九年级上册数学知识点归纳湘教版

1、2018年茶陵思源实验学校九年级数学第一章反比例函数知识点归纳和典型例题一、基础知识（一）反比例函数的概念ih（Ho）可以写成）二区“（七*。）的形式，注意自变量x的指数为T,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数H0这一限制条件；2 .y一；（0）也可以写成乂丫=卜的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式；_k3 .反比例函数'/的自变量工工,故函数图象与x轴、y轴无交点.（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数X的图象时，应注意自变量x的取值不能为0,且x应对称取点（关于原点对称）.（三）反比例函数及其图象的性质IFI丁1 .函数解析式：X

2、（上mQ）2 .自变量的取值范围：3 .图象：（1）图象的形状：双曲线.川越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直.M越小，图象的弯曲度越大.（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线.当今0时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当尢5时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大.（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a,b）在双曲线的一支上，则（-&,-b)在双曲线的另一支上.图象关于直线二士彳对称，即若(a,b)在双曲线的一支上，则(b,&)和(-b,|-S)在双曲线的另一支上.4 .k的几何意义如图

3、1,设点P(a,b)是双曲线x上任意一点，作PZx轴于A点，PB，y轴于B点，则矩形PBOA勺面积是同(三角形PAOffi三角形PBO勺面积都是2%.图1如图2,由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QCLPA的延长线于C,则有三角形PQC勺面积为刎.5 .说明：(1)双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论.(2)直线，=取与双曲线,一刀的关系：当。时，两图象没有交点；当尢也。时，两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称.(3)反比例函数与一次函数的联系.(四)实际问题与反比例函数1 .求函数解析式的方法：(1)待定

4、系数法；(2)根据实际意义列函数解析式.2 .注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上.(五)充分利用数形结合的思想解决问题.三、例题分析Qi.反比例函数的概念(1)下列函数中，y是x的反比例函数的是().A.y=3xB.4="C.3xy=1D.P=K(2)下列函数中，y是x的反比例函数的是().答案：(1)C;(2)A.02.图象和性质(1)已知函数了二(七+1)"+”是反比例函数，若它的图象在第二、四象限内，那么k=:若y随x的增大而减小，那么k=:(2)已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数，的图象位于第象限.k(3)若反比例函数X经过点

5、(T,2),则一次函数y二一女+2的图象一定不经过第象限.ay=-(4)已知a-b<0,点P(a,b)在反比例函数1的图象上，则直线了二纵+'不经过的象限是().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限k2y=-(5)若P(2,2)和Q(m,一加)是反比例函数工图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过().A.第一、二、三象BgB.第一、二、四象限C.第一、三、四象BMD.第二、三、四象限（6）已知函数J=Mx-D和'一工（kw0）,它们在同一坐标系内的图象大答案：（1）-21;（2）一、三；（3）四；（4）C;（5）C;（6）B.33,函数的增减性I上,I

6、（1）在反比例函数7化"的图象上有两点'侪M）,弛，M,且工%Q,则VN的值为（）.A.正数B.负数C,非正数D.非负数（2）在函数'一工（a为常数）的图象上有三个点（T，1）,I为，乙y）|号力,则函数值K、刀、内的大小关系是（）.a.DXbR/J1cM，Nd为M第二章一元二次方程知识点、本章知识结构框图实际问题数学问题二、具体内容(一)、一元二次方程的概念1 .理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1,未知数的最高次数为2,整式方程，可化为一般形式;2 .正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数(1)明确只有当二次项系数a#0时，整式方程ax2+bx+c=0才是

7、一元二次方程。(2)各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数).(3)熟练整理方程的过程3 .一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解4 .列出实际问题的一元二次方程(二)、一元二次方程的解法1 .明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2 .根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3 .体会不同解法的相互的联系；4,值得注意的几个问题：(1)开平方法：对于形如x2=门或(2*+22=n(a*0)的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方

8、，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.形如x2=门的方程的解法：当n>0时，x=±<n;当n=0时，x1=x2=0;当n<0时，方程无实数根。(2)配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为(x+m)2=n的方程，冉运用开平方法求解。配方法的一般步骤：移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1;配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为(x+m)2=n的形式；求解：若n20时，方程的解为x=-m±Jn,若n<0时，方程无实数解。(3)公式法：一元二次方

9、程ax2+bx+c=0(a*0)的根x=-2a当b2-4aca0时，方程有两个实数根，且这两个实数根不相等；当b2-4ac=0时，方程有两个实数根，且这两个实数根相等，写为xi=x2=-上；2a当b2-4ac<0时，方程无实数根.公式法的一般步骤：把一元二次方程化为一般式；确定a,b,c的值；代入b2-4ac中计算其值，判断方程是否有实数根；若b2-4ac之0代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。(因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。)(4)因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0,那么这两个因

10、式至少有一个为0,即：若ab=0,则a=0或b=0；因式分解法的一般步骤：若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。(5)选用适当方法解一元二次方程对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。(6)解含有字母系数的方程(1)含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；(2)对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能

11、用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。(三)、根的判别式1.了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。，一.2.(1)=bb-4ac(2)根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)_.a#0当,方程有头数根；1A之0时,a¥0、，.a,a#0、，.(当万程有两个不相等的实数根；当万程有两个A0时A=0时相等的实数根；)4/0当3口“仁方程无实数根；1A<0时从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。2.常见的问题类型(1)利用根的判别式定理，不

12、解方程，判别一元二次方程根的情况(2)已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围(3)应用判别式，证明一元二次方程根的情况先计算出判别式(关键步骤)；用配方法将判别式包等变形；判断判别式的符号；总结出结论.第三章相似三角形知识点总结1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形2.相似三角形的表示方法：用符号“s”表示，读作“相似于”3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比；4.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例.已知AD/BE/CF,可得BC EF AC DF AB DE AC DF DE EFABD

13、E-ABDE-BCEFiBCEFiABBC一二或=或=或=或相似三角形的预备定理：A由阻BC可得:普嚏嚼噎或第平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截成的三角形与原三角形相似。斜三角形直角三角形全等三角形的判止SASSSSAAS(ASAHL相似三角形的判定两边对应成比例火角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。5.相似三角形的判定定理：三角形相似的判定方法与全等

14、的判定方法的联系列表如下:7 .相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。8 .相似三角形的传递性如果AABCABC,ABiGszXabg,那么AB&ABGEDAECBAAE4E12BBBAB,AB射影定理型)AAEABEEDADCC(D)BBCA21EDC23AD若DE/BC（A型和X型）则AAD曰AABCDEC满足1、aC=adDB9.相似三角形的几种基本图形：）平行于三角形一边的直线和其

15、他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。这个定理确定了相似三角形的其中/1=/2,则4AD曰ZXABCW为ACAB都可判定ADaAACB型和“81D一CAE一，或ADAB=AC-AE时.2B称为C垂直型”垂在C角型、双垂直共角共边型D1如图：/1=/2,/B=/D,则AADaAABCD称为“旋转型”的相似三角形。/ACD=B,/ACBWADC者B可判定AD必ACBD、FEAA2DC对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形B-一''C(3)BC0（或基本图形）“抽”出来的办法处理10.证明题常用方法归纳：总体思路：“等积”变“比例”，“比例”找“相似”找中间比

16、：若找不到两个三角形相似的，则需要进行“替换”，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线（通常是添加平行线）注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。第四章锐角三角函数1锐角三角函数定义锐角/A的正弦（sin）,余弓玄（cos）和正切（tan）叫做角A的锐角三角函数正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b锐角三角函数值的定义方法是在直角

17、三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中2特殊角的三角函数值角度30°45060°正弦(sin)1/2V2/2V3/2余弦(cos)V3/2V2/21/2正切(tan)V3/31V3(注0是锐角：0<sin0<10<cos0<1tan0>0)3锐角三角函数值的符号及其变化规律1）锐角三角函数值都是正值。2）当角度在0°90°间变化时,、正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；、余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；、正切值随着角度的增大

18、（或减小）而增大（或减小）；4同角三角函数基本关系式sin2 a + cos3 a -1sina =cosa tana5互为余角的三角函数间的关系sin(90-a)=cosacos(90-a)=sina6解直角三角形的基础知识在RtAABC中，/C=90°,/A,ZB,/C所对的边分别为a,(1)三边之间的关系：a2+b2=c2(2)锐角之间的关系：/A+/B=/C=90。(3)边角之间的关系：sinA=a;cosA=-;tanA=;ccbabbcosB=；sinB=；tanB=一cca一一一11(4)面积公式：SA=ab=1ch(h为斜边上的局)227解直角三角形的基本类型及其解法如下表:已知条件解法两边两直角边a、bc=Ja2+b2,tanA=,/B=90°-/Ab一直角边a,