九年级圆的基础知识点、例题与课后习题

1、【知识梳理】1.圆的有关概念和性质(1)圆的有关概念圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径.弧：上上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.(2)圆的有关性质圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：过圆心；垂直于弦；平分弦;平分弦所对的优弧

2、；平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号表示，以CD为端点的弧记为“m,读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径.等圆：能够完全重合的两

3、个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.(3)对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面；圆由两个条件唯一确定：一是圆心(即定点)，二是半径(即定长)2.与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.(3)圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一(4)圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形.圆

4、内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角.3.点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则点在圆上<=>d=r;点在圆内<=>d<r;点在圆外<=>d>r.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。4 .确定圆的条件：1 .理解确定一个圆必须的具备两个条件：圆心和半径，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.经过一点可以作无数个圆，经过两点也可以作无数个圆，其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.2 .经过三点作圆要分两种情况：(1)经过同一直线上的三点不能作

5、圆.(2)经过不在同一直线上的三点，能且仅能作一个圆.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.3 .三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念：(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形：经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质：三角形外心到三顶点的距离相等.5 .直线与圆的位置关系1 .直线和圆相交、相切相离的定义：(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线.(2)相切：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线,惟

6、一的公共点做切点.(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.2 .直线与圆的位置关系的数量特征：设。的半径为r,圆心。到直线的距离为d；d<r<=>直线L和。相交.d=r<=>直线L和。相切.d>r<=>直线L和。相离.3 .切线的总判定定理：经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.4 .切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，可得如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出

7、第三个.垂直于切线；过切点；过圆心.5 .三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.6 .三角形内心的性质：(1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线：连接内心和三角形的顶点，该线平分三角形的这个内角.7 .圆和圆的位置关系.1 .外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.(2)外切：两个圆有惟一的公共点，并且除了这

8、个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这个两个圆相交.(4)内切：两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例.2 .两圆位置关系的性质与判定：(1)两圆外离<=>d>R+r(2)两圆外切<=>d=R+r(3)两圆相交<=>R-r<d<R+r(R>r)(4

9、)两圆内切<=>d=R-r(R>r)(5)两圆内含<=>d<R-r(R>r)3 .相切两圆的性质：如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上.4 .相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦.7 .圆内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特征：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.8 .弧长及扇形的面积1 .圆周长公式：圆周长C=2冗R(R表示圆的半径)2 .弧长公式：弧长l=n8R（R表示圆的半径，n表示弧所对的圆心角的度数）3 .扇形定义：一条弧

10、和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形4 .弓形定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.5 .圆的面积公式.圆的面积S=nR2（R表示圆的半径）6 .扇形的面积公式：（R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数）360扇形的面积S扇形（1）当弓形所含的弧是劣弧时， S可招5= S扇形一 S三角形当弓形所含的弧是优弧时，S弓形=S扇形,S三角形1C（3）当弓形所含的弧是半圆时,S弓形=1irR2=S扇形4例题解析6（图8）【例题1】如图1,O。是AABC的外接圆,AB是直径，若/BOC=80©,则/A图1B.50oC.40o0BC图3与小圆

11、相切于点【例题2】如图2,以。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ABC,若大圆半径为10cm,小圆半径为6cm,则弦AB的长为cm.【例题3】如图3,ABCft接于。O,AB=BC/ABC=120,AD为。的直径,A决6,那么BA.【例题4】如图4已知。的两条弦AGBD相交于点E,/A=7j/c=50°,那么sin/AEB的值为()A.1B.-2C.-2D.-3图4【例题5】如图5,半圆白直径AB=10,点C在半圆上，BC=6.(1)求弦AC的长；(2)若P为AB的中点，PE±AB交AC于点E,求PE的长.三、课堂练习1、如图6,在。O匚B0图6卡，/ABC=40°,

12、贝U/AOC=度.CA-T-BA图7图82、如图7,AB是。O的直径，AC是弦，若/ACO=32°,则/COB的度数等3、已知。的直径AB=8cmiC为。上的一点，/BAC=30o,则BC=cm.4、如图8,已知在RtABC中，/ACB=Rt/，AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆，面积分别记为S,则S1+S2的值等于5、如图9,。的半径OA=10cm,P为AB上一动点，则点P到圆心。的最短距离为cmi鲤建图）6、如图10,在。中，/ACB=/BDC=60,AC=2<3cm,（1）求/BAC的度数；（2）求。的周长D8BC图10127、已知：如图11,。的直径AB与弦CD相交

13、于E,弧BC=MBD,。的切线BF与弦AD的延长线相交于点F.求证:CD/BF.3连结BC,若。O的半径为4,cos/BCD=3,求线段ADCD的长.8、如图12,在4ABC中，AB=BC ,以AB为直径的。与AC交于点D,过D 作 DFXBC,交AB的延长线于E,垂足为F.(1)求证：直线DE是。的切线；(2)当 AB=5, AC=8 时，求 cosE 的值.图12四、经典考题解析1.如图13,在。中，已知/ A C及/CD由60° , AO 3,则 ABC的周长是A1)图13图14图152 .“圆材埋壁”是我国古代九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸

14、，锯道长一尺，间径几何”.用数学语言可表述为如图14,CD为。的直径，弦AB，CDT点E,C已1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（）P,那么CD等于（ABA.12.5寸B.13寸C.25寸D.26寸3 .如图15,已知AB是半圆。的直径，弦AD和BC相交于点A.sin/BPDB.cos/BPDC.tan/BPDD.cot/BPD4 .OO的半径是5,ARCD为。的两条弦，且AB/CDAB=6CD=8求AB与CD之间的距离.5 .如图16,在。M中，弧AB所对的圆心角为1200,已知圆的半径为2cm,并建立如图所示的直角坐标系，点C是y轴与弧AB的交点。（1）求圆心M的坐标；(2)若点D是弦A

15、B所对优弧上一动点，求四边形ACBD勺最大面积五、课后训练1 .如图17,在。0中，弦AB=1.8cmi圆周角/ACB=30,则。的直径等于cm图17图18图192 .如图18,C是。上一点，。是圆心.若/C=35,则/AOB勺度数为()A.35°B.70°C.105°D.150°3 .如图19,。内接四边形ABCLfr,AB=CD则图中和/1相等的角有4 .在半彳全为1的圆中，弦ARAC分别是点和夜，则/BAC的度数为多少？5 .如图20,弦AB的长等于。O的半径，点C在。上，则/C的度数是图21图22图206 .如图21,四边形ABCD内接于。O,若

16、/BOD=100,则/DAB勺度数为（）A.50°B.80°C.100°D.130°7 .如图22,四边形ABC师。的内接四边形，点E在CD的延长线上，如果/BOD=120,那么/BC堂于（）A.30°B.60°C.90°D.120°8 .如图，。的直径AB=1QDELAB于点H,AH=2（1）求DE的长；（2）延长ED到P,过P作。的切线，切点为C,若PC=225,求PD的长.九年级数学圆练习题一、填空题：（21分）1、如图，在。O中，弦AB/OCNAOC=115"则/BOC=2、如图，在。O中，AB是

17、直径，NC=151则/BAD=3、如图，点O是&ABC的外心，已知NOAB=401则/ACB=（1题图）（2题图）（3题图）/A=25-WUBOD=如图，AB是。的直径，弧BC哪BR（5题图）（6题图）（7题图）5、如图，O。的直径为8,弦CD星直平分半径OA则弦C5.6、已知。的半径为2cm,弓AAB=2cm,P点为弦AB上一动点，则线段OP的范围是.7、如图，在。中，/B=5G0,/C=2G0,则/BOC=二、解答题（70分）1、如图，AB是。的直径.若OD/AQCDBd的大小有什么关系？为什ODBC152、已知：如图，在。中，弦AB=CD求证：弧AC哪BQ（2）/AOC=BODA

18、3、如图，已知：。O中，ABCB为弦，OC交AB于D,求证：(1)/ODB>OBD(2)/ODB>OBCC17B4、已知如图，ABAC为弦，OMLAB于M。也AC于N,MN>ABC的中位线IA5、已知如图，ABCD是。的直径，DRBE是弦，且DF=BE求证：/D=/BC6、已知如图，AB是。的直径，C是。上的一点，CD!AB于D,CE平分/DCO交。于E,求证：弧AE<EBBE127、如图，已知ABCAC=3,BC=4,/C=90°,以点C为圆心作。C,半彳全为r.当r取什么值时，点AB在。C外.(2)当r在什么范围时，点A在。C内，点B在。C外.(2)当r在什么范围时，OC与线段AB相切。B三、计算下列各题：(40分)1、如图，已知AB为。的直径，AC为弦，ODIBC交AC于D,OD=2cm,求BC的长；2、如图，在RtAABC中，/C=900,AO3,BO4,以点C为圆心,径的圆与ABBC分别交于点DE,求ABAD的长.O3、如图，。的直径AB和弦CD相交于点E,且AE=1cmEB=5cm/DEB=60,求CD的长。4、如图，在直径为100mm勺半圆铁片上切去一块高为20mm勺弓形铁片，求弓形的弦AB的长.195、如图所示，已知矩形ABCD勺边AB=3cm，AD=4cm(1)以点A为圆心，4cm为半径作。A,则点BGD与。A的位置