大学物理授课教案第十二章机械振动

1、学习必备欢迎下载第四篇振动与波动第十二章机械振动§ 12-1简谐振动1、弹簧振子运动如图所取坐标，原点。在m平衡位置。现将m略向右移到A,然后放开，此时，由图 12-1于弹簧伸长而出现指向平衡位置的弹性力。在弹性 力作用下，物体向左运动，当通过位置 。时，作用 在m上弹性力等于0,但是由于惯性作用，m将继续向 。左边运动，使弹簧压缩。此时，由于弹簧被压缩， 而出现了指向平衡位置的弹性力并将阻止物体向左 运动，使m速率减小，直至物体静止于 B （瞬时静 止），之后物体在弹性力作用下改变方向，向右运动。这样在弹性力作用下物体左右往复运动，即作机械振动。2、简谐振动运动方程由上分析知，m位

2、移为x （相对平衡点Q时，它受到弹性力为（胡克定律）(12-1)F = -kx式中：当x >0即位移沿+x时，F 7ft-x擢|3F M0当x<。即位移沿-x时，F沿+x,即F>0 k为弹簧的倔强系数，“一”号表示力F与位移x （相对。点）反向。定义：物体受力与位移正比反向时的振动称为简谐振动。由定义知，弹簧振子做谐振动。由牛顿第二定律知，m加速度为F kx（m为物体质量）: k、可有:d2x dt2d2xk-xdt2m均大于0, 可令mk 2=co m学习必备欢迎下载d2xdt2解为或式(12-3)(12-4)x = Asint + 守x = Acos(6t + 中 1&l

3、t;2 J(12-3)(12-4)是简谐振动的运动方程。因此，我们也可以说位移是时间t的正弦或余(12-2)式(12-2)是谐振动物体的微分方程。它是一个常系数的齐次二阶的线性微分方程，它的图 12-3V速度：(12-5)I加速度:可知d2xa =2dt2:-2Acos t = _ 2x(12-6)Vmax = A弦函数的运动是简谐运动。本书中用余弦形式表示谐振动方程。3、谐振动的速度和加速度物体位移：X=AcosY :dx=一 Asin t : dtx -t、V -t、a-t曲线如下学习必备欢迎下载由上可知:.T为周期,二 k.m说明：（1）F =-kx是谐振动的动力学特征；2（2） a =

4、 x是谐振动的运动学特征;（3）做谐振动的物体通常称为谐振子。§ 12-2谐振动的振幅 角频率位相上节我们得出了谐振动的运动方程x = Acos0t +* ）,现在来说明式中各量意义1、振幅做谐振动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值称为振幅，记做Ao A反映了振动的强弱。2、角频率（圆频率）为了定义角频率。首先定义周期和频率。物体作一次完全振动所经历的时间叫做振动的周期，用 T表示;在单位时间内物体所作的完全振动次数叫做频率，用 v表示。vTT或 vx A Acos t = Acos - it T : 1从t时刻经过1个周期时，物体又首次回到原来t时刻状态，6丁 =0 （余弦函数周期

5、为2）2 二二二2 v二 Ts称为角频率（圆频率）可见：缶表示在2n秒内物体所做的完全振动次数,对于给定的弹簧振子，m、k都是一定的，所以T、v完全由弹簧振子本身的性质 所决定，与其它因素无关。因此，这种周期和频率又称为固有周期和固有频率。A、3、位相在力学中，物体在某一时刻的运动状态由位置坐标和速度来决定，振动中，当6给定后，物体的位置和速度取决于 t+呼），利+华麻为位相（或周相、相位）, 由上可见，位相是决定振动物体运动状态的物理量。 *是t=。时的位相，称为初相4、A、中的确定对于给定的系统，6已知，初始条件给定后可求出 A、中初始条件：t=0时；x = x0由x、v表达式有v =V0

6、rLxo = Acos 中v0 = -coAsin 中 即x0 = Acos :-|-j V0、 一一 一 i= Asin 中l切J ，= tg 邛=2即 X(12-6)a a arctg v0& x0中信所在象限：1） x0 >0, v0 <0:中在第I象限2） x0<0, V0<0：中在第R象限3） x0<0, v0>0：中在第田象限4） x0 >0, v0 >0：中在第1V象限5、两个谐振动物体在同一时刻位相差设物体1和2的谐振动方程为x1 = A cos 侬 1t + * )x2 = A2 cos 2t2任意t时刻二者位相差为=1

7、"：2 -t - 1 1= "2 -"1 t - ；：2 - ；：1>0: 2的位相比1超前=。：2、1同位相<0: 2的位相比1落后(12-7)y图 12-4例12-1 :如图所示，一弹簧振子在光滑水平面上，已知 k = 1.60N/m, m = 0.40kg ,试 求下列情况下m的振动方程。(1)将m从平衡位置向右移到x = 0.10m处由静止释放；(2)将m从平衡位置向右移到x = 0.10m处并给以m向左的速率为0.20m/so解：(1) m的运动方程为x = Acos t , '： ； j由题意知： 1m初始条件：t=。时,1.60-

8、2/s;0.40xQ = 0.10mvq = 0ED0A = 可得：22VqXq -200 = 0.10m(平衡位捏)0. 10e图 12-5Vq=arctg = arctg 0xq.xQ>0Vq=0.平=0-=x = 0.10 cos 2t m2)初始条件：t=Q 时，x°=Q.10m,Vq-0.20m/s=arctgXo -20.10- Vq, 'Xq=arctg- 0.20 222= 0.1 2m-0.20 ) I < 2X0.10 厂arctg 1jicos 2t+ m<4 J:LmgsinK =ml2dj . xq >0Vq < 0x

9、=0.1 2可见：对于给定的系统，如果初始条件不同，则振幅和初相就有相应的改变。例12-2:如图所示，一根不可以伸长的细绳上端固定，下端系一小球，使小球稍偏离平衡位置释放，小球即在铅直面内平衡位置附近做振动，这一系统称为单摆。(1)证明：当摆角10很小时小球做谐振动；(2)求小球振动周期。图 12-6证：(1)设摆长为l,小球质量为m,某时刻小球悬线与铅 直线夹角为9,选悬线在平衡位置右侧时，角位移6为正，由 转动定律：dSdt28很小。；sine 用 0-sin - 0 ld2i=dt2二.这是谐振动的微分方程(或"与日正比反向)小球在做谐振动。(2),i(注意做谐振动时条件，即日

10、很小)§ 12-3表示谐振动的旋转矢量方法在中学中，为了更直观更方便地研究三角函数，引进了单位圆的图示法，同样，在 此为了更直观更方便地研究简谐振动，来引进旋转矢量的图示法。力加图 12-7一、旋转矢量自ox轴的原点o作一矢竺A,其模 为简谐振动的振幅A,并使A在图面内 绕o点逆时针转动，角速度大小为谐振动 角频率0 ,矢量A称为旋转矢量。二、简谐振动的旋转矢量表示法(1)旋转矢量A的矢端M在x轴上投影坐标可表示为x轴上的谐振动，振幅为A(2)旋转矢量A以角速度与旋转一周，相当于谐振动物体在 x轴上作一次完全振 动，即旋转矢量旋转一周，所用时间与谐振动的周期相同。(3) t=0时刻，

11、旋转矢量与x轴夹角中为谐振动的初相，仙寸刻旋转矢量与x轴夹 角+中)为t时刻谐振动的位相。说明：(1)旋转矢量是研究谐振动的一种直观、简便方法。(2)必须注意，旋转矢量本身并不在作谐振动，而是它矢端在x轴上的投影 点在x轴上做谐振动。旋转矢量与谐振动x-1曲线的对应关系(设*二0)学习必备欢迎下载3图 12-8三、旋转矢量法应用举例例12-3: 一物体沿x轴作简谐振动，振幅为0.12m,周期为2s=0时，位移为0.06m, 且向x轴正向运动。(1)求物体振动方程；(2)设t1时刻为物体第一次运动到x 位置所用最短时间。解：(1)设物体谐振动方程为x = Acos (倒 +平)由 3知1A=0.

12、12m2n 2n3j 6 = n ST 2中=?方法一用数学公式求 华x = Acos 中. A=0.12m xo=O.06m,cos 中=-9 二 ±2 n3.v0 = -coAsin 邛 >0q>3x = 0.12cosptm二I 3；小一、E-4“目、邛：=-0.06m处，试求物体从G时刻运动到平衡A cp根据题意，有如左图所示结果3图 12-9x =0.12 cos学习必备欢迎下载由上可见，方法二简单（2）方法一用数学式子求用-0.06 =0.12cos 二t1由题意有：X 冗 c(. R1 缶丁 :2元.1 3 三，)2二 24二 1一1二二二-：333 或3(

13、 n、v1 - -A sin | . ±1 -一 ：二 0;此时3二 t1二2=ji33=.t1 = 1s设t2时刻物体从t1时刻运动后首次到达平衡位置,（冗）0 =0.12cos 二t2 -有：3二 二 3 必2 = _ 一:. c_二 32 或2( n、V2 = -A sin I t2 - 03二 3- t2 -=一32_11t2 - s二 6115Lt = t2 - t1 =一 1 二 -s66方法二用旋转矢量法求 t由题意知，有左图所示结果，M为L时刻A末端位置，M2为t2时刻A末端位置。从t1 T2内A转角为-5:= t2 -t1 = M1OM2 =二3 265 一_t1=

14、m_5s二6 -6显然方法二简单。例12-4:图为某质点做谐振动的x-1曲线。求振动方程。解：设质点的振动方程为x = Acos（0t+中） 由图知：A = 10cm2 二 2 二 4, = 一 = 二 s学习必备欢迎下载3n用旋转矢量法（见上页图）可知,（或x = 10cosi t二 I一cm 2A为振幅，t=0时刻情况如图所示。1T18=需/yvyyyyjy中=t3门A/2图 12-12= 0x霜 伊=一万/WWVWW例12-5:弹簧振子在光滑的水平面上做谐振动,为原点。试求各种情况下初相。+ Ep （弹簧势能）已知:,物体位移物体速度=Acos t z： I二-Asin t§

15、12-4谐振动的能量对于弹簧振子，系统的能量E = Ek （物体动能）E = Ek Ep = 1mv2 - 1 kx2=p 22二；ml- Asin t ： i 2 gkAcos t ： i 212 22122m . A sin tkA cos t - i22,2(m = k)12=kA S2= 1kA222.2.in H)t '' ：cos ict:1212.2E = kA= -m0 A22(11-8)说明：（1）(2)虽然Ek、Ep均随时间变化，但总能量E 统只有保守力作功，机械能要守恒。EkVEp互相转化。当x=0时，Ep=0,Ek =0 Ep = Epmax = Eu

16、E 二 E ，一Ek Ep且为常数。原因是系Ek = Ek max = E o在x = A处,例12-6: 一物体连在弹簧一端在水平面上做谐振动，振幅为 A。试求 解：设弹簧的倔强系数为k,系统总能量为12E = Ek EkA2p 2Ek WEp的位置。Ek1Ek = Ep2 p时，有33 12Ep 二一Ep 二kx22 23212-kx = kA422x = A,3例12-7:如图所示系统，弹簧的倔强系数k = 25N/m,物块m1=°.6kgm1与m2间最大静摩擦系数为"=0.5 ,由与地面间是光滑的。物块 m2 = 0.4kg ,现将物块拉离平衡位置，然后任其自由振动

17、，使 有的最大振动能量是多少。解：系统的总能量为E =1 kA22Ekmax=EkA2E =02 （此时Ep 0）m2不致从m1上滑落时，须有m2a 三 m2gL皿在振动中不致从州上滑落，问系统所能具图 12-13极限情况amax = gJ = A-A 二纥二 gJmim2kl1 1Ek max = _ k ' gN22/2 , 2m1m212 g2= mim2 2k 2k12 9.82 0.52= - 0.6 0.4 = 0.48J225§ 12-5同方向同频率两谐振动合成一个物体可以同时参与两个或两个以上的振动。如：在有弹簧支撑的车厢中，人坐 在车厢的弹簧垫子上，当车厢振

18、动时，人便参与两个振动，一个为人对车厢的振动，另 一个为车厢对地的振动。又如：两个声源发出的声波同时传播到空气中某点时，由于每 一声波都在该点引起一个振动，所以该质点同时参与两个振动。在此，我们考虑一质点 同时参与两个在同一直线的同频率的振动。取振动所在直线为x轴，平衡位置为原点。振动方程为X = A cos t ； x2 = A2 cos t 2A、A2分别表示第一个振动和第二个振动的振幅；/、中2分别表示第一个振动和第二个振动的初相。8是两振动的角频率。由于X1、X2表示同一直线上距同一平衡位置的位移，所以合 成振动的位移x在同一直线上，而且等于上述两分振动位移的代数和，即图 12-15x = x1 x2为简单起见，用旋转矢量法求分振动一如图所示，t=0时，两振动对应的旋竹矢其为A、A2,合矢量为A = A'A2。A、A2以相同角速度6转动，：转动过程中A1与A2间夹角不变，可知A大小不变，并且A也学习必备欢迎下载以切转动。任意时刻t, A矢端在x轴上的投影为：x = x1 x2因此，合矢量A即为合