S2(ab+ac+bc) Vabc 棱柱 S底面积 h高 VSh 棱锥 S

18、底面积 h高 VSh/3 棱台 S1和S2上、下底面积 h高 VhS1+S2+(S1S1)1/2/3 拟柱体 S1上底面积 S2下底面积 S0中截面积 h高 Vh(S1+S2+4S0)/6 圆柱 r底半径 h高 C底面周长 S底底面积 S侧侧面积 S表表面积 C2r S底r2 S侧Ch S表Ch+2S底 VS底h r2h 空心圆柱 R外圆半径 r内圆半径 h高 Vh(R2-r2) 直圆锥 r底半径 h高 Vr2h/3 圆台 r上底半径 R下底半径 h高 Vh(R2Rrr2)/3 球 r半径 d直径 V4/3r3d2/6 球缺 h球缺高 r球半径 a球缺底半径 Vh(3a2+h2)/6 h2(3

19、r-h)/3 a2h(2r-h) 球台 r1和r2球台上、下底半径 h高 Vh3(r12r22)+h2/6 圆环体 R环体半径 D环体直径 r环体截面半径 d环体截面直径 V22Rr2 2Dd2/4 桶状体 D桶腹直径 d桶底直径 h桶高 Vh(2D2d2)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心) Vh(2D2Dd3d2/4)/15 (母线是抛物线形)三视图的投影规则是：主视、俯视 长对正主视、左视 高平齐 左视、俯视 宽相等点线面位置关系公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上 公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上 公理三：三个不共线的点

20、确定一个平面 推论一：直线及直线外一点确定一个平面 推论二：两相交直线确定一个平面 推论三：两平行直线确定一个平面 公理四：和同一条直线平行的直线平行 异面直线定义：不平行也不相交的两条直线 判定定理：经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线。 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向相同，那么这两个角相等线线平行线面平行 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。 线面平行面面平行 如果一个平面内有两条相交直线都

21、平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 面面平行线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 线线垂直线面垂直 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 线面垂直线线平行 如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 线面垂直面面垂直 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 线面垂直线线垂直 线面垂直定义：如果一条直线a与一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面。 面面垂直线面垂直 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 三垂线定理 如果平面内的一条直线

22、垂直于平面的血现在平面内的射影，则这条直线垂直于斜线。例题对于四面体ABCD,(1)若AB=AC,BD=CD如何证明BC垂直于AD?(2)若AB垂直于CD,BD垂直于AC,如何证明BC垂直于AD?证明：(1).取BC的中点F,连结AF,DF,则 AB=AC,BD=CD， ABC与DBC是等腰三角形， AFBC,DFBC.而AFDF=F, BC面AFD.又AD在平面AFD内， BC (2).设A在面BCD上的射影为O.连结BO,CO,DO.则 CDAB,CDAO,ABAO=A,CD面ABO. 而BO在平面ABO内，BOCD. 同理，DOBC.因此，O是BCD的垂心，因此有 COBD. BDCO,

23、BDAO,COAO=O,BD面AOC. 而AC在平面AOC内，BDAC.5平面解析几何初步两点距离公式：根号(x1-x2)2+(y1-y2)2中点公式：X=(X1+X2)/2 Y=(Y1+Y2)/2直线的斜率 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切，叫做这条直线的斜率.通常用k来表示，记作： k=tga(0°a180°且a90°) 倾斜角是90°的直线斜率不存在，倾斜角不是90°的直线都有斜率并且是确定的点斜式:y-y1=k(x-x1)；斜截式：y=kx+b；截距式：x/a+y/b=1直线的标准方程：Ax+Bx+C=0圆的一般方程：

24、 x2y2DxEyF0圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 2表示平方圆与圆的位置关系：1 点在圆上(点到半径的距离等于半径) 点在圆外(点到半径的距离大于半径) 点在圆内(点到半径的距离小于半径) 2 (1)相切:圆心到直线的距离等于半径 (2)相交:圆心到直线的距离小于半径 (3)相离:圆心到直线的距离大于半径 3 圆的切线是指 垂直于半径,直线到圆心距离等于半径的直线,垂足叫切点 4 圆心距为Q 大圆半径为R 小圆半径为r 两圆外切 Q=R+r 两圆内切 Q=R-r (用大减小) 两圆相交 Q<R-r 两圆外离 Q>R+r 两圆内含 Q<R-r直线与圆的位置关系

25、有三种:相离,相交,相切. 有如下关系 相离则d>r,反之d>r则相离, 相切则d=r,反之d=r则相切, 相交则d<r,反之d<r则相交.空间直角坐标系的定义 ABCD ABCO是长方体，以O为原点，分别以射线OB、OA、OB为正方向，以线段OB、OA、OB建立三条坐标轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O xyz，点O叫做坐标原点，x、y、z轴叫做坐标轴，由两条坐标轴组成的平面叫做坐标平面， 分别叫做xOy平面、yOz平zOx平面，这种坐标系叫做右手直角坐标空间直角坐标系内点的坐标表示方法 设点M为空间的一个定点，过点M分别作垂直于x、y、z轴的平面

26、，依次交x、y、z轴于点P、Q、R设点P、Q、R在x、y、z轴上的坐标分别为x、y、z，那么就得到与点M对应惟一确定的有序实数组（x，y，z），有序实数组（x，y，z）叫做点M的坐标，记作M(x，y，z)，其中x、y、z分别叫做点M的横坐标、纵坐标、竖坐标。空间内两点之间的距空间中两点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2|(x1 - x2)2 + (y1 - y2)2 + (z1 - z2)2空间中点公式 空间中两点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)，中点P坐标（x1+x2）/2,(y1+y2)/2,(z1+z2)/2例题：1直线L与直线3x+4y

27、-7=0平行，且和两坐标轴围成的三角形面积为24，求直线L的方程。解：直线L与3x+4y-7平行，所以斜率相等，同为-3/4 设直线的方程是y=(-3/4)x+b 它与两坐标轴的交点坐标分别是(0,b),(4b/3,0) 和两坐标轴围成的三角形面积为24 (1/2)*|b|*|4b/3|=24 |b²|=36 b=±6 直线L有两条，方程分别是y=(-3/4)x+6或y=(-3/4)x-62求两点(-5,-1),(-3,4)连成线段的垂直平分线的方程.解设y=k1x+b1过两点(-5,-1)(-3,4) 得-1=-5k1+b1 4=-3k1+b1 解之得k1=5/2；b1=

28、23/2 y=5x/2+23/2 因为k1*k2=-1 所以k2=-2/5 (x1+x2)/2=(-5-3)/2=-4 (y1+y2)/2=(-1+4)/2=3/2 (-4,3/2)过所求方程y=k2x+b 3/2=-2/5*(-4)+b b=-1/10 所以y=-2x/5-1/10 化简4x+10y+1=06基本初等函数从其中一个顶点向一个边引一条线，交另一边上某一点，则这个图形变成有一条公共边且另一组边在同一直线上的两个三角形。有六个内角，其中公共边与另一组在同一直线上的边相交形成的两个角中，每一个角都是一个三角形的一个内角，且是另一个三角形的一个外角 另外还有大于平角小于周角的角。正弦函

29、数 sin=y/r 余弦函数 cos=x/r 正切函数 tan=y/x 余切函数 cot=x/y 正割函数 sec=r/x 余割函数 csc=r/y同角三角函数间的基本关系式： ·平方关系： sin2()+cos2()=1 tan2()+1=sec2() cot2()+1=csc2() ·积的关系： sin=tan*cos cos=cot*sin tan=sin*sec cot=cos*csc sec=tan*csc csc=sec*cot ·倒数关系： tan·cot=1 sin·csc=1 cos·sec=1一个园,弧长和半径相等

30、时所对应的角度是1弧度.弧度和角度的换算关系: 弧度*180/(2*)=角度 诱导公式常用的诱导公式有以下几组：公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k）sincos（2k）costan（2k）tancot（2k）cot公式二：设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式三：任意角与 -的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式四：利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）

31、cot公式五：利用公式一和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系：sin（2）sincos（2）costan（2）tancot（2）cot公式六：/2±及3/2±与的三角函数值之间的关系：sin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tan(以上kZ)函数类型    第一

32、象限    第二象限    第三象限    第四象限正弦                +                +                        

33、0;   余弦                +                                          +正切       

34、60;       +                               +            余切                +   

35、60;                           +            正弦函数的性质： 解析式：y=sinx图像 波形图像（由单位圆投影到坐标系得出）定义域R(实数) 值域：-1，1 最值： 最大值：当x=(/2)+2k时，y(max)=1 最小值：当x=-(/2)+2k时，y(min)=-1值点： (k,0)对称性： 1)对称轴：

36、关于直线x=(/2)+k对称 2)中心对称：关于点(k,0)对称 周期：2 奇偶性： 奇函数 单调性： 在-(/2)+2k,(/2)+2k上是增函数，在(/2)+2k,(3/2)+2k上是减函数余弦函数的性质： 余弦函数图像： 波形图像定义域：R值域： -1，1最值： 1）当x=2k时,y(max)=12）当x=2k+时,y(min)=-1零值点：(/2+k,0)对称性： 1）对称轴：关于直线x=k对称2）中心对称：关于点(/2+k,0)对称周期： 2奇偶性：偶函数单调性： 在2k-,2k上是增函数        在2k,2k+上是减

37、函数定义域：x|x(/2)+k,kZ值域：R最值：无最大值与最小值零值点：(k,0)对称性：轴对称：无对称轴中心对称：关于点(k,0)对称周期：奇偶性：奇函数单调性：在(-/2+k,/2+k)上都是增函数7平面向量坐标表示法 平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成 ，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。在数学中，我们通常用点表示位置，用射线表示方向在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用来表示平面

38、内的各个方向向量的表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向向量也可用字母a、b、c等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示向量 的大小，也就是向量 的长度(或称模)，记作|a|长度为0的向量叫做零向量，记作0长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量向量a、b、c平行，记作abc0向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定0与任一向量平行长度相等且方向相同的向量叫做相等向量向量a与b相等，记作a=b零向量与零向量相等任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的

39、起点无关向量的运算 1、向量的加法：AB+BC=AC设a=（x,y） b=(x',y')则a+b=(x+x',y+y')向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。向量加法的性质：交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)a+0=0+a=a2、向量的减法AB-AC=CBa-b=(x-x',y-y')若a/b则a=eb则xy-xy=0若a垂直b则ab=0则xx+yy=03、向量的乘法设a=（x,y） b=(x',y')a·b(点积）=x·x'+y·y'=|a|·

40、|b|*cos夹角1、向量有关概念： （1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），则把向量 按向量 （1,3）平移后得到的向量是_（答：（3,0） （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作： ，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 共线的单位向量是 )；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 、 叫做平行向量，记作： ，规定零向

41、量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有 )；三点 共线 共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 的相反向量是例题：1.已知点A(1,1),B(-1,5)及AC向量=1/2AB向量，AD向量=2AB向量，AE向量=-1/2AB向量，求点C，D，E的坐标。设C点(x，y)，则AB(2，4)，AC(x1，y1). 由AC1/2AB得： x11/2×(2)1， y11/2×42 所以，x0，y

42、3，所以点C的坐标是(0,3)设D点(x，y)，则AD(x1，y1). 由AD2AB得： x12×(2)4， y12×48 所以，x3，y9，所以点C的坐标是(3,9)设E点(x，y)，则AE(x1，y1). 由AE1/2AB得： x11/2×(2)1， y11/2×42 所以，x2，y1，所以点C的坐标是(2,1)8三角恒等变换两角和差公式 两角和与差的三角函数公式sin（）sincoscossinsin（）sincoscossincos（）coscossinsincos（）coscossinsin      &

43、#160;                  tantan（）                       1tan ·tan                     &

44、#160;  tantantan（）                       1tan ·tan 倍角公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）sin22sincoscos2cos2()sin2()2cos2()112sin2()                2tantan2   &#

45、160;          1tan2()半角公式 半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）                     1cossin2(/2)                          

46、0;2                     1coscos2(/2)                           2                 

47、0;   1costan2(/2)                     1cos万能公式 万能公式            2tan(/2)sin           1tan2(/2)          

48、 1tan2(/2)cos            1tan2(/2)             2tan(/2)tan           1tan2(/2)和差化积公式 三角函数的和差化积公式                  &

49、#160;                sinsin2sin-·cos-                             2             2    

50、                               sinsin2cos-·sin-                              2     &#

51、160;      2                                      coscos2cos-·cos-                    

52、                      2             2                                    &#

53、160;    coscos2sin-·sin-                                     2            2积化和差公式 三角函数的积化和差公式sin ·cos0.5sin（）sin（）cos &#

54、183;sin0.5sin（）sin（）cos ·cos0.5cos（）cos（）sin ·sin 0.5cos（）cos（）9解三角形步骤1.在锐角ABC中，设三边为a，b，c。作CHAB垂足为点DCH=a·sinBCH=b·sinAa·sinB=b·sinA得到a/sinA=b/sinB同理，在ABC中，b/sinB=c/sinC 步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交O于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以DAB=90度 因为同弧所对的

55、圆周角相等,所以D等于C. 所以c/sinCc/sinD=BD=2Ra/SinA=BC/SinD=CD=2R 类似可证其余两个等式。二. 正弦定理的变形公式(1) a=2RsinA,  b=2RsinB,  c=2RsinC;(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;a2=b2+c2-2*b*c*CosAb2=a2+c2-2*a*c*CosBc2=a2+b2-2*a*b*CosCCosC=(a2+b2-c2)/2abCosB=(a2+c2-b2)/2acCosA=(c2+b2-a2)/2bc证明：如图，有a+b=cc·

56、;c=(a+b)·(a+b)c2=a·a+2a·b+b·bc2=a2+b2+2|a|b|Cos(-)整理得到c2=a2+b2-2|a|b|Cos（注意：这里用到了三角函数公式）再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC同理可证其他，而下面的CosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。例题：1已知（B+C）：（C+A）：（A+B）=4：5：6，求此三角形的最大内角解：设 b+c=4x，可得a=7x/2,b=5x/2,c=3x/2, 再用余弦定理 cosA=-1/2,即A=12021.在三角形ABC中,已知(b+c);(c+a

57、);(a+b)=4;5;6,则sinA;sinB;sinC=_解：、a/sinA=b/sinB=c/sinC (b+c);(c+a);(a+b)=4;5;6 (sinB+sinC):(sinC+sinA):(sinA+sinB)=4k:5k:6k 解得sinA=7k/2 sinB=5k/2 sinC=3k/2 所以sinA:sinB:sinC=7:5:310数列一、 等差数列 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。 等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)前n项和公式为：Sn=na1+

58、n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2) 从(1)式可以看出，an是n的一次数函(d0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由(2)式知，Sn是n的二次函数(d0)或一次函数(d=0，a10)，且常数项为0。 在等差数列中，等差中项：一般设为Ar，Am+An=2Ar,所以Ar为Am，An的等差中项。且任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式。 从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=ak+an-k+1，k1,2,n 若m，n，p，qN*，且m+n=p+q，则有am+an=

59、ap+aqSm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，Snk-S(n-1)k或等差数列，等等。和（首项末项）×项数÷2 项数（末项-首项）÷公差1 首项=2和÷项数-末项末项=2和÷项数-首项等差数列的应用：日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)0。等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等

60、比数列的公比，公比通常用字母q表示。 （1）等比数列的通项公式是：An=A1*q（n1）若通项公式变形为an=a1/q*qn(nN*),当q0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*qx上的一群孤立的点。（2）求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-qn)/(1-q) =(a1-a1qn)/(1-q)=a1/(1-q)-a1/(1-q)*qn ( 即A-Aqn)(前提：q不等于 1)任意两项am，an的关系为an=am·q(n-m)（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3

61、83;an-2=ak·an-k+1，k1,2,n （4）等比中项：aq·ap=ar*2，ar则为ap，aq等比中项。记n=a1·a2an，则有2n-1=(an)2n-1，2n+1=(an+1)2n+1另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 性质： 若 m、n、p、qN*，且mn=pq，则am·an=ap·aq； 在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. “G是a、b的等比中

62、项”“G2=ab（G0）”.(5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-qn)/(1-q)在等比数列中，首项A1与公比q都不为零. 注意：上述公式中An表示A的n次方。等比数列在生活中也是常常运用的。如：银行有一种支付利息的方式-复利。即把前一期的利息赫本金价在一起算作本金，在计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)存期例题1已知数列：（An),Sn=3an+2,求证，An是等比数列。解：当n=1时 a1=3a1+2 得a1=-1 当n>=2时 有Sn=3an+2 1式 S(n-1)=3a(n-1)+2 （括号代表下标 下同）2式 1

63、式-2式 得 an=3an-3a(n-1) 【an=Sn-S(n-1)】 所以 3a(n-1)=2an an=3/2a(n-1) 所以an是以-1为首项 以3/2为公比的等比数列2已知等差数列AN的前N项和为SN，且A3=5，S15=225.数列BN是等比数列，B3=A2+A3，B2B5=128. （1）求数列AN的通项AN及数列BN的前9项的和T9解 1.设等差数列an的首项为a1,公差为d；等比数列首项b1,公比为q a3=a1+2d=5 s15=(a1+a15)*15/2=(a1+a1+14d)*15/2=225 解出a1=1 d=2 所以数列an通项公式an=a1+(n-1)d=2n-1 可以求出a2=3,a3=5,所以b3=8 b3=b1q2=8 b2b5=(b1q)*(b1q4)=b12*q5=128 解出b1=1 q=2 所以bn=b1*q(n-1)=2(n-1) tn=a1(1-qn)/(1-q)=2n-1 所以t9=29-1=51111不等式不等式(in