直角三角形题常见的四种类型

1、解直角三角形常见的四种类型有关解直角三角形题历来都是重点内容，现就两直角三角形组合形式的常见应用题作一归类：1、“背靠背”型 这种类型的特点是：两直角三角形是并列关系，有公共直角顶点和一条公共直角边，其中，这条公共直角边是沟通两直角三角形关系的媒介，如图1例1光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50 m/min的速度向正东方向行走，在A处测得建筑物C在北偏东60°方向上，20min后他走到B处，测得建筑物C在北偏西45°方向上，求建筑物C到公路AB的距离（已知）分析：欲求建筑物C到公路AB的距离，需过点C作CDAB，垂足为D，则图2转化为形如图1

2、的图形解：过点C作CDAB，垂足为D设CD=x（m），在RtBCD中，BCD=45°，BD=CD=x，AD=AB-BD=1000-x在RtACD中， ACD=60°，tanACD=，tan60°=，即 =，解得x366，即建筑物C到公路AB的距离约为366m例2热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为66 m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1 m，参考数据：）解：如图3，过点作，垂足为（转化为图1），根据题意，可得，在Rt中，由，得BD=AD·tanBAD=66tan30°=66=2

3、2在Rt中，由tanCAD=，得CD=AD·tanCAD=66 tan60°=66=66，BC=BD+CD=22+66=88152.2，即这栋高楼约高152.2m2、“母抱子”型 这种类型的特点是，一个直角三角形包含在另一个直角三角形中，两直角三角形有公共直角和一条公共直角边，其中，这条公共直角边是沟通两直角三角形关系的媒介，如图4例3永乐桥摩天轮是天津市的标志性景观之一某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度如图5，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45°，再往摩天轮的方向前进50m至D处，测得最高点A的仰角为60°求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB（，

4、结果保留整数）解：根据题意，可知ACB=45°，ADB=60°，DC=50在RtABC中，由BAC=BCA=45°，得BC=AB在RtABD中，由tanADB=，得BD=ABBC-BD=DC，AB-AB=50，即（3-）AB=150AB=即摩天轮的高度AB约为118m例4在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧两个凉亭之间的距离现测得m，m，请计算两个凉亭之间的距离分析：根据现有知识，不能直接求出AB的长过C点作CDAB，交BA的延长线于点D，则图形6就转化为形如图4的图形解：过C点作CDAB，交BA的延长线于点D在RtCDA中，AC=30，CAD=18

5、0°-CAB=180°-120°=60°，则AD=ACcosCAD =30×=15，CD= ACsinCAD =30×=15在RtCDB中，由勾股定理，得BD=65，因此， AB=65-15=50(m)评析：从例1、例2和例 4看出，解斜三角形问题时，常需作一边的高线，转化为“背靠背”或“母抱子”型的图形3、“拥抱”型 这种类型的特点是：两直角三角形以交叉方式出现，如图7例5如图8所示，小杨在广场上的A处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端D处的仰角为30º，然后他正对大楼方向前进5m到达B处，又测得该屏幕上端C处的

6、仰角为45º若该楼高为26.65m，小杨的眼睛离地面1.65m，广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐求广告屏幕上端与下端之间的距离（1.732，结果精确到0.1m）解：设AB、CD的延长线相交于点E，如图8CBE=45º，CEAE， CE=BECE=26.65-1.65=25 ，BE=25 ，AE=AB+BE=30 在RtADE中，tanDAE=，DAE=30º ，DE=AE×tan30 º=30×=10CD=CE-DE=25-1025-10×1.732=7.687.7(m) ，即广告屏幕上端与下端之间的距离约为7.7m 4、“斜

7、截”型 这种类型的特点是，在一个直角三角形内，用垂直于斜边的一条直线去截这个直角三角形，如图9新直角三角形与原直角三角形有一个公共锐角，所剩四边形的对角互补例6 某片绿地的形状如图10，其中A=60°，ABBC，ADCD，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的长（精确到1m，）分析：基于已知ABBC，ADCD的考虑，可以将边AD、BC延长交于点E，这样，图形就转化为形如图9的图形解：在RtCDE中，CD=100，E=90°-A=30°，CE=2CD=200，DE=100在RtABE中，E= 30°，AB=200，AE=2AB=400，BE=，因此，AD=AE-DE=400-100227(m)，BC=BE-