相似三角形题库

1、第27章相似中考题集（24）：27.2 相似三角形 第27章相似中考题集（24）：27.2 相似三角形解答题1（2010绍兴）如图，已知ABC内接于O，AC是O的直径，D是的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F（1）求证：EF是O的切线；（2）若EF=8，EC=6，求O的半径2（2010黔南州）如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且D=BAC（1）求证：AD是半圆O的切线；（2）若BC=2，CE=，求AD的长3（2010南宁）如图1，AB为O的直径，AD与O相切于点A，DE与O相切于点E，点C为DE延长线上一

2、点，且CE=CB（1）求证：BC为O的切线；（2）连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点G（如图2所示），若AB=2，AD=2，求线段BC和EG的长4（2010聊城）如图，已知RtABC，ABC=90°，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连接BD（1）若AD=3，BD=4，求边BC的长；（2）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与O相切5（2010包头）如图，已知AB是O的直径，点C在O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，COB=2PCB（1）求证：PC是O的切线；（2）求证：BC=AB；（3）点M是的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MNMC的值6（

3、2010锦州）如图，AB为O的直径，D是弧BC的中点，DEAC交AC的延长线于E，O的切线BF交AD的延长线于F（1）求证：DE是O的切线；（2）若DE=3，O的半径为5求BF的长7（2010随州）如图，点P为ABC的内心，延长AP交ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD2=ABAE求证：DE是O的切线8（2010广安）如图，AB、AC分别是O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DEAB分别交O于E，交AB于H，交AC于FP是ED延长线上一点且PC=PF（1）求证：PC是O的切线；（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DEDF，为什么？（3）在（2）的条件下，若OH=1，

4、AH=2，求弦AC的长9（2010鄂尔多斯）如图，AB为O的直径，劣=弧BDCE，连接AE并延长交BD于D求证：（1）BD是O的切线；（2）AB2=ACAD10（2009陕西）如图，圆O是ABC的外接圆，AB=AC，过点A作APBC，交BO的延长线于点P（1）求证：AP是圆O的切线；（2）若圆O的半径R=5，BC=8，求线段AP的长11（2009钦州）已知：如图，在RtABC中，ABC=90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D（1）求证：BC=CD；（2）求证：ADE=ABD；（3）设AD=2，AE=1，求O直径的长12（2009丽水）如图，已知

5、在等腰ABC中，A=B=30°，过点C作CDAC交AB于点D（1）尺规作图：过A，D，C三点作O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；（2）求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线；（3）若过A，D，C三点的圆的半径为，则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与BCO相似？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由13（2009深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=2x8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作P（1）连接PA，若PA=PB，试判断P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，

6、以P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形14（2009桂林）如图，ABC内接于半圆，AB为直径，过点A作直线MN，若MAC=ABC（1）求证：MN是半圆的切线（2）设D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DEAB于E，交AC于F，求证：FD=FG（3）在（2）的条件下，若DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求BCG的面积15（2009广安）已知：如图，AB是O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交O于E，连接DE、BE，且C=BED（1）求证：AC是O的切线；（2）若OA=10，AD=16，求AC的长16（2009本溪）如图所示，AB是O直径，OD弦BC于点F，且交

7、O于点E，若AEC=ODB（1）判断直线BD和O的位置关系，并给出证明；（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长17（2008岳阳）如图，O是ABC的外接图，BD为圆O的直径，AB=AC，AD交BC于E，ED=2AE（1）求证：AB2=ADAE；（2）求ADB的度数；（3）延长DB到F，使BF=BO，连接FA求证：直线FA为O的切线18（2008襄阳）如图，直线AB经过O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，O交直线OB于E，D，连接EC，CD（1）求证：直线AB是O的切线；（2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若tanCED=，O的半径为3，求OA的长19（20

8、08芜湖）在RtABC中，BC=9，CA=12，ABC的平分线BD交AC与点D，DEDB交AB于点E（1）设O是BDE的外接圆，求证：AC是O的切线；（2）设O交BC于点F，连接EF，求的值20（2008乌兰察布）如图所示，AB是O的直径，AD是弦，DBC=A，OCBD于点E（1）求证：BC是O的切线；（2）若BD=12，EC=10，求AD的长21（2008铜仁地区）如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CHAB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH的中点，连接AE并延长交BD于F，直线CF交直线AB于点G（1）求证：点F是BD的中点；（2）求证：CG是O的切线22（2008

9、宿迁）如图，O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为（5，0），顶点D在O上运动（1）当点D运动到与点A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与O相切；（2）当直线CD与O相切时，求CD所在直线对应的函数关系式；（3）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值23（2008青海）已知，如图，直线MN交O于A，B两点，AC是直径，AD平分CAM交O于D，过D作DEMN于E（1）求证：DE是O的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求O的半径24（2008南京）如图，已知O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与O相切于点

10、QA，B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动设运动时间为ts（1）求PQ的长；（2）当t为何值时，直线AB与O相切？25（2008福州）如图：AB是O的直径，AD是弦，DAB=22.5°，延长AB到点C，使得ACD=45°（1）求证：CD是O的切线；（2）若AB=2，求BC的长26（2008大庆）如图，在RtABC中，C=90°，BE平分ABC交AC于点E，点D在AB边上且DEBE（1）判断直线AC与DBE外接圆的位置关系，并说明理由；（2）若AD=6，AE=6，求BC的长27（2008包头）如图，

11、ABC中，AD平分BAC交ABC的外接圆O于点H，过点H作EFBC交AC、AB的延长线于点E、F（1）求证：EF是O的切线；（2）若AH=8，DH=2，求CH的长；（3）若CAB=60°，在（2）的条件下，求的长28（2007茂名）如图，点A，B，C，D是直径为AB的O上四个点，C是劣弧的中点，AC交BD于点E，AE=2，EC=1（1）求证：DECADC；（2）试探究四边形ABCD是否是梯形？若是，请你给予证明并求出它的面积；若不是，请说明理由（3）延长AB到H，使BH=OB求证：CH是O的切线29（2007泸州）如图，已知AB为O的直径，直线BC与O相切于点B，过A作ADOC交O于

12、点D，连接CD（1）求证：CD是O的切线；（2）若AD=2，直径AB=6，求线段BC的长30（2011黔南州）如图，点A，B，C，D在O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，AE=ED，延长DB到点F，使FB=BD，连接AF（1）证明：BDEFDA；（2）试判断直线AF与O的位置关系，并给出证明第27章相似中考题集（24）：27.2 相似三角形参考答案与试题解析解答题1（2010绍兴）如图，已知ABC内接于O，AC是O的直径，D是的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F（1）求证：EF是O的切线；（2）若EF=8，EC=6，求O的半径考点：切线的判定；勾股定理；相似三角形

13、的判定与性质。专题：几何综合题。分析：（1）要证EF是O的切线，只要连接OD，再证ODEF即可（2）先根据勾股定理求出CF的长，再根据相似三角形的判定和性质求出O的半径解答：（1）证明：连接OD交于AB于点GD是的中点，OD为半径，AG=BG（2分）AO=OC，OG是ABC的中位线OGBC，即ODCE（2分）又CEEF，ODEF，EF是O的切线（1分）（2）解：在RtCEF中，CE=6，EF=8，CF=10（1分）设半径OC=OD=r，则OF=10r，ODCE，FODFCE，（2分）=，r=，即：O的半径为（2分）点评：本题考查了切线的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点

14、（即为半径），再证垂直即可同时考查了相似三角形的判定和性质2（2010黔南州）如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且D=BAC（1）求证：AD是半圆O的切线；（2）若BC=2，CE=，求AD的长考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质。专题：综合题。分析：（1）要证AD是半圆O的切线只要证明DAO=90°即可；（2）由两组角对应相等的两个三角形相似可得到DOAABC，据相似三角形的对应边成比例可得到AD的长解答：（1）证明：AB为半圆O的直径，BCA=90°又BCOD，OEACD+DAE=90°D=BA

15、C，BAC+DAE=90°AD是半圆O的切线（2）解：BCOD，AOEABC，BA=2AO，=，又CE=，AC=2CE=在RtABC中，AB=，D=BAC，ACB=DAO=90°，DOAABC即点评：此题考查学生对切线的判定及相似三角形的判定方法的掌握情况3（2010南宁）如图1，AB为O的直径，AD与O相切于点A，DE与O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB（1）求证：BC为O的切线；（2）连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点G（如图2所示），若AB=2，AD=2，求线段BC和EG的长考点：切线的判定；全等三角形的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质。

16、专题：几何综合题。分析：（1）连接OE，OC，即可证明OECOEC，根据DE与O相切于点E得到OEC=90°，从而证得OBC=90°，则BC是圆的切线（2）先求线段BC的长，过D作DFBG于F，则四边形ABFD是矩形，有DF=AB=2，在RtDCF中，由切线长定理知AD=DE、CE=BC，那么CD=CE+2，CF=CE2，利用勾股定理可求得CE的长；ADE中，由于AD=DE，可得到DAE=AED=CEG，而ADBG，根据平行线的内错角相等得到G=EAD=CEG，由此可证得CE=CG=CB，即可求得BG的长；在RtABG中，利用勾股定理可求得AG的值，易证ADEGCE，根据相

17、似三角形的相似比，可求得AE、EG的比例关系，联立AG的长，即可得到EG的值解答：（1）证明：连接OE，OC；（1分）CB=CE，OB=OE，OC=OCOECOBC（SSS）OBC=OEC （2分）又DE与O相切于点EOEC=90° （3分）OBC=90°BC为O的切线（4分）（2）解：过点D作DFBC于点F，AD，DC，BG分别切O于点A，E，BDA=DE，CE=CB，设BC为x，则CF=x2，DC=x+2，在RtDFC中，解得：；（6分）ADBG，DAE=EGC，DA=DE，DAE=AED；AED=CEG，EGC=CEG，CG=CE=CB=，（7分）BG=5，AG=；（

18、8分）解法一：连接BE，（9分）在RtBEG中，（10分）解法二：DAE=EGC，AED=CEG，ADEGCE，（9分），=，解得：（10分）点评：此题主要考查了切线的判定和性质、全等三角形及相似三角形的判定和性质、勾股定理、切线长定理等知识的综合应用，是一道难度较大的综合题4（2010聊城）如图，已知RtABC，ABC=90°，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连接BD（1）若AD=3，BD=4，求边BC的长；（2）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与O相切考点：切线的判定；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。专题：代数几何综合题；数形结合。分析：（1）根据勾股

19、定理易求AB的长；根据ABDACB得比例线段可求BC的长（2）连接OD，证明DEOD解答：（1）解：AB为直径，ADB=90°，即BDACAD=3，BD=4，AB=5ABC=90°，BDAC，ABDACB，=，即=，BC=；（2）证明：连接OD，OD=OB，ODB=OBD；又E是BC的中点，BDAC，DE=BE，EDB=EBDODB+EDB=OBD+EBD=90°，即ODE=90°，DEODED与O相切点评：直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形相似；证过圆上一点的直线是切线，常作的辅助线是连接圆心和该点，证直线和半径垂直5（2010包头）如图，

20、已知AB是O的直径，点C在O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，COB=2PCB（1）求证：PC是O的切线；（2）求证：BC=AB；（3）点M是的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MNMC的值考点：切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。专题：几何综合题。分析：（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得PCB+OCB=90°，即OCCP；故PC是O的切线；（2）AB是直径；故只需证明BC与半径相等即可；（3）连接MA，MB，由圆周角定理可得ACM=BCM，进而可得MBNMCB，故BM2=MNMC；代入数据可得MNMC=BM2=8

21、解答：（1）证明：OA=OC，A=ACO又COB=2A，COB=2PCB，A=ACO=PCB又AB是O的直径，ACO+OCB=90°PCB+OCB=90°即OCCP，OC是O的半径PC是O的切线（3分）（2）证明：AC=PC，A=P，A=ACO=PCB=P又COB=A+ACO，CBO=P+PCB，COB=CBO，BC=OCBC=AB（6分）（3）解：连接MA，MB，点M是的中点，ACM=BCMACM=ABM，BCM=ABMBMN=BMC，MBNMCBBM2=MNMC又AB是O的直径，AMB=90°，AM=BMAB=4，BM=2MNMC=BM2=8（10分）点评：此

22、题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用6（2010锦州）如图，AB为O的直径，D是弧BC的中点，DEAC交AC的延长线于E，O的切线BF交AD的延长线于F（1）求证：DE是O的切线；（2）若DE=3，O的半径为5求BF的长考点：切线的判定；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。专题：几何综合题。分析：（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：ODBC；由OB为O的直径，可得：BCAC，根据DEAC，可证ODDE，从而可证DE是O的切线；（2）在RtABC中，运用勾股定理可将爱那个AC的长求出，运用切割线定理可将AE的长求出，根据AEDABF，可将

23、BF的长求出解答：（1）证明：连接OD，BC，OD与BC相交于点G，D是弧BC的中点，OD垂直平分BC，AB为O的直径，ACBC，ODAEDEAC，ODDE，OD为O的半径，DE是O的切线（2）解：由（1）知：ODBC，ACBC，DEAC，四边形DECG为矩形，CG=DE=3，BC=6O的半径为5，AB=10，AC=8，由（1）知：DE为O的切线，DE2=ECEA，即32=（EA8）EA，解得：AE=9D为弧BC的中点，EAD=FAB，BF切O于B，FBA=90°又DEAC于E，E=90°，FBA=E，AEDABF，BF=点评：本题考查了切线的判定要证某线是圆的切线，已知此

24、线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可7（2010随州）如图，点P为ABC的内心，延长AP交ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD2=ABAE求证：DE是O的切线考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：要证DE是O的切线，只要连接DC，DO并延长交O于F，连接AF根据已知再证FDE=90°即可解答：证明：连接DC，DO并延长交O于F，连接AFP点为ABC的内心，BAD=DAE，又AD2=ABAE，即=，BADDAE，ADB=E又ADB=ACB，ACB=E，BCDE，CDE=BCD=BAD=DAC，又CAF=CDF，FDE=CDE+C

25、DF=DAC+CAF=DAF=90°，故DE是O的切线点评：本题考查了切线的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可8（2010广安）如图，AB、AC分别是O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DEAB分别交O于E，交AB于H，交AC于FP是ED延长线上一点且PC=PF（1）求证：PC是O的切线；（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DEDF，为什么？（3）在（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长考点：切线的判定；全等三角形的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质。专题：代数几何综合题。分析：（1）连接OC，证明OCP=

26、90°即可（2）乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出（3）可以先根据勾股定理求出DH，再通过证明OGAOHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的长解答：（1）证明：连接OC，PC=PF，OA=OC，PCA=PFC，OCA=OAC，PFC=AFH，DEABAHF=90°PCO=PCA+ACO=AFH+FAH=90°PC是O的切线（2）解：点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD2=DEDF，理由：连接AE，点D在劣弧AC中点位置DAF=DEAADE=ADEDAFDEAAD：ED=FD：ADAD2=DEDF（3）解：连接OD交AC于GOH=1，A

27、H=2，OA=3DH=2，DA=2DOA=AOD点D在劣弧AC中点位置OGA=OHD=90°OA=ODOGAOHDAG=DHAC=4点评：本题考查了切线的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可同时考查了相似三角形的性质及全等三角形的性质9（2010鄂尔多斯）如图，AB为O的直径，劣=弧BDCE，连接AE并延长交BD于D求证：（1）BD是O的切线；（2）AB2=ACAD考点：切线的判定；垂径定理；相似三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：（1）证ABBD即可根据垂径定理的推论，ABCE因BDCE，结论得证；（2）连接BC，则BCAC证明A

28、CBABD，结论得证解答：证明：（1），1=2，AC=AEABCECEBD，ABBDBD是O的切线（2）连接CBAB是O的直径，ACB=90°ABD=90°，ACB=ABD1=2，ACBABD，AB2=ADAC点评：此题考查了切线的判定、垂径定理、相似三角形的判定和性质等知识点，难度中等10（2009陕西）如图，圆O是ABC的外接圆，AB=AC，过点A作APBC，交BO的延长线于点P（1）求证：AP是圆O的切线；（2）若圆O的半径R=5，BC=8，求线段AP的长考点：切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质。专题：几何综合题。分析：（1）由题意可知AEBC且BE=CE，

29、得出AE经过圆心O，只要证明APAE即可；（2）可通过APOEBO及勾股定理求出AP的长解答：（1）证明：过点A作AEBC，交BC于点E，AB=AC，AE平分BC，点O在AE上（2分）又APBC，AEAP，AP为圆O的切线（4分）（2）解：BE=BC=4，又AOP=BOE，OBEOPA，（6分）即（8分）点评：本题考查了切线的判定，先要证明AE经过圆心，再证明垂直即可求AP的长，注意与已知线段相关的三角形联系，找准相似三角形11（2009钦州）已知：如图，在RtABC中，ABC=90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D（1）求证：BC=CD；（2

30、）求证：ADE=ABD；（3）设AD=2，AE=1，求O直径的长考点：切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。专题：几何综合题。分析：（1）由切线长定理，只需证明CB为O的切线，再由已知的OB与AC切于点D，即可得出证明；（2）根据已知及等角的余角相等不难求得结论（3）易得：ADEABD，进而可得=；代入数据计算可得BE=3；即O直径的长为3解答：（1）证明：ABC=90°，OBBC（1分）OB是O的半径，CB为O的切线（2分）又CD切O于点D，BC=CD（3分）（2）证明：BE是O的直径，BDE=90°ADE+CDB=90°（4分）又ABC=90

31、6;，ABD+CBD=90°（5分）由（1）得BC=CD，CDB=CBDADE=ABD（6分）（3）解：由（2）得，ADE=ABD，A=A，ADEABD（7分）=（8分）=BE=3（9分）所求O的直径长为3（10分）点评：此题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的运用12（2009丽水）如图，已知在等腰ABC中，A=B=30°，过点C作CDAC交AB于点D（1）尺规作图：过A，D，C三点作O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；（2）求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线；（3）若过A，D，C三点的圆的半径为，则线段BC上是否存在一点P，使

32、得以P，D，B为顶点的三角形与BCO相似？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由考点：切线的判定；相似三角形的判定。专题：作图题；综合题。分析：（1）因为CDAC，所以以AD为直径作圆即为O；（2）BC过半径OC外端点C，要证BC是过A，D，C三点的圆的切线，只证OCBC即可（3）通过证明BDPBCO，再利用相似比即可求得DP的长解答：（1）解：作AD中点O（1分）以点O为圆心，OA长为半径作圆（1分）（2）证明：CDAC，ACD=90°，AD是O的直径（1分）连接OC，A=B=30°，ACB=120°又OA=OC，ACO=A=30°（1分）BCO=

33、ACBACO=120°30°=90°（1分）BCOCBC是O的切线（1分）（3）解：存在（1分）BCD=ACBACD=120°90°=30°，BCD=B即DB=DC又在RtACD中，DC=ADsin30°=，BD=（1分）解法一：过点D作DP1OC，则P1DBCOB，BO=BD+OD=，P1D=×OC=×=（1分）过点D作DP2AB，则BDP2BCO，BC=，P2D=×OC=1（1分）解法二：当BP1DBCO时，DP1B=OCB=90°，在RtBP1D中，DP1=BDsin30

34、6;=（1分）当BDP2BCO时，P2DB=OCB=90°，在RtBP2D中，DP2=BDtan30°=1（1分）点评：此题考查相似三角形的判定，外接圆作法及切线的判定的综合运用13（2009深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=2x8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作P（1）连接PA，若PA=PB，试判断P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形考点：切线的判定；一次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质

35、。专题：压轴题。分析：（1）通过一次函数可求出A、B两点的坐标及线段的长，再在RtAOP利用勾股定理可求得当PB=PA时k的值，再与圆的半径相比较，即可得出P与x轴的位置关系（2）根据正三角形的性质，分两种情况讨论，当圆心P在线段OB上时，当圆心P在线段OB的延长线上时，从而求得k的值解答：解：（1）P与x轴相切，（1分）直线y=2x8与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，8），OA=4，OB=8由题意，OP=k，PB=PA=8+k在RtAOP中，k2+42=（8+k）2k=3，（2分）OP等于P的半径P与x轴相切（1分）（2）设P与直线l交于C，D两点，连接PC，PD，当圆心P在线段OB

36、上时，作PECD于E，PCD为正三角形，DE=CD=，PD=3PE=AOB=PEB=90°，ABO=PBE，AOBPEB，即，（2分）PO=BOBP=8P（0，8）k=8（2分）当圆心P在线段OB延长线上时，同理可得P（0，8）k=8（2分）当k=8或k=8时，以P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形点评：本题考查了一次函数图象，圆的切线的判定，相似三角形的判定及性质，等边三角形等内容，范围较广，题目较复杂14（2009桂林）如图，ABC内接于半圆，AB为直径，过点A作直线MN，若MAC=ABC（1）求证：MN是半圆的切线（2）设D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过

37、D作DEAB于E，交AC于F，求证：FD=FG（3）在（2）的条件下，若DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求BCG的面积考点：切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。专题：几何综合题。分析：（1）要证MN是O的切线，只需证明MAAB即可，易得MAC+CAB=90°，即MAAB；故可得证（2）连接AD，则1=2，进而可得1+DGF=90°，故FDG=FGD，即FD=FG（3）求BCG的面积，只需证得FGHBGC，再根据相似三角形的性质，求得BCG的面积解答：（1）证明：AB是直径，ACB=90°CAB+ABC=90°（1分）MAC=AB

38、C，MAC+CAB=90°即MAABMN是半圆的切线（2分）（2）证明：证法1：D是弧AC的中点，DBC=2（3分）AB是直径，CBG+CGB=90°DEAB，FDG+2=90°（4分）DBC=2，FDG=CGB=FGDFD=FG（5分）证法2：连接AD，则1=2，（3分）AB是直径，ADB=90°1+DGF=90°又DEAB，2+FDG=90°（4分）FDG=FGDFD=FG（5分）（3）解：解法1：过点F作FHDG于H，（6分）又DF=FG，SFGH=SDFG=×4.5=（7分）AB是直径，FHDG，C=FHG=90&#

39、176;（8分）HGF=CGB，FGHBGC（9分）SBCG=16（10分）解法2：ADB=90°，DEAB，3=2（6分）1=2，1=3AF=DF=FG（7分）SADG=2，SDFG=9（8分）ADG=BCG，DGA=CGBADGBCG（9分）SBCG=（10分）解法3：连接AD，过点F作FHDG于H，SFDG=DG×FH=×3FH=4.5，FH=3H是DG的中点，FHAD，AD=2FH=6SADG=ADG=BCG，DGA=CGBADGBCGDG=3，GC=4，=（）2，=（）2，SBCG=16点评：本题考查了切线的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连

40、接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可15（2009广安）已知：如图，AB是O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交O于E，连接DE、BE，且C=BED（1）求证：AC是O的切线；（2）若OA=10，AD=16，求AC的长考点：切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质。专题：几何综合题。分析：（1）要证AC是O的切线，只要证明OAAC就可以；（2）根据OAFOCA，相似三角形的对应边的比相等，就可以求出AC的长解答：（1）证明：BED=BAD，C=BED，BAD=C（1分）OCAD于点F，BAD+AOC=90°（2分）C+AOC=90°OAC=90°OAACAC

41、是O的切线（4分）（2）解：OCAD于点F，AF=AD=8（5分）在RtOAF中，OF=6，（6分）AOF=AOC，OAF=C，OAFOCA（7分）即OC=（8分）在RtOAC中，AC=（10分）点评：本题主要考查了切线的证明方法，以及垂径定理，三角形相似的性质16（2009本溪）如图所示，AB是O直径，OD弦BC于点F，且交O于点E，若AEC=ODB（1）判断直线BD和O的位置关系，并给出证明；（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长考点：切线的判定；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。专题：几何综合题。分析：（1）因为同弧所对的圆周角相等，所以有AEC=ABC，又AEC=ODB

42、，所以ABC=ODB，OD弦BC，即ABC+BOD=90°，则有ODB+BOD=90°，即BD垂直于AB，所以BD为切线（2）连接AC，由于AB为直径，所以AC和BC垂直，又由（1）知ABC=ODB，所以有ACBOBD，而AC可由勾股定理求出，所以根据对应线段成比例求出BD解答：解：（1）直线BD和O相切（1分）证明：AEC=ODB，AEC=ABCABC=ODB（2分）ODBCDBC+ODB=90°（3分）DBC+ABC=90°DBO=90°（4分）直线BD和O相切（5分）（2）连接ACAB是直径ACB=90°（6分）在RtABC中，

43、AB=10，BC=8直径AB=10OB=5（7分）由（1），BD和O相切OBD=90°（8分）ACB=OBD=90°由（1）得ABC=ODB，ABCODB（9分），解得BD=（10分）点评：此题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定的综合运用17（2008岳阳）如图，O是ABC的外接图，BD为圆O的直径，AB=AC，AD交BC于E，ED=2AE（1）求证：AB2=ADAE；（2）求ADB的度数；（3）延长DB到F，使BF=BO，连接FA求证：直线FA为O的切线考点：切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。专题：综合题；数形结合。分析：（1）易得ABEADB，根据相

44、似三角形的性质可得AB2=ADAE；（2）求ADB的度数，根据三角函数的定义易得tanBDA=，故BDA=30°；（3）连接OA，证明OAAF即可解答：（1）证明一：AB=AC，ABC=ADB（1分）又BAD=BAD，ABEADB，（2分）=AB2=ADAE（3分）证明二：AB=AC，ABC=C，（1分）又C=D=，D=ABC，ABEADB（2分）=AB2=ADAE（3分）（2）解：BD为O的直径，BAD=90°，又DE=2AE，AE=AD，AB2=ADADAB=AD（4分），tanBDA=故BDA=30°（5分）（3）证明一：连接OA，OA=OD=OB，又D=3

45、0°，AOB=60°，（6分）又AOB为正三角形，OAB=60°，AB=OB，AOB=60°，（7分）FB=BO，AB=BF，FAB=30°，FAO=FAB+BAO=30°+60°=90°即FA是O的切线（8分）证明二：由前面证得AOB为等边三角形，AB=BD=AO，BF=BO，（6分）FAD=90°，（7分）AF是O的切线（8分）点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题18（2008襄阳）如图，直线AB经过O上的点

46、C，并且OA=OB，CA=CB，O交直线OB于E，D，连接EC，CD（1）求证：直线AB是O的切线；（2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若tanCED=，O的半径为3，求OA的长考点：切线的判定；切割线定理；相似三角形的判定与性质。专题：综合题。分析：（1）连接OC，根据等腰三角形的性质易得OCAB；即可得到证明；（2）易得BCD=E，又有CBD=EBC，可得BCDBEC；故可得BC2=BDBE；（3）易得BCDBEC，BD=x，由三角形的性质，易得BC2=BDBE，代入数据即可求出答案解答：（1）证明：如图，连接OC，（1分）OA=OB，CA=CB，OCAB，（

47、2分）AB是O的切线（3分）（2）解：BC2=BDBE（4分）证明：ED是直径，ECD=90°，E+EDC=90°又BCD+OCD=90°，OCD=ODC，BCD=E（5分）又CBD=EBC，BCDBEC（6分）BC2=BDBE（7分）（3）解：tanCED=，BCDBEC，（8分）设BD=x，则BC=2x，BC2=BDBE，（2x）2=x（x+6）（9分）x1=0，x2=2BD=x0，BD=2OA=OB=BD+OD=3+2=5（10分）点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简

48、单的方法解题19（2008芜湖）在RtABC中，BC=9，CA=12，ABC的平分线BD交AC与点D，DEDB交AB于点E（1）设O是BDE的外接圆，求证：AC是O的切线；（2）设O交BC于点F，连接EF，求的值考点：切线的判定；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质。专题：几何综合题。分析：（1）要证明AD为切线，就必须证明OD和AC垂直，即ODC=90°；（2）求的值，因为EF和AC平行，所以有BEFBAC，即只要求出即可解答：（1）证明：DEDB，O是RtBDE的外接圆BE是O的直径，点O是BE的中点，连接OD（1分）C=90°DBC+BDC=90°又BD为ABC的平分线ABD=DBCOB=ODABD=ODBODB+BDC=90°ODC=90°（4分）又OD是O的半径AC是O的切线（5分）（2）解：设O的半径为r，在RtABC中，AB2=BC2+CA2=92+122=225AB=15（7分）A=A，ADO=C=90°ADOACB（10分）又BE是O的直径BFE=90°BEFBAC（12分）点评：此题主要考查了三角形相似的判定，以及勾股定理的应用20（2008乌兰察布）如图所示，AB是O的直径，AD是弦，DBC=A，OCBD于点E（1）