平面和直线方程PPT课件

1、2021/3/91一、平面的方程平面的方程二、点到平面的距离二、点到平面的距离三、直线的方程三、直线的方程7.5 7.5 平面和直线的方程平面和直线的方程 四、线面间的夹角四、线面间的夹角* *五、点到直线与直线到直线的距离五、点到直线与直线到直线的距离* *六、平面束六、平面束2021/3/92 如果一非零向量垂直于一平面，这如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的向量就叫做该平面的法法(线线)向量向量.(垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量)已知平面已知平面 的法向量的法向量),(CBAn 一、平面的方程一、平面的方程xyzo0MMnnMM 000 nMM则平面上的任一点则

2、平面上的任一点),(zyxM满足几何条件满足几何条件代入向量的坐标代入向量的坐标1. 平面的点法式和一般式平面的点法式和一般式),(0000zyxM是平面是平面 上的一定点，上的一定点，2021/3/930)()()(000 zzCyyBxxA平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足上述方程，不在平面平面上的点都满足上述方程，不在平面上的点都不满足上述方程，上述方程称为平上的点都不满足上述方程，上述方程称为平面的方程，平面称为方程的图形面的方程，平面称为方程的图形其中法向量其中法向量),(CBAn 已知点已知点).,(000zyx),(),(0000CBAzzyyxxnMM 2021

3、/3/94解解1例例.)3 , 2, 1()0 , 3, 2(为为法法向向量量的的平平面面方方程程且且以以求求过过点点 nA2021/3/95例例2.2.求过三点求过三点1M2M3M解解: :),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面的平面 的方程的方程. . n2021/3/96解解2021/3/97由平面的点法式方程由平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般平面的一般(式式)方程方程法向量法向量).,(CBAn 结论：平面方程是三元一次方程，任意三元一次结论：平面方程是三元一次方

4、程，任意三元一次方程的图形是一平面方程的图形是一平面.2021/3/98平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：, 0)1( D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；, 0)2( A , 0, 0DD 平面过平面过 轴；轴；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xOy类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0 DCzByAx平面平行于平面平行于 轴；轴；x2021/3/99设平面为设平面为, 0 DCzByAx由平面过原点知由平面过原点知, 0 D由由平平面面过过点点)2, 3, 6( 知知023

5、6 CBA),2,1,4( n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解2021/3/9100131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx过三点过三点)3,2, 1(),(kzyxMkkkk的平面方程为的平面方程为2. 平面的三点式和截距式平面的三点式和截距式平面的三点式方程2021/3/911设平面为设平面为, 0 DCzByAx将三点坐标代入得将三点坐标代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解2021/3/912,aDA ,bDB ,cDC 将将代入所设方程代入所设方程1 czbyax平面的截

6、距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距, 0 DCzByAx2021/3/913xyzo解解2021/3/914外一点外一点, ,求求),(0000zyxP0DzCyBxA例例7.7. 设设222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCyBxA解解: :设平面法向量为),(1111zyxP在平面上取一点是平面是平面到平面的距离到平面的距离d. .0P,则P0 到平面的距离为01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn 点到平面的距离公式点到平面的距离公式二、点到平面的距离二、点到平面

7、的距离2021/3/915确定空间直线的条件确定空间直线的条件 由两个平面确定一条直线；由两个平面确定一条直线； 由空间的两点确定一条直线；由空间的两点确定一条直线； 由空间的一点和一个方向来确定一条直线由空间的一点和一个方向来确定一条直线. .三、空间直线的方程三、空间直线的方程2021/3/916xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般空间直线的一般(式式)方程方程L注：表示同一直线的一般方程不唯一注：表示同一直线的一般方程不唯一.

8、1. 1. 直线的一般式直线的一般式2021/3/917xyzo方向向量的定义：方向向量的定义：sL0M M ,),(0000LzyxM 设设定定点点,),(LzyxM sMM0/),(pnms ),(0000zzyyxxMM ),(),(000pnmtzzyyxx 则则2. 2. 直线的对称式和参数式直线的对称式和参数式 如果一非零向量如果一非零向量 平行于平行于一条已知直线一条已知直线 L ，向量，向量 称称为直线为直线 L 的的方向向量方向向量ss2021/3/918直线的对称式方程直线的对称式方程pzznyymxx000 ptzzntyymtxx000直线的一组直线的一组方向数方向数方

9、向向量的余弦称为直线的方向向量的余弦称为直线的方向余弦方向余弦.直线的参数直线的参数(式式)方程方程消去参数消去参数 t，有，有),(),(000pnmtzzyyxx (也称为点向式方程点向式方程)2021/3/919注：注：1. 表示同一直线的对称式方程不唯一；表示同一直线的对称式方程不唯一；2. 对称式方程可转化为一般方程对称式方程可转化为一般方程 ;3. 理解为理解为:pzznyyxx0000 .,000pzznyyxx4. 任一条直线均可表示为对称式方程任一条直线均可表示为对称式方程.2021/3/920例例8 8 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线 . 04

10、32, 01zyxzyx解解2021/3/921因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取21nns ),3, 1, 4( 对称式方程对称式方程,321041 zyx参数方程参数方程.3241 tztytx解题思路解题思路: 先找直线上一点;再找直线的方向向量.2021/3/922解解2021/3/923定义定义1 1n2 2n 两平面法向量之间的夹角两平面法向量之间的夹角（通常取锐角）（通常取锐角）称为两平面的夹角称为两平面的夹角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA),(1111CBAn ),(2222CBAn 1. 两平面的夹

11、角两平面的夹角四、线面间的夹角四、线面间的夹角2021/3/924按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA 2021/3/925例例1010 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2021/3/926定义定义直线直线:1

12、L,111111pzznyymxx 直线直线:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）称为两直线的夹角称为两直线的夹角.两直线的夹角公式两直线的夹角公式2. 两直线的夹角两直线的夹角2021/3/927两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直线直线:1L直线直线:2L),0,4,1(1 s),1,0,0(2 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.2

13、1LL 即即2021/3/928例例11.11. 求以下两直线的夹角求以下两直线的夹角解解:13411:1 zyxL 0202:2zxyxL2021/3/929解解2021/3/930LlM1M02021/3/931定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx),(pnms ),(CBAn 0.2 3. 3. 直线与平面的夹角直线与平面的夹角2021/3/932222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面

14、的位置关系：位置关系： L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm sin),cos( ns2021/3/933解解2021/3/934 kji),(0000zyxM到直线的距离pzznyymxxL111:为点2221pnm010101 zzyyxxpnm dssMMd10),(pnms ),(1111zyxM),(0000zyxML* *五、点到直线与直线到直线的距离五、点到直线与直线到直线的距离1. 点到直线的距离点到直线的距离2021/3/935212122)(ssssPPd 另法另法: 做一法向量做一法向量21ssn 过直线过直线L1 做平面做平面 , 则法向量为则法向量为

15、21ssn 2L直线直线故平面故平面 ，点，点P2 到平面到平面 的距离就是的距离就是 d .dssssppv212112)( 1s21PP2s1P2PL1L2n异面直线间的距离异面直线间的距离. 22021/3/936.0422022:,0220121离离异异面面，并并求求其其间间最最短短距距：证证明明直直线线 zyxzyxLzyxzyxL例例证证2021/3/937的的公公垂垂线线方方程程。：与与直直线线求求直直线线例例zyxLzyxL 02110123:1021L1L2L 1, 2, 11,0, 10, 1 , 2 sL的的方方向向向向量量解解：2021/3/938.束束有平面的全体称为

16、平面有平面的全体称为平面定义：通过定直线的所定义：通过定直线的所过直线00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束)(1111DzCyBxA0)(2222DzCyBxA方程0,21不全为120)()(, 1222211111 DzCyBxADzCyBxAL 的的平平面面束束为为则则过过直直线线* *六、平面束六、平面束2021/3/939例例15.15. 求直线求直线 0101zyxzyx在平面在平面上的投影直线方程上的投影直线方程. .解解：0 zyx2021/3/940.432, 01,02121）的的平平面面方方程程，的的交交线线且且过过点点（与与求求通通过过：已已知知平

17、平面面 zyxzyx解解：16例例2021/3/941内容小结内容小结1.平面平面基本方程:一般式点法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三点式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc2021/3/9420212121CCBBAA212121CCBBAA2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:2121cosnnnn 021nn021nn, 0:22222DzCyBxA),(2222CBAn , 0:11111DzCyBxA),(1111CBAn 2021/3/9431. 空间直线方程空间直线方程一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm 内容小结内容小结 2021/3/944,1111111pzznyymxxL：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：