初中数学竞赛题汇编代数部分

1、初中数学竞赛题汇编（代数部 分）作者:日期:（代数部分1）年珠若酒阳且有口中学沈正中希编、解各例 1 若 n? = m+l, n2=n+l,且 mWn,求 m' + n，的值。解：由己知条件可知，m、n是方程/一工一 1=0两个不相等的根。，m+n=l, mn= -1m2+n2 = (m+n)2-2mn = 3 或 m2+n2=m+n+2 = 3 又二 m3 + n3=(m+n) (m2 - mn+n2)=4m5+n5=(m3+n3) (m2 + n2) (mn)2(m+n)= 11例2己知-+-=1 , a b c- + -+-=0«-U V w即 uv+vw+wu=0解：

2、设受，'=明则 a b cu+v + w=l由得Ifv+vw+wu c=a uvw将两边平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)= 1所以 u2+v2+w2=l即琮1+工=1 a b c例3己知炉+工3+/+犬+1 =0,那么1+x+x2+x3+x4+f。14 = o解：1+工+/+/+工4+ ./口 = (J + v+x2+X3+X4)+(X5+X6+X7+8+X9)4- +(彳201。+丫2011+/01 24.x2013+x2014) = (1 +X2+X3+X4)+X5( 1 +X+/+/+./)+ * , + /3。( 1 +x+X3+X4) = 0例4：证明循环小数2

3、,6154为有理数。证明：设2.6154 =X将两边同乘以100,得258.9325893x=9900261.54=100x一，得 99x=261.54-2.61例5：证明血塞无理数。证明（反证法）：假设0不是无理数，则血必为有理数，设播 =（p、q是互质的自然数），两边平方有p2 = 2q2，所以p一定是偶数，设p=2m（m为自然数），代入整理得q = 2m2, 所以q也是偶数。p、q均为偶数与p、q是互质矛盾，所以播 不 是有理数，即为有理数。例6:三和它;和-虎；矫口CO<a<l）。 42软9 =16,722 = 2=3_=a =记99 /。三.且后记,3也-4>T-：

4、幅&二32 = 9,（72）6 =23=8,.正0,血0,且9软.炳、叵一,叵.（3）a- a而y a - KO, a+l>0, 则加"屈。,BPa-<0例7：化筒（1）如十2而；（2） J4-厄如一碗诉康 ；（4）43 + 2后2"+24 ；解：（1）方法,11 + 2版=,9 + 2版+ 2 = 历 + 应）2 =3 +在I +y = 11, Uy = 18.或方讪醺=，笈十次，两边平方得:11 + 2/18 =z +y + 2Sy由此得|:|解之彳二:J11 +2A他=乖+垃=3+也8-2、后-=y （710-76）（23-41° + 4

5、力-2、2=）23-674（发 123 - 6 & f 2 厩=J11-2./18 =3-72.（4）切13+2后十2" + 2亚=祗+/+石，两边平方得:13十2>.柠十2-77 + 2-35二玄+y + z+2飞鬲十2、阮十x+y+z= 13之 刀牛 角由卜尸：yz = 71 zx = 35）13 + 2君 + 2" + 2而 6=77 +1 +=J加2十1十（1十加十犯1十1一（/十加所以=+ 3区 + 3酎 + 7 + 31- 3w + 短一-=玳1+芯 + -=(l + w) + (l-w) =2.(6)利用(a+b)3 = a3+b，+ 3ab(a

6、+b)来解答。x=灯20+14 十"20-14瓦两边立方得：d = 40 + 3泥2即 x-6x40=0将方程左边分解因式得(x-4)(x2+4x+ 10)=0因(x2+4x+10) = (x + 2)2+6>0 所以(x4)=0 ,即 x=4所120历十尤2012也=4例8：求根武,2-七十亚-亚十产的值.解:用构造方程的方法来解。设原式为利用根号的层数是无限的特点, 有m+ x = x，两边平方得2 - J2十x = x即2-1 =/2 + x. 继续两边平方得x4x2+4=2+x,即x4-4x2-x+2=0, 左边分解因式得(x+l)(x 2)(x? + x1)=0 求得

7、 X = -1, X2=2,X3=尸1 o 因 0<x<2,所以 x= - l、x = 2、x=一广应舍去,所以X=有7 即 ,2 -十也-/2+不 =君1 o 2 -2例9：设 至1的整数部分为x,小数部分为y,试求芯2+xy + y的值。、行+1 35 + 1)2 3+ 而 北-1J5-14220走11<1, 所以X=2,蟹， / /B:灯 + r= 4+ :x2X、' ： + (£ 1)4 +必1) +03-我=5o例10：已知x+y+z=3a (aWO,且x、y、z不全相等)，求(x - a)(y - a) + (y - a)(z - a) + (z

8、 - a)(x - a)(x - a)'、2 + (y a)2 + (z a)2=u ： + “；十, 且有己知有 u+v+w=O, 将 u+v + w = O 两边平方得 u2+v2 + w2+2(uv+vw+wu)=O由于 x、y、z 不全相等， 所以U、V、W不全为零，所以U + vZ + w?。，故(x _ a)(y _ a) + (y _ a)(z - a) + (z - a)(z - a) _ uv + vw + wu _ 1(x - a)2 +(y-a)2 + (z - a)2u2 + v2 +w22向 zn a-h /- 6户 - 2/+ 18/+ 231Vl/土例11

9、：己知x= J19.2J5,求匚£)的值。x -8x +15解：玄=719= J16 - 2 4 ,十 3 = 4 一招， 所以 x-4=J5,(X-4)2 =3, x2-8x+13=o ,所以，原式分子X，-6x-2x?+18x+23=(x4-8x3+1 3x2) + (2x3 -16x2+26x)+(x2-8x+13)+10 =x2(x2-8x+ 13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10= 10,原式分母 x28x+15 = (x2 8x+13)+2=2,10=5 + (y - a)2 + (z - a)2值。解：设 x a=u, ya=v, za=w,贝ij

10、/ -8x + 15例12：已知(x - a)(y - a) + (y - a)(z - a) + (z - a)(x - a)=1由小匕得 a+b-c=c, b+c a=a, c+a-b=b6rrl (a + b)(b+c)(c.4a)_ 2c#2a *2bn 以7; Ooabcabc当 a+b+c = 0 时，3 + b)(b+c)(3a)=(F)(1)C) =f abcabc方法2设止匕=上一=£铲=k,则caba+b = (k+l)c，b+c = (k+l)a，c + a=(k+l)b, +得 2(a+b+c)=(k+1) (a+b+c), 即(a+b+c) (k1)=0,

11、故k=l或a+b+c=O, 以下同上。例13：计算，_+_+ _+ +?1x2x3 2x3x4 3x4x52011X2012X2013解：+ +1x2x3 2x3x4 3x4x52011X2012X20133-14-25-32013-20111x2x3 2x3x43X4X52011X2012X20131 _ 1 1 _ 1 1 1 面 2323 3x4 荻厂衣 )+?!)2011X20122012X201371111 1 1 1 11x2 2x32x3 3x43X44X5 十 2011X20122012X201311202507712 2012X20134052156°例 14：分解

12、因式(1) x3-9x+8； (2) (x2+x+l)(x2+x+2)-12；o (3) (x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)； (4) x2+3xy+2y2+4x+5y+3。解：(1)方法 1： x3 - 9x+8=x3 -9x -1 + 9=(x3 -1) -9x+9=(x l)(x2+x+1)-9(x l)=(x- l)(x2+x8)方法 2： x39x+8=x3x 8x + 8=(x3x)+( 8x + 8) =x(x+ l)(x- 1)8(x- l)=(x- l)(x2 + x 8)方法 3： x?9x+8=9x3 8x39x + 8=(9x39x)+( 8x3+8)=9x(x

13、+ l)(x 1) 8(x l)(x2+x+1)=(x-l)(x2+x-8)方法 4： x39x+8=x3-x2+x29x+8=(x3 -x2)+(x2-9x+8)=x2(x- l)+(x -8)(x- 1) =(x-l)(x2+x 8)(2)设 x2+x=y,贝ij(x?+x+1 )(x?+x+2)-12=(y+l)(y+2)-l2 =y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5) =(x-1 )(X4-2)(X24-X4-5)(3) (x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)=(x+y)2-xy2-4xy(x+y)2-2xy> 令 x+y=u, xy=v,贝

14、ij(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)=(x+y)2-xy2-4xy(x+y)2-2xy=(u2-v)2-4v(u2-2v) = u4-6u2v+9v2 = (u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2 = (x2-xy+y2)2(4)方法 1：设 x?+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,比较两边对应项的系数，则有,m + n =4,1m + 2n = 5, 解之得 m=3, n=l.所以原式=(x+2y+3)(x+y+1). 方法 2： x2+3xy+2y2+4x+5y+3即=(x+y+1

15、) (x+2y+3) .222例 15：化简 LI匹_ + .一、+-*-(a + b)(a + c) (b + c)(b + a) (c + a)(c + b)解：因这个代数式的特性时轮换对称式，只要对其中的一项进行变形, 然后再对其他项进行轮换即可。一，. a?-be b2 - ca c2 - abMr 以+1(a + b)(a + c) (b + c)(b + a) (c + a)(c + b)a _b ( a c b a+b a+c b+c b+a c+a c+b”例 16：己知-+ i ,证明 a2+b2+c2=(a+bc)2。 a o c证明(分析法)：因(a+bc)2=a?+b2

16、+c2+2ab2bc2ca所以要证 a2+b2+c2=(a+bc)2只要证ab=ac+bc只要证c(a+b)=aba + b 1只要证 - = -(因为也为a、b、c都不为0)ab c即 1+1=2a b c最后的等式正好是题设，而以上推理每一步都可逆，故所求证的等 式成立.例 17：已知 a'+b'+c'+d-4abcd,且 a, b, c, d 都是正数,求证：a=b=c=d.证明：由已知可得 a'+b'+c'+d'- 4abcd=0,(a:-b=) 2+ (c2-d:) 2+2a2b:+2c:d2-4abcd=0,所以(a-b2)：

17、+ (c2-d2)2+2(ab-cd)：=0.因为(a2-b2)20, (c2-d2)20, (ab-cd) 220,所以 a2-b2=c2-d：=ab-cd=0,所以(a+b) (a-b) = (c+d) (c-d) =0.又因为a, b, c, d都为正数，所以a+bWO, c+dWO,所以 a=b, c=d.所以 ab-cd=a-c-=(a+c) (a-c)=0,所以a = c.故a=b = c=d成立.例18： m是什么整数时,方程(m2-l)x2-6(3m-l)x+72=0 有两个不相等的正整数根.解：首先，mSWO, m#±l. A =36(m-3)2>0,所以 mW3.用求根公式可得, x2 = -.由于Xi, X2是正整数，r所以 m-l = l, 2, 3, 6； m+l=l, 2, 3, 4, 6, 12, 解得 m=2.这时 X|=6, X2=4.例 19：已知 a+ - = b + - = c + - , a#bWc 求证：a2b2c2=l o b c a证明：由己知得：a-b= =， 所以be =-7 ，co bea-b同理得ca =产，ab = , b-cc-a所以 ab be ca= - X