九年级数学复习专题动态几何问题

1、九年级数学复习专题动态几何问题中考数学专题动态几何问题第一部分真题精讲【例1】如图，在梯形ABCD中，AD/BC,AD3,DC5,BC10,梯形的高为4.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t(秒).(1)当MNIIAB时，求t的值；(2)试探究:t为何值时，4MNC为等腰三角形.【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学瞧到可能就会无从下手。但就是解决动点问题，首先就就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件与静态条件之间的关系求解。对于大多数

2、题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言,M,N就是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都就是变化的。但就是我们发现，与这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都就是给定的，而且动态条件之间也就是有关系的。所以当题中设定MN/AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。【解析】解：(1)由题意知，当M、N运动到t秒时，如图，过D作DE/AB交BC于E点，则四边形ABED就是平行四边形.ADBE MCsin CABIIDE,ABIIMN.DE/MN.(根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题)MCNC

3、.(这个比例关系就就是将静态与动态联系起来的关键)102tt50-.解得t一.103517【思路分析2】第二问失分也就是最严重的，很多同学瞧到等腰三角形，理所当然以为就是MN=NCIP可，于就是就漏掉了MN=MC,MC=CN两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于就是可以轻松求解【解析】(2)分三种情况讨论：当MNNC时，如图作NFBC交BC于F,则有MC2FC即.(利用等腰三角形底边高也就是底边中线的性质)CD 5DF4cosC,5.102t23t,5解得t.8当MNMC时,如图，过

4、M作MHCD于H.则CN2CH,3t2102t-.560,t.17当MCCN时,则102tt.tW3综上所述，当t竺、60或竺时，4MNC为等腰三角形.8173【例2】在ABC中,/ACB=45o点D(与点B、C不重合)为射线BC上一动点，连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.如果AB=AC如图，且点D在线段BC上运动.试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明您的结论.(2)如果ABWAC如图，且点D在线段BC上运动.(1)中结论就是否成立，为什么？若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设AC=4J2,BC3,CD=X，求线段CP的长.(用含X的式子表

5、示)【思路分析1】本题与上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件就是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系就是不动的，于就是利用角度的互余关系进行传递,就可以得解。【解析】：(1)结论:CF与BD位置关系就是垂直；证明如下：AB=AC/ACB=45oJ/ABC=45o.由正方形ADEF得AD=AF,./DAF=ZBAC=90o,/DAB=ZFAC/.DABFAC,./ACF=ZABD./BCF=/ACB+-ZACF=90o即CF±BD.【思路分析2这一问就是典型的从特殊到一般的问法，那

6、么思路很简单，就就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于就是我们与上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。(2)CF±BD.(1)中结论成立.理由就是：过点A作AG,AC交BC于点G,，AC=AG可证：AGAD。CAF.ACF=ZAGD=45o/BCF=ZACB+/ACF=90o.即CF±BD【思路分析3这一问有点棘手,D在BC之间运动与它在BC延长线上运动时的位置就是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底就是用相似三角形的比例关系即可求出CR过点A作AQLBC交CB的延长线于点Q,点D在线段BC上运动时，BCA=45o可求出AQ=CQ=4.，

7、DQ=4-x,易证AQDADCF?/.空CD,CP3,DQAQ'4x4,2-xCPx.4点D在线段BC延长线上运动时，/BCA=45o可求出AQ=CQ=4/.DQ=4+x.过A作AGAC交CB延长线于点G,则AGDAQDDCF?.-.PCDDQAQCP x4x42xCPx.4【例3】已知如图，在梯形ABCD中，AD/BC,AD就是AD的中点,MBC就是等边三角形.4+X还就是4-X。分类讨论之后利ACF .CF± BD,(1)求证:梯形ABCD就是等腰梯形；(2)动点P、Q分别在线段BC与MC上运动，且/MPQ60保持不变.设PCx,MQy,求y与x的函数关系式；在(2)中，

8、当y取最小值时，判断PQC的形状，并说明理由.M【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但就是对二次函数要求不算A高还辞在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等力小丑、例1一样就是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西被点成。艇牛定/MPQ=60。，这个度数的意义在哪里？其实就就是将静态的那个等边三角必动账件联孑:了起来、因为最终求两条线段的关系，所以我们很自然想到要通电木必三角血60例芙萦0、怎么证相似三角形呢？当然就是利用角度咯、于就是就有了思路、PC(1)证明：MBC就是等边三角形 .MBMC,/MBC/MCB60 M就是AD中点 AMMD.AD/B

9、C/AMB/MBC60,/DMC/MCB60AAMBADMCABDC，梯形ABCD就是等腰梯形.(2)解:在等边AMBC中，MBMCBC4,/MBC/MCB60,/MPQ60（这个角度传递非常重要，大家要仔细揣./BMPZBPMZBPM/QPC120摩）/BMP/QPCBMPszCQPPCCQBMBPPCx,MQyBP4x,QC4yx4y12yxx444x4（设元以后得出比例关系，轻松化成二次函数的样子）【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2求APQC形状”的问题了。由已知的BC=

10、4,自然月出P就是中点，于就是问题轻松求解。（3）解：APQC为直角三角形1 2yx234 当y取最小值时，xPC2 .P就是BC的中点，MPBC,而/MPQ60, /CPQ30, /PQC90以上三类题目都就是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件就是保持不变的。当动的不就是点，而就是一些具体的图形时，思路就是不就是一样呢？接下来我们瞧另外两道题、【例4】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F,连接DF,G为DF中点连接EG,CG.直

11、接写出线段EG与CG的数量关系；(2)将图1中BEF绕B点逆时针旋转45，如图2所示，取DF中点G，连接EG,CG,.您在(1)中得到的结论就是否发生变化？写出您的猜想并加以证明(3)将图1中BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问中的结论就是否仍然成立？(不要求证明)【思路分析1】这一题就是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45。到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将BEF旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就就是G就是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如

12、何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后,抛开其她条件，单瞧G点所在的四边形ADFE,我们会发现这就是一个梯形，于就是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于就是两个全等的三角形出现了。(1)CGEG(2)(1)中结论没有发生变化，即CGEG.证明：连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点.在DAG与DCG中， ADCD,ADGCDG,DGDG,DAG©DCG.AGCG.在DMG与FNG中， DGMFGN,FGDG,MDGNFG, DMG©FNG. MGNG在矩形AENM中，AMEN在RtAMG与RtE

13、NG中，'AMEN,MGNG,AMG©ENG.AGEG.EGCG【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但就是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也就是出于此原因，如果BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在4BEF的旋转过程中，始终不变的依然就是G点就是FD的中点。可以延长一倍EG!UH,从而构造一个与EFGi:等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC与三角形CG

14、Hir等，利用角度变换关系就可以得证了。(3)(1)中的结论仍然成立.【例5】已知正方形ABCD的边长为6cm,点E就是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F将ABE沿直线AE翻折，点B落在点B'处.当=1时,CF=cm,CE(2)当BE=2时，求sin/DAB'的值;CE(3)当BE=x时(点C与点E不重合，请写出4ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面CE积y与x的关系式，(只要写出结论，不要解题过程).【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折(就就是轴对称)也就是一大热点。这一题就是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1,第二问比例为2,第三问比例任意

15、，所以也就是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都就是不变小，所以轴对称图|形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关嗦。尤其注意的就C是,本题中给定的比例都就是有两重情况的,E在BC上与E在延长线上都就是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。【解析】CF=6cm;（延长之后一眼瞧出，EAZY）（2）如图1,当点E在BC上时，延长AB'交DC于点M,AB/ CFJ AABEi FCEJ.BECEABFCBECE=2,CF=3. AB/ CFJ/BAE=/ F.又/

16、 BAE=/ B' AE,/ B'AE=/ F.，MA=MF.设 MA=MF=k,贝U MC=k -3,DM=9-k.在RtAADM中,由勾股定理得：sin/DAB，=DMAM5一；13k2=（9-k）2+62,解得k=MA=-2.DM=，.（设元求解就是这类题型中比较重要的方法）如图2,当点E在BC延长线上时，延长AD交B'E点N,同可得NA=NE.设NA=NE=mUB'N=12-m.在RtAB'N中，由勾股定理相m2=(12-m)2+62,解得m=AN=.1.B'N=.22RNsin/DAB'=BNAN18x(3)当点E在BC上时,y

17、=x1（所求AAB'E的面积即为ABE的面积，再由相似表示出边长）当点E在BC延长线上时,y=18x竺.x【总结】通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出，所以难度不言而喻，但就是希望考生拿到题以后不要慌张，因为无论就是题目以哪种形态出现，始终把握的都就是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析，一个个将条件抽出来，将大问题化成若干个小问题去解决，就很轻松了、为更好的帮助考生，笔者总结这种问题的一般思路如下：第一、仔细读题，分析给定条件中那些量就是运动的，哪些量就是不动的。针对运动的量，要分析它就是如何运动的

18、，运动过程就是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们与动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目就是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只就是想当然瞧出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，就是否能想到就成了关键。第二部分发散思考【思考1】已知：如图（1）,射线AM/射线BN,AB就是它们的公垂线，点D、C分别在AM、B

19、N上运动（点D与点A不重合、点C与点B不重合），E就是AB边上的动点（点E与A、B不重合）,在运动过程中始终保持DEEC,且ADDEABa.（1）求证：ADEsbec；（2）如图（2），当点E为AB边的中点时，求证：ADBCCD;（3）设AEm,请探究：BEC的周长就是否与m值有关？若有关，请用含有m的代数式表示BEC的周长；若无关，请说明理由.B C N B第25题（1）第25题（2）【思路分析】本题动点较多，并且就是以与的形式给出长度。思考较为不易，但就是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，瞧就是

20、否为定值，如果就是关于M的函数，那么就就是有关，如果就是一个定值，那么就无关，于就是就可以得出结论了。【思考2】4ABC就是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA若0V/PBC<180°,且/PBC平分线上的一点D满足DB=DA当BP与BA重合时（如图1）,/BPD=°（2）当BP在/ABC的内部时（如图2）,求/BPD的度数;【思路分 点P相关的 及D点的位 的量就就是 并且DB=DA,可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上，P点的轨迹就就是以当BP在/ABC的外部时，请您直接写出/BPD的度数，并画出相应的图形析】本题中，与动动量有/PBC,以置，但

21、就是不动BD就是平分线从这几条出发,B为圆心，BA为半径的一个圆，那D点就是什么呢？留给大家思考一下3【思考3如图：已知，四边形ABCD中,AD/BC,DC,BC,已知AB=5,BC=6,cosB支5点。为BC边上的一个动点，连结OD,以。为圆心，BO为半径的。分别交边AB于点P交线段OD于点M,交射线BC于点N,连ZMN.当BO=AD时，求BP的长；（2）点O运动的过程中，就是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN;若不存在，请说明理由；在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作。C,请直接写出当OC存在时，。与。C的问题当中，时刻不要忘记的就就是圆的半径始终相等

22、这一个隐藏的静态条件。本题第一问比较简单，等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出MN与BP从而讨论她们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。【思考4】在YABCD中，过点C作C已CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90o得到线段EF如图1)(1)在图1中画图探究：当P为射线CD上任意一点(Pi不与C重合)时，连结EP绕点E逆时针旋转90o得到线段EC、判断直线FG与直线CD的位置关系，并加以证明；当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EB,将线段EP2绕点E逆时针旋转90o得到线段EG、判断直线CiC2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出您的结论、(2

23、)若AD=6,tanB=4,AE=1,在的条件下，设CR=x,SVRFCi=y,求y与x之间的函数关系式3并写出自变量x的取值范围、【思路分析】本题就是去，步考原题/,虽不就是压轴，但那动线一起考出来，难倒了不少同学。事实上就在于如何把篇这个旋转/90。的条件。旋歹90。自然秒底是垂直关系，于就是又出现了一堆直角三角形，于就是证角，证线就手到擒来了。第二问一样就是利用平行关系建立函数式，但就是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常可惜。建议大痂细研究这城包原题，按照厮总结的一般呼去拆分条件，步步为营的去解答。第三部分思考题解析【思考1解析】BEC 90证明：:DE

24、EC,.DEC90.，AED又AB90,AEDEDA90.BECEDA.ADEsBEC.A D MBC N第25题(2)证明:如图，过点E作EF/BC,交CD于点F,1E就是AB的中点，容易证明EF-(ADBC)._八-1在RtDEC中，.DFCF,.EFCD2'1 ,_、1一(ADBC)CD.2 2ADBCCD.(3)解：AED的周长AEADDEam,BEam.设ADx,则DEax.A90,，DE2AE22.2_2AD.即a2axx2a由(1)知ADEsbec,ADE的周长BEC的周长ADBE2a2aBEC的周长2aa mADE的周长 2a.BEC的周长与m值无关.【思考2答案】解:(1)/BPD=30°(2)如图8,连结CD.解一：点D在/PBC的平分线上，Z1=Z2. 4ABC就是等边三角形，BA=BC=AC/ACB=60°. BP=BABP=BC BD=BD,APBDCBD./BPD=/3.3分 DB=DA,BC=ACCD=CDBC*ACD.1-34ACB30.2/BPD=30：解二：:ABC就是等边三角形，BA=BC=ACDB=DA,CD垂直平分AB.1-34ACB30.2 BP=BABP=BC 点D在/PBC的平分线上， 4PBD与CBD关于BD所在直线对称/BPD=/3./BPD=30