直线与圆锥曲线的综合问题

1、第32练直线与圆锥曲线的综合问题题型分析 髙考展望本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题，从近几年的高考试题 来看，除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外，在填空题中出现的圆锥曲线问题也 经常与直线结合起来.本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高，但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果预测在今后高考中，主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题，有时会与向量的共线、模和数量积等联系起来；对于方程的求解，不要忽 视轨迹的求解形式，后面的设问将是对最值、定值、定点、参数范围的考查，探索类和存在 性问题考查的概率也很高.常考题型精析题型一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用x

2、2 y2例1(1)(2015福建改编)已知椭圆E： G +乙=1(a > b > 0)的右焦点为F,短轴的一个端点a2 b2为M，直线1: 3x 4y = 0交椭圆E于A, B两点 若AF + BF= 4，点M到直线I的距离不小4于二则椭圆E的离心率的取值范围是5设焦点在x轴上的椭圆x2 y2M的方程为+二=1 (b>0)，其离心率为4 b2求椭圆M的方程;若直线I过点P(0,4)，则直线I何时与椭圆M相交?点评对于求过定点的直线与圆锥曲线的位置关系问题，一是利用方程的根的判别式来确定, 但一定要注意，利用判别式的前提是二次项系数不为零；二是利用图形来处理和理解；三是 直线过

3、定点位置不同，导致直线与圆锥曲线的位置关系也不同2 2变式训练1P(2,3).x2 y已知椭圆 C- 2> + 2 = 1(a>b>0)的焦距为4，且过点a2 b2(1)求椭圆C的方程；设Q(xo, yo)(xoyoM 0)为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E.取点A(0,2" 2),连结AE,过点A作AE的垂线交x轴于点D点G是点D关于y轴的对称点，作直线 QG, 问这样作出的直线 QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由 .题型二直线与圆锥曲线的弦的问题x2 y2例2设椭圆C：尹b> 1 (a>b>0)的左，右焦点分别为F1, F

4、2,且焦距为6，点P是椭圆短轴的一个端点， PF1F2的周长为16.（1）求椭圆C的方程;求过点（3,0）且斜率为-的直线l被椭圆C所截得的线段中点的坐标5点评 直线与圆锥曲线弦的问题包括求弦的方程，弦长，弦的位置确定，弦中点坐标轨迹等（组），不等问题，解决这些问题的总体思路是设相关量，找等量关系，禾U用几何性质列方程 式（组）或利用一元二次方程根与系数的关系，使问题解决变式训练2 在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆C的中心在原点 O,焦点在x轴上，短轴 长为2，离心率为2.（1）求椭圆C的方程；6A, B为椭圆C上满足 AOB的面积为亠的任意两点，E为线段AB的中点，射线 OEt的值.高考

5、题型精练1. (2015北京)已知椭圆C：x2+ 3y2= 3，过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆 C交于A ,B两点，直线 AE与直线x= 3交于点 M .(1) 求椭圆C的离心率；(2) 若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；试判断直线 BM与直线DE的位置关系，并说明理由.2. 如图，已知抛物线 C的顶点为0(0, 0)，焦点为F(0,1).(1) 求抛物线C的方程；(2) 过点F作直线交抛物线 C于A, B两点若直线AO、BO分别交直线I: y = x 2于M、N两点，求 MN的最小值的距离为3. (2015南京模拟)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0, c)(c>

6、;0)至煩线I: x y 2 = 0.设P为直线I上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA, PB,其中A , B为切点.(1)求抛物线C的方程；当点P(xo, yo)为直线I上的定点时，求直线 AB的方程;当点P在直线I上移动时，求 AF BF的最小值.4已知点A, B是抛物线 C： y2= 2px (p>0)上不同的两点，点 D在抛物线 C的准线I上，且3血焦点F到直线x y + 2 = 0的距离为2(1)求抛物线C的方程；(2)现给出以下二个论断：直线AB过焦点F;直线AD过原点0;直线BD平行于x请你以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明答

7、案精析第32练直线与圆锥曲线的综合问题常考题型典例剖析解析 设左焦点为Fo，连结FoA，FoB,则四边形AFBFo为平行四边形/ AF + BF= 4 ,AF + AFo = 4 ,a= 2.设 M(0,|3 x0 4 xb|4b 4=一 >-4 255c+caM的离心率为a2 b2a2离心率e=-a4 b2丁 0，解因为椭圆所以= A ,42得 b2 = 2.所以椭圆M的方程为2 2x2 y2+ = 1.42(i )过点P(0,4)的直线I垂直于x轴时,直线I与椭圆M相交.(ii )过点P(0,4)的直线|与x轴不垂直时，可设直线I的方程为y = kx + 4.由2 2x2y2+ 一=

8、 142消去 y，得(1 + 2k2)x2 + 16kx + 28 = 0.因为直线l与椭圆M相交,所以= (16k)2 - 4(1 + 2 k2) x 28 = 16(2 k2 - 7)>0 ,解得k<-14- 14-V 或 k>.综上，当直线I垂直于x轴或直线I的斜率的取值范围为 -8,直线I与椭圆M相交.变式训练1解（1）由已知条件得椭圆C的焦点为F1(-2,0) , F2(2,0),2a= PF1 + PF2= 4” 2，贝U a = 22.x2 y2b-a2-宀4，因此椭圆C的方程为?+4 = 设 D(X1,0),DA = (-X1,2 2),EA= (-xo2 2

9、);由DA丄EA,得DA EA= 0 ,则 G( - X1,0)8X1X0+ 8 = 0,贝U X1 = -xoy0y0X0y0kQG= =X0 + X18x2 8'X0- _X0直线QG的方程为y=X0y08y02x= 2(X0X - 8),x2 8X0x0 8x0 y25即 X2 3x 8 = 0. l与椭圆C的交点为A(X1, y1), B(X2, y2),x21又 8+ 厂1，炸41 7 = 2(8 - x0)，l2s8 - X2 可得 y =± 2X2 - 8(X0X - 8)，2 2x2 y将代入+一 = 1整理得8x2- 16xox + 8x6 = 0 ,84=

10、 ( 16 xo)2 4 X 64X2 = 0 ,直线QG与椭圆C 一定有唯一的公共点 例2 解 设椭圆的半焦距为 C,则由题意,a= 5,解得c= 3,2c= 6 ,可得2a+2c = 16,所以 b2 = a2-c2= 52- 32 = 16.x2 y2故所求椭圆C的方程为石+和=(2)方法4过点(3,0)且斜率为，的直线l的方程为4 X2y = _ (x 3)，将之代入C的方程，得一 +5 25因为点(3,0)在椭圆内，设直线436纵坐标为5x (厂3)=-5故所求线段的中点坐标为2'4 4方法二 过点(3,0)且斜率为的直线l的方程为y=(x 3)，因为(3,0)在椭圆内，所以

11、直线l5 5与椭圆有两个交点，设两交点的坐标分别为(X1, y1), (X2, y2)，中点M的坐标为(X0, y°),x2 y2+ = 1则有2516x2 y2+ = 12516由一，得X1 X2 Xl+ X2yi y2 y1 + y2251616xo即 _25 yo544一 5又 yo蔦（X。- 3）,xo =2所以36故所求线段的中点坐标为2，-5.x2 y2变式训练2 解(1)设椭圆C的方程为二+ 2= 1(a>b>0),a2 b22b = 2,x2故椭圆C的方程为；+ y2 = 1.(2)当A, B两点关于x轴对称时，设直线 AB的方程为x = m，由题意得一，

12、2< m<0或0< m < - 2.将x = m代入椭圆方程得22 m2所以aob= |m |,6431解得m2=2或m2=H)又OP = tOE = §t(OA + OB)=尹(2口,0) = (mt, 0),mt 2又点 P在椭圆上，所以=（丘）4由(】)3 )得 t2= 4 或 t2 = .又因为t>0，所以t = 2或t =3当A，B两点关于x轴不对称时，设直线 AB的方程为y= kx + n,得(1 + 2k2)x2 + 4k nx + 2n2 2 = 0.y = kx + n,由x2'+ y2= 12设 A(X1, y1), B(X2

13、, y2),由= 16k2n2 4(1 + 2k2)(2n2 2)>0 得 1 + 2k2>n2.此时 X1 + X2 =4kn1 + 2 k2，2n2 2X1X2 =1 + 2 k2'2ny1 + y2= k(x1 + X2) + 2 n =21 + 2k2所以AB= 1X1 + X2 2 4X1X2=2 - 21 + k2'1 + 2 k2 n2y 1 + 2k2 2又点0到直线AB的距离|n|1所以AOB= 2d AB令 r = 1 + 2 k2 代入上式得：3r2 16n2r + 16 n4= 0.4解得 r = 4n2或 r = n2,34即 1 + 2k

14、2 = 4n2 或 1 + 2k2= 一n2.3又 OP = tOE = ；t(OA + OB) = ；t(X1 + X2, y1 + y2)2 knt nt1 + 2k2，1 + 2k2 .又点P为椭圆C上一点,12knn所以t22册2 +册2 =1，n2即冇t2 =1.41 + 2k2 = 4n2 或 1 + 2 k2 = n2,3n2t2 = 14得 t2 = 4 或 t2 = 3.31 + 2k2又t>0，故t = 2或t =3经检验，适合题意综合得t = 2或t =3常考题型精练X21.解(1)椭圆c的标准方程为+y2= 1,3所以 a=" 3, b = 1 , c

15、= -2.所以椭圆C的离心率c 6e=_ =a 3因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴, 所以可设 A(1 , y1), B(1 , - y1),直线AE的方程为y 1 = (1 y1)(x- 2),令 x = 3，得 M (3,2 y1),2 y1 + y1 所以直线BM的斜率kBM = 1.3 1直线BM与直线DE平行，证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由(2)可知kBM = 1.1 0又因为直线 DE的斜率kDE= 1，所以BM / DE,2 1当直线AB的斜率存在时，设其方程为y = k(x 1)(k 1)，设A(xi, yi), B(X2, y2),则直线y i 1yi + Xi

16、3AE 的方程为 y i=X；?x- 2).令x= X2 Xi 2所以 kBM = i = kDE.所以 BM / DE,综上可知，直线 BM与直线DE平行.，得点 M 3，UTx=0 + 3y2 = 3 ,由得(i + 3k2)x2 6k2x + 3k2 3 = 0 ,y= k x i ,所以xi + X2 =i + 3 k2'3 k2 3xix2 = i + 3k2,yi + xi 3xi 2y2直线BM的斜率kBM =3 X22.解(i)由题意可设抛物线C的方程为x2= 2py(p>0)，则-=i ,所以抛物线C的方程为x22因为kBM i =k Xi i + Xi 3 k

17、 X2 i Xi 2 3 X2 Xi 23 X2 xi 2k i XiX2+ 2 Xi+ X2 33 X2 Xi 23 k2 + 3i2k22 +2 3i + 3k2 i + 3 k2=4y.设 A(xi, yi), B(X2, y2)，直线 AB 的方程为 y = kx + i.y= kx + 1 ,由消去y，整理得x2 4kx 4 = 0 ,x2 = 4y所以 xi + X2 = 4 k, X1X2= 4.yiy= x,Xiy=x 2,从而 |X1 X2|= 4解得点M的横坐标2xi 2xiXM =xi yiX24 xixi 4同理点N的横坐标8XN =4 X2所以 MN ="

18、2|Xm Xn|v 4 Xi4 X2Xi X2XiX2 4 Xi + X2 + i68 一 22+ i|4k 3|t + 3令 4k 3 = t, t工0,贝U k =-4当 t>0 时，MN = 2 当 t<0 时，MN = 2 综上所述，当t =3.解MN的最小值是（1）依题意知所以抛物线C的方程为x2= 4y.1 1由 y = ；x2 得 y' = ；x.1 1设A（X1，y1 ），B（X2，y2），则切线PA, PB的斜率分别为?X1，§X2，所以切线PA的方程为y-y1 =X12(x - X1),X1X2尸 2X - 2 +y1,即 X1X- 2y- 2

19、y1 = 0.同理可得切线 PB的方程为X2X- 2y - 2y2 = 0 ,又点P(xo , yo)在切线PA和PB上，所以 X1 xo 2yo 2y1= 0, X2X0 2yo- 2y2= 0 ,所以(X1,y1),(X2,y2)为方程X0X-2y° - 2y= 0的两组解，所以直线AB的方程为X0X- 2y2y0 = 0.由抛物线定义知 AF = y1+ 1 , BF = y2 + 1 ,所以 AF BF= (y1 + 1)(y2+ 1) = y1y2+ (y1 + y2)+ 1,X0X 2y- 2y0= 0 ,联立方程 x2= 4y,消去 x 整理得 y2 + (2y0 -x

20、0)y + y0 = 0 ,所以 y1 + y2 = x2- 2y0, y"2= y2，所以 AF BF= y1y2+ (y1 + y2)+ 1=y0+ x0 2y°+ 1=y2+ (y0 + 2)2- 2y0 +1 = 2y2+ 2y°+ 51P1厂 0 + 21所以当yo = -时，AF BF取得最小值，且最小值为4. 解(1) 抛物线C： y2 = 2px (p>0)的焦点为Fp2, 0，依题意得d = 解得p= 2 ,抛物线C的方程为y2= 4x.(2)命题若直线AB过焦点F,且直线AD过原点0,则直线BD平行于x轴.设直线 AB 的方程为 x = ty + 1 , A(xi, yi), B(x2, y2