全国高中数学联赛福建预赛试题

1、x 2y 3z的最小值为12。年福建省高中数学竞赛暨 2015 年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷参考答案(考试时间：2015年5月24日上午9:0011:30,满分160分)1010 小题，每小题 6 6 分，满分 6060 分。请直接将答案写在题中的横线上)E5 54,3,2,1,0, 1,2，随机变量的取值为 0 0, 1 1, 4 4, 9 9,的概率分布列为12 2 1 1 0 149 16 -77777x g(x)，其中g(x)是定义在R上，最小正周期为 2 2 的函数。若f(x)在区间2,41 1,贝Uf (x)在区间10,12上的最大值为9 9【解答】依题意，有f(x 2

2、) (x 2) g(x f (x)在区间2,4f (x)在区间4,6上的最大值为上的最大值为1 1,3 3,最大值为PF17 7,在区间10,122xF2为椭圆C:TaPF2，则椭圆离心率【答案】,12上的最大值为2771(abe的取值范围为9 9。2) x在区间g(x) 2 f(x)6,8上的最大值为0)的左、右焦点，若椭圆5 5,在区间8,10上的C上存在一点P，使得【解答】设A为椭圆C的上顶点，依题意有1。c2a2F2AO 45 ,-b2 24 4.已知实数x,y,z满足x 2y【答案】12【解答】由柯西不等式，知(x 2y 3z)2(1 x .2、2y 3 3z)23z2F1AF222

3、cc,2a24，则90。丄22x 2ye23z的最小值为xx 2y 3z 12，当且仅当一1(血)2号途，即x y z 2时等号成立。12(、3)2(x22y23z2)144。、填空题(共1 1.设集合A0 ,x Z，从集合A中随机抽取一个元素x，记2x，则随机变量的数学期望【答案】【解答】A易得，I1616。0 01 14 49 91616P12211777772 2.已知f(x)上的最大值为【答案】5。x 2y 3z的最小值为12。x5.已知函数f(x)xco右，数列an中，anf(n) f(n 1)(nN),则数列an的前 100100 项之和S00_【答案】102001002f(n)

4、2n 1【解答】依题意，有Ti003 994252SI002T1005100。822 2L 981004(3 7 L 99)f (1) f (101) 26 6.如图，在四面体ABCD中，DA DB10200。5100 0DC 2,DA且DA与平面ABC所成角的余弦值为一6。则该四面体外接球半径3R _【答案】.3【解答】如图，作DO面ABC于O，连结AO，并延长交BC于点DAE是DA与平面ABC所成的角，cos DAE (舍去)。1515 分合，舍去。此时,综上可得，36，解得k 2或k或k22k3 k2k不存在。13，均不符满足条件的k的值为 1 1 或1。2020 分1313 如图，I、

5、D分别为 为AD与BC的交点。AI(1 1)求证：AADABC的内心、旁心,BC与圆I、圆D相切，切点分别为E、F,GGE GF；(2 2)若M为EF中点，求证:(旁心： 三角形旁切圆的圆心，它两个内角的外角平分线的交点。【解答】AE/ DM它是三角形一个内角的平分线和其 )(1(1)设圆I、圆D的半径分别为 r r、R,则 -AD(作IP。RAB于P,. 5 5 分丄。)RDQAB于Q,则AlADIPDQ由条件知，A、1 1、D三点共线，IEBC,DFBC。IE/DF,GEIEr。GFDFRAIGE。1010 分ADAGFAI(2 2 )由AD即也AD GDAGGEGFGEGF得Al Gl

6、GD，得AD GDGEGF，AD GD AG/ M为EF中点，GF GE MF MGGEGF GE 1515 分(ME MG) 2MG,Dx1x220分AGGE刚AGGE即。2DG2MGDGGM结合EGAMGD，可得 EGAMGD。因此，GEAGMD。AE/ DM。MN/IE/DF,且MN1(DF2IE)。,AIIE口AIIEAIIE口AIIE由-，可得，即ADDFADAIDF IE 2DN2MNDNNM分又AIEDNM。AIEDNM,EAIMDN。另解：设ID的中点为N,则由IE/DF,M为EF中点知，AE/DM。1414 在坐标平面内，横纵坐标都是整数的点称为整点，三个顶点都是整点的三角形

7、称为整点三角形。求以点1（2015,72015）为内心且直角顶点在坐标原点O的整点直角三角形A在第一象限。1515【答案】不妨设点xOI，则tan 7，直线OA的斜率kOAtan()tan 1)-41 tan4。3A、B为整点，设A（4t1,3切，B（OAkOB3t2,4t2），其中ti,t2为正整数。20分OAB的个数。5t2。OAB内切圆的半径r -2OI25ti，OB20155 2015。OAOBAB |ABAB2(|OAOAOB2r，(5t1(t1设t1xOB | 2r )25t22 52015 )221t222015 )2OA2 225t125t2。t2tf。OB1010 分xy20

8、15，2015xt2y2015y22015，则(x y )20152，(x(x 2015)( y2(y 2015)。2 5由OA数有2 3 32r知，x22015)2015)2 201522r，OB3 54个。符合条件的（x，y）有 5454 组。符合条件的三角形有 5454 个。2015,132312。 1515 分y 2015为正整数，又2 52132312的正因2020 分1515 .若对任意的正整数m，集合m ,m 1,m 2丄,m 99的任意n(n 3)元子集中,总有 3 3 个元素两两互素，求n的最小值。【答案】考察集合1,2,3 L ,100（m 1时）的 6767 元子集:20

9、分P2，4，6，L，100，3，9，15，L，99（偶数与被 3 3 整除的奇数）显然P中不存在 3 3 个两两互素的元素。n 67不符合要求。.5 5分引理：对任意的正整数m,集合m , m 1, m2，m 3，m 4，m 5的任意 5 5 元子集中，总有 3 3 个元素两两互素。引理的证明：设集合A是集合m , m 1, m2，m 3，m 4，m 5的一个 5 5 元子集。m,m 1,m2，m 3，m 4，m5这 6 6 个数中， 3 3 奇 3 3 偶，恰有 1 1 个 5 5 的倍数。若A中含有 3 3 个奇数，则这 3 3 个奇数必两两两互素，结论成立。 若A中元素为 2 2 奇 3

10、 3 偶。由于 3 3个偶数中至多有 1 1 个为 3 3 的倍数，至多有 1 1 个为 5 5 的倍数。 因此， 3 3 个偶数中必有 1 1 个数既不是 3 3 的倍数，也不是 5 5 的倍数，它与 2 2 个奇数两两互素。结论成 立。引理成立。.1010 分对任意的正整数m，将集合m，m 1，m 2，L，m 99划分成如下 1717 个集合：A1m，m 1，m 2，m 3，m 4，m 5，A2m 6，m 7，m 8，m 9，m 10，m 11，A16m90，m 91，m 92，m 93，m 94，m 95，A17m96, m97, m98 ,m99。. 1515 分显然上述 1717 个集合的两两交集为空集，并集为集合m，m 1，m 2，L，m 99。设集合M是集合m ,m 1 ,m 2丄，m 99的 6868 元子集。若集合M有 4 4 个元素来自集合A仃。由于m为奇数时，m 96、m 97、m 98两两互素；m为偶数时，m 97、m 98、m 99两两互素。因此，M中至少有 3 3 个元素两两互素。若集合M至多 3 3 个兀素来自集合A仃。则M至少有 6565 个兀素来自集合A1、A2、A16。根据抽屉