自然数平方与

1、1. 12+22K.+n2=n(n+1)(2 n+1)/6用数学归纳法：n=l 时，1=1*2*3/6=1 成立假设 n=k 时也成立，那么 k(k+1)(2k+1)/6=12 +22+.+k2那么n=k+112+22+.+k2+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)2 =k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2 /6 k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2 =(k+1)(2k2+k+6k+6)=(k+1)*(2k2 +7k+6)=(k+1)(k+ 2)(2k+3)=(k+1)(k+1)+1)(2(k+1)+1)所以12+22+.+k2+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)

2、/6+(k+1)2 =k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2 /6=(k+1)(k+1)+1)(2(k+1)+1)/6即n=k+1时，也成立所以 12+22+.+n2=n(n+1)(2 n+1)/62. 前面在“求连续自然数立方和的公式”一文中，介绍了用列表法推导 公式的过程。这种方法浅显易懂，的确有它的优越性。在“有趣的图 形数”中，也曾经用图形法推出过求连续自然数平方和的公式F +才+于+ £=臥川+叹加+ 1）。6这里用列表法再来推导一下这个公式，进一步体会列表法的优点。 首先，算出从1开始的一些连续自然数的和与平方和，列出下表:EL123456i+2十汩+n13610152

3、11*+32+Y15145591然后，以连续自然数的平方和为分子，连续自然数的和为分母，构成分数 _1: +2:+32 +/A*-91+ 2+ 3+'"+ nn1234 ,56A.1'533311 T13T4 ' «-再根据表中的数据，算出分数扎的值，列出下表：观察发现，扎的通项公式是竽。既然扎=卩+ 丁十八+匚 而它的通项公式是沁，于是大胆猜想1+ 2+ 3+ - +M31口2口于+ 廿用=对+ 11+2 + 3+ -3因为分母1 + 2 + 3 +犷坐凹，所以2l2+23+3J+-nn3 2n+l+ D3 °由此得到J吩+ 1) V 3

4、n+1 - ”3+1)6 + 1)236即2:+ 3;"' + n;=心+DS+1)用数学归纳法很容易证明等式的正确性，这样就轻而易举地推出了求连续自 然数平方和的公式。这个妙不可言的推导过程是数学家波利亚的杰作，关键之处是他运用了“猜 想一证明”的思路。联想到当年著名文学家胡适也曾经有过“大胆假设，小心求 证”的名言。看来，无论数学也好，文学也好，追求真理的道路是相通的。这件事对我们教师有什么启示吗？有的，那就是：切莫轻视了对学生观察、 类比和猜想能力的培养！这往往是培育创新思维的有效途径。3. 在前面“有趣的图形数”中，曾经用图形法推出了求连续自然数立方 和的公式：r+s

5、3+i?=呛+i)2这里再介绍一种列表法，同样可以推出这个公式，并且更简单，更好理解第一步：列一个表，在第一行填入一个因数 1、2、3、4、5,在第一列填入另一个因数1、2、3、4、5。1234512345第二步：在右下方的空格里分别填入对应的两个因数的积。123451123452246810336912154481216205510152025显然，所有乘积的和等于(1 + 2 + 了 + 4+5)：=疋七° 儿 2第三步：把所有乘积的和分成 5块这5块依次是：1二 13,2 + 4 + 2 = 8 = 23,3+ 6+ 9 + 6+ 3= 27= 33,34+ 8+ 12+ 16

6、+ 12+ 8+ 4= 64= 4 ,5+ 10+ 15+ 20+ 25+ 20+ 15+ 10+ 5= 125= 53。于是，所有乘积的和又等于13+ 23 + 33+ 43 + 53。这样，对比所有乘积和的两种表示法得到：屮+尸+少+炉+尸二些巴2推而广之，就得到:r+25 + 3! + "是不是比图形法更简单，更好理解？如果你对列表法有兴趣的话，请再看一下拙文“求连续自然数平方和的公式”与“求连续三角形数和的公式”，一定会有新的感触的。谢谢！4. 一个自然数可以分解为3个质数的积,如果这3个质数的平方和是39630,求 这个自然数？这个自然数是1990它的3个质因数是2,5,199思考分析：质因数有 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37将所有的质因数平方后观察得4,9,25,49,121,169,289,361.除了 2同5的平方外其它的质因数的平方后的个位数都是1和9这三个质因数的平方和是39630（个位数是0）因此可知 只有2同5的平方再同其它的平方相加才能得到一个个位数是0的数因此2同5是它的两个质因数那 4+25+XT=39630解得X=199所以这个自然数是1990（2*5*199）在一个繁体网站看到一篇文章讲据说下面是当初欧拉的解法:令3!(2w+l)l则R仗）与