学生在几何证明题中常见错误分析-

1、学生在几何证明题中常见错误分析作几何证明题时为了保证证题的正确性，除了要准确运用几何概念、公理、定理作为依据，还必须遵守同一律、矛盾律、排中律和充足理由律等逻辑思维的基本规律。在几何教学的过程中，会常常看到学生有一些似是而非的证法，这个时候教师如果 了解学生产生这些错误的原因，及时给予纠正或作为典型例题给予讲解，就能使学生在 今后的学习中尽量防止或减少这些错误的出现。总的来说学生所出现的错误可以归结为 偷换概念、虚假理由、偷换命题、循环论证等。下面我将列举一些有代表性的、常见的 错例进行剖析，并指出正确的证法。1 .偷换概念在命题的证明过程中，把不属于某一概念外延的事物误认为属于这一概念，从而

2、误认为该事物具有此概念的某些属性，得出错误的证明，这就是犯了偷换概念的错误，也 违反了同一律。这种错误在学生的证明经常出现。EGA EHC的平分线,例1已知：如图（1） ABCD,MG HN分别为求证：GM/HN错证： AB/CD EGA = EHC又MG HN分别为 EGA EHC勺平分线,MGA= NHCGM/HN（同位角相等两直线平行）分析：上述证法把 MGA NHCH成GM NH被EF所截得的同位角而得出结论，显然是犯了偷换概念的错误。正证：把上面证法中" MGA = NHC'换成" MGE = NHE”即可。例2已知：如图（2）梯形ABCD43, AD/B

3、C,两对角线交于 O,过O作EF/BC ,分别交 AR CD E、F,求证：OE=OF错证：EFBCADAOE- ACBDOF- DBCOE AEOF DFBC EBBC FCh AE DF而 一 一EB FCOE OFBC BC即 OE=OF.分析：事实上，是相似的对应边，而不是这两个三角形的对应边，所以。以上错证 把当作是相似三角形的对应边，也犯了偷换概念的错误。要防止这种常见的错误就要求 教师要将相似三角形的对应的概念、平行线分线段成比例的概念讲清楚，并通过练习帮 助学生理解、掌握概念。正证： EF/BC/ADAOE- ACBDOF- DBCOE AE OF DFBC AB , BC D

4、Ch AE DF而AB DCOE OFBC BC即 OE=OF2 .虚假理由有些学生在几何学习中对有关的概念、定理没有真正的理解掌握或者只是一知半解, 因此常常任意的推广引申定理得出有利于论题成立的假判断作为论证的根据而造成的错 误，可以归结为犯了虚假理由的错误，违反了逻辑上的充足理由律。例3已知：如图（3） ABC中，AB=AC,AD为 A的平分线，DE AB,DF AC垂足分别为E、F.求证：AD为EF的中垂线.图（3 ）错证： AD为 A的平分线，DE AB,DF ACDE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）AD为EF的中垂线（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）分析：

5、以上证法表面上看干脆利落， 但是由DE=DFR可能推出为EF的中垂线上的点, 而点D的直线有无数条如图（3 .1 ）故不能说明 AD为EF的中垂线，犯了虚假理由的错 误。正证： AD为 A的平分线，DE AB,DF ACDE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）Rt AEDRt AFD（HL） AE=AF又 AEF中AD为A的平分线AD为EF的中垂线（三线合一）例4如图（4）两个不等的圆交于点P、Q, AB与CD为两条外公切线求证：ACPQBD错证：延长PQ与AB交于E,与CD交于F由切割线定理EA2 EP?EQ EB2EA EB同理FC=FDAE CF有一 一EB FDAC/EF/BD

6、（平行线分线段成比例定理逆定理）即 AC/PQ/BD分析：上述证法错在最后一步，众所周知，原命题成立，其逆命题不一定成立平行 线分线段成比例定理逆定理恰好不成立。所以这一证法是犯了虚假理由的错误。正证：两圆不等两外公切线必交于一点 G （如图4.1 ）由切线长定理GB=GD GA=GCGB GDDA GCBGD=AGC9BGDAGCGBD= GACAC/BD四边形ABD%梯形延长PQ与AB交于E,与CD交于F,则由圆哥定理EA2 EP?EQ EB2EA EB同理 FC=FDEF是梯形ABDC勺中位线AC/EF/BD 即 AC/PQ/BD3.偷换命题由特例代替一般情形来加以证明。偷换命题是指证明

7、时证明者偷偷加入某些条件, 这种错误也叫做以特殊代一般，它违反了同一律。例5已知：P是ABC内任意一点求证：PA+PB+PC<AB+BC+CA错证：在ABP中ABP< APB图图5.2）PA<AB砌图 5.1)同理 PB<BC PC<CAPA+PB+PC<AB+BC+CA分析：以上证明由图形直观断定ABP< APB,以P点的某一特殊位置代替了命题中P点的任意性，是属于偷换命题的错误。事实上如图（5.2）, ABP> APB且PA>PB正证：如图(5.3 )延长 AP交BC于DPD+DC>PCAB+BD>AD=PA+PDAB+BD

8、+PD+PC>PA+PD+PC即 AB+BC>PA+PC同理可证CA+BC>PA+PBAB+C>PB+PC2(AB+BC+CA)>2(PA+PB+PC)即 PA+PB+PC<AB+BC+CA4.循环论证循环论证也是学生在证明过程中经常出现的错误。是指利用要证命题本身或它的等 价命题作证明的根据其实质上并没有给出命题的证明。例6已知：BC中，B= C求证：BC是等腰三角形错证： B= CAB=AC（等角对等边）即BC是等腰三角形分析：以上证明的根据等角对等边正是要求证的命题因而犯了循环论证的错误。正证：如图（6）可彳A的平分线AD,利用角角边（AAS）证彳导ABD ACD例7已知：凸四边形即可得AB=ACABCD,若AB+CD=BC+AD（U四边形ABCDT以外切一个圆错证：用反证法，设四边形ABCD不可以外切一个圆，则 AB+CD BC+AD这与已知条件AB+CD=BC+AD盾.四边形ABCM以外切一个圆.分析：以上证明是根据原命题的逆否命题“设四边形ABCM可以外切一个圆，则AB+CD BC+AD但原命题与其逆否命题等价，原命题未证而引用其逆否命题就犯了循环 论证的错误。正证：如图（7）作圆 。内切四边形 ABCDB勺三边AR AR DC于E、H G,若圆O 与BC不相切，过C作圆