直线圆锥曲线有关向量的问题

1、直线圆锥曲线有关向量的问题咼考考什么知识要点:1 直线与圆锥曲线的公共点的情况直线：ax by c 0 ax2 bx c o（或A'y2 B'y C 0）曲线：f （x, y） 0(1)没有公共点(3)两个公共点方程组无解(2 ) 一个公共点i）相交A 0ii）相切AO,0A 0,02 连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：1|ab| -d k2 xi X2 . 1 k2 yi y23 以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题4.几何与向量综合时可能出现的向量内容(3)给出J上 _

2、匸：_,等于已知匸是的中点；(5) 给出以下情形之一：丄上上;存在实数. jL i'-:- '若存在实 数八一二 匚，等于已知D -三点共线(6) 给出，等于已知匸是亠的定比分点，J为定比，即,4,:1 +丸（7）给出_：口丄;丄，等于已知J工丄二三，即_二：匸 是直角，给出，等于已知丄丘左是钝角,给出,等于已知=三是锐角。（9）在平行四边形卫二二 中，给出 '.： < 丨一 ,等于已知是菱形；（10）在平行四边形 匸王二 中，给出- -I.-，等于已知二 是矩形；（ii）在丄出二中，给出！、._.厂_ ,，等于已知二是丄打匚的外心（三角 形外接圆的圆心，三角形的

3、外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在一LE叮中，给出_ /.J_-，等于已知匚是一二的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在把匚中，给出，等于已知：是1-3 7的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（16） 在中，给出-厂 ，等于已知且二是二二匚 中C 边的中线;高考怎么考主要题型:1 三点共线问题；2 公共点个数问题；3 弦长问题；4 .中点问题；5 .定比分点问题；6 .对称问题；7 .平行与垂直问题；8.角的问题。 近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为(1 )考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。(2 )考查学生把向量作为工具

4、的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。特别提醒：法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。例1 .过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于 A,B两点，点Q与点P关于y轴对称，0为坐标原点，若uurBPuur UULT UUU2PA 且 OQ?AB1，则点P的轨迹方程是(A.-23 21(x0,y0)B.-23 21(x0,y0)3x尹3x尹C. 3 2-21(x0,y0)D.3 2-21(x0,y0)x23yx23yx2例2 .已知椭圆C1:+4y2= 1,椭圆C2以C1的长轴为短豆轴，且与C1有相同的离心率(1)

5、求椭圆C2的方程;设0为坐标原点，点A, B分别在椭圆C1和C2上，OB = 2OA,求直线AB的方程.2 2y2 x2-32解：(1)由已知可设椭圆 C2的方程为+ = 1( a>2), a242 2y2 x2，贝U a= 4，故椭圆C2的方程为一+ 一= 1.164(2)解法一：A, B两点的坐标分别记为(Xa, yA), (Xb, yB),由OB = 2OA及(1)知，O, A, B三点共线且点 A, B不在y轴上，因此可设直线 AB的 方程为y = kx.x24将 y = kx 代入+ y2 = 1 中，得(1 + 4k2)x2 = 4，所以 xA =,41 + 4 k2y2x2

6、将y=kx代入和+ 4 =1中，得(4+k2)宀16，16tt所以 XB= 4 + k2,又由 OB = 2OA，得 XB= 4XA，16 16 即 47=i + 4k2，解得k = ±1，故直线AB的方程为y= x或y = x.解法二：A, B两点的坐标分别记为(xa, yA), (xb, yB),由OB = 2OA及 知，O, A, B三点共线且点 A, B不在y轴上，因此可设直线 AB的方程为y = kx.x2将 y = kx 代入 一+ y2 = 1 中，得(1 + 4k2)x2 = 4,44所以 XA = 1 + 4k2，由 OB = 2OA ,1616k2得 XB= 1

7、+ 4k2，yB= 1 + 4k2，门4孑1，即 47 k2=1+4k2,y2 x24 + k2将XB，yB代入和7厂1中，得uuu uuuOA OB 0，点C坐标为(0,解得k = ±1，故直线AB的方程为y= X或y = x.例4已知A,B为抛物线x2=2 py(p>0)上异于原点的两点,2p)(1)求证：A,B,C三点共线;若 AM = BM (uuuu uuuR )且 OM AB0试求点M的轨迹方程。(1)2X1证明：设A(X1说),B(X2,uuu uuu 由 OA OB22X1X20 得 X|X22p2p0,X1X24p2 ,uuur又 Q AC (X 2 uuuX

8、1,2p 寿ab(X22X1, X22p2p2 2X1 (2p 金)(X2为)uuur uuuAC / AB，即A,B,C三点共线。uuuu uuu .(2)由(1 )知直线 AB过定点C,又由OM AB 0及AM = BM ( R)知 OM AB,垂足为M，所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。即点 M的轨 迹方程为 x2+(y-p )2= p2(x 0，y 0)。2例6设Fl、F2分别是椭圆y2 1的左、右焦点4UULT UOJU(I)若P是该椭圆上的一个动点，求PF1 PF2的最大值和最小值；(n)设过定点M(0,2)的直线I与椭圆交于不同的两点 A、B, 且ZAOB为锐角(其

9、解：cI)解法一:易知a 2,b1,c.3 ,所以F1-3,0,F2 . 3,0，设 Px, y ,UUUTUULUIr-u2 2 -2x212 o则PF1PF 2.3 x, y , .3x, y x y 3x133x 844UULTUJUL因为x2,2，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1PF2有最小值-2UULT UUUU当x=2，即点P为椭圆长轴端点时,PF1 PF2有最大值1中O为坐标原点)，求直线 I的斜率k的取值范围.3, 所以 F1V3,0 , F2 73,0，则解法二二：易知a2,b1,cUULTUUULUULTUULUPF1PF2PF1PF2COSF1PF2，设 P x

10、,y联立x1显然直线kxX24k2 1k40不满足题设条件,消去y，整理得:X2k2UULT UULUPF1 PF212 x可设直线UULT 2PF1UULU 2PF22UUULT 2F1F2UraTPF2y23 (以下同解法一)l : y kx 2,A X1,y2 ,B2x 4kx 30X2,y2 ,4k4k230得:又00AOB900cosAOBuuu0 OAuuuOBuur urnOA OB %x22 kx2k2xjX2 2kxix23 k214k2k28 k24k2 14k2k2 1k2-4k242故由、得卡-.3或2 2自我提升1、平面直角坐标系中， O为坐标原点，已知 A (3 ,

11、1)，B(-1，若点C满足OCOA OB，其中R,且 =1 ,则点C的轨迹方程为(D3x+2 y-1 仁0B. (x-1) 2+(y-2) 2=5C.2x-y =0x+2 y-5=02、已知i , j是x,y轴正方向的单位向量，设a= (x 2)iyj，b = (x2) i yj，且满足|a|+| b |=4.则点P(x,y)的轨迹是.(C )A椭圆 B 双曲线 C.线段 D 射线5. 2012许昌一模设F1、F2分别是双曲线x2- 9 = 1的左、右焦点若点 P在双曲线上，且 PF1 PF2 = 0,则 |PF1+ PF2|=()B； 10 C. 4' 25. D 解析根据已知厶PF

12、1F2是直角三角形,向量 PF1 + PF2 = 2PO，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出.薛1 PF2= 0 ,则|薛1 + PF2| = 2|PO| = |F?F2|= 2 106.已知 A、B为抛物线x2=2 py (p>0)上两点，直线 AB过焦点F, A、B在准线上的射影分别为C、D，则y轴上恒存在一点 K,使得KA ?KF 0 ;CF ? DF 0 ;存在实数 使得 ADAO ;若线段AB中点P在在准线上的射影为 T,有FT ? AB 0 。中说法正确的为2X7已知椭圆一2UUT交点为Q,且AQ2y 1，过P(1,0)作直线l,使得I与该椭圆交于 A,B两点，

13、I与y轴的解：直线的中点与2XuuuPB，求直线I的方程。I过P(1,0)，故可设方程为y=k(x-1)，PQ的中点重合得(1+2 k2)X2-4k2X+2( k2-1)=0y2 1ULUT 因为AQ所以uuuPBy k(X 1)XAXB，又 XF+X Q= 1 故 4k22k21 2k22，所求的直线方程为28. 2012O1)X2£瑞安质检设椭圆M : a2+ 2 = 1(a>a22)的右焦点为F1，直线I:2与x轴交于点A，若OFi + 2AFi = 0(其中O为坐标原点).(1)求椭圆M的方程;(2)设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N : X2 + (y 2)2= 1

14、的任意一条直径(E, F为直径的两个端点)，求PEPF的最大值.a2解：(1)由题设知，A 士2 2，0,F( :'a2-2，0),由 OF1 + 2AF1 = 0,得 7 a2 2 = 2a2寸a2_2 Va2 2 解得a2 = 6.所以椭圆M的方程2 2X2 y2 为 6 + 2 = 1.(2)解法1:设圆N : X2+ (y 2)2 = 1的圆心为N ,-> > > > > > >贝UPEPF= (NE NP) (NF NP) = ( NF NP) (NF NP)= NP2 NF2 = NP2 1.设P(xo, yo)是椭圆M上一点，则x

15、0 y26 + 2 = 1，所以 NP2= x0 + (y0 2)2 =2(yo+1)2+12.因为yo ,-'2 , ；2，所以当yo= 1时，NP2取得最大值12.所以PE PF的最大值为11.X2 = X1 ,解法 2 :设点E(X1 , y1)，F(X2, y2), P(X0, y0)，所以 y2= 4 y1.可得PE PF= (X1 Xo)(X2 Xo) + (y1 yo)(y2 yo)= (X1 Xo)( X1 xo)+ (y1 yo)(4 y1 yo)=X2 X1 + yo y? + 4y 1 4yo= x2 + yo 4yo (x2 + y? 4y 1).因为点 E在圆

16、 N 上，所以 x1 + (y1 2)2= 1，即 x2 + y2 4y1 = 3.x2 y2又因为点P在椭圆M上，所以6 + 2 = 1 ,即 xB= 6 3y2.所以 PE PF= 2y2 4yo+ 9 = 2(yo +1)2+11.因为 yo ：2 ,2，所以当 yo= 1 时，(PE PF)min = 11.2 29.设椭圆C:笃 与 1(a b0)的左焦点为F,上顶点为A ,过点A作垂直于AFa b的直线交椭圆C于另外一点P,交x轴正半轴于点Q ,且AP 8 PQ5(1) 求椭圆C的离心率；(2) 若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l:X -3y 50相切，求椭圆C的方程.解：设 Q ( xo, 0)，由 F (-C , 0) *A (0, b)知 FA (c,b),AQ (x。，b)FA