直线的倾斜角与斜率教案及说明

1、直线的倾斜角与斜率的教学设计一、教学目标1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程。2、通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面，刻画直线相对于 x 轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想。4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。二、教学重点与难点重点：1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念；2 、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式；3 、体会数形

2、结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用。难点： 用代数方法推导斜率的过程。三、教学方法计算机辅助教学与发现法相结合。 即在多媒体课件支持下， 让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。四、教学过程（一）创设情境，揭示课题问题1、（出示幻灯片）给出的两点 P、Q相同吗?从形的角度看，它们有位置之分，但无大小与形状之分。从数的角度看，如何区分两个点？（用坐标区分）问题2、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点 （如点P） 可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线， 除了再用一点外，还 有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何

3、量？ （估计不少学生能意 识到需要有一个角）由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式（1）已知直线上两点 （2）已知直线上一点和直线的倾斜程度问题3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就 必须还有一条形成角的参照的直线。 在平面直角坐标系下，以哪条轴 线为基准形成刻画倾斜程度的角？（学生可能回答 x轴或y轴）以x轴或y轴为基准都可以，习惯上我们用 x轴 问题4、过点P与x轴形成45。角的直线有几条?（学生可能答一条或两条，投影 演示结果）如何区分清楚这两条直线 呢？估计学生能想到还需要确定方 向。选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能保证坐标系下的任何一 条直线都有唯一的角与它

4、对应呢?（教师引导学生选取不同的方向来描述角，并区分Li与L2）。数学概念来刻画事物时，讲求统一美与简洁美，如何用数学语言 准确描述这个角呢？（揭示课题）1、倾斜角的定义：在直角坐标系下，以X轴为基准，当直线l与x 轴相交时，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角0t ,叫做直线i的学生练习画出过点P的各种倾斜角的直线。i yo学生容易忽略与X轴平行的直线，补出图（4）,问倾斜角在哪儿 如何规定?规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为 0 口。自然有倾斜角的范围是0801）这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角： 与它对应。倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直

5、 线，其倾斜角不相等。以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内 一条直线的倾斜程度（二）巩固旧知，同化新知生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，对于斜坡的倾斜程度,可以用什么量来反映？（坡角与坡度）初中对坡度是如何定义的？升高量坡度（比）二（即坡角”的正切值）前进量当坡角口增大时，坡度如何变化？当坡角u=90吗0。时，升高量、前进量分别是什么？坡度又分别是什么？坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线 的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率。2、斜率：倾斜角不是90叩勺直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。即k = tan ：（二二90二）问题5、当口为钝角时，直

6、线的斜率如何求？（转化到其补角 日上）口 = 1800 -日（日是锐角）k = tan ： = tan（180- - 口）= - tan 口如：倾斜角=120 1则斜率k = - 3问题6、当口在0 °, 180 °）内变化日斜率k如何变化?问题7、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度，哪个量更优越呢?倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度，而斜率是比值，实质是数值， 它能从数的角度反映倾斜的程度，显然用斜率更细致入微些。（三）尝试推导，深化认识两点确定一条直线，可见由两点也就确定了直线的倾斜程度， 即 倾斜角与斜率。看来，直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系。 问题8、在平面直

7、角坐标系中，已知直线上两点 Pi （xi, y。，P2（X2, v2且xi = X2,能否用Pi、P2的坐标来表示直线斜率k?（学生活动）：随意在坐标系下画两点Pi、沁及直线Pi P2,探究各种 图形并尝试推导，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中， 类似升高量，前进 量，用点的坐标表示线段长，并请同学叙述各个图的推导过程与结果。解：设直线Pi P2倾斜角为口（。#90°）当直线Pi P2方向向上时，过点Pi作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线交于点 Q则点Q为(X2, yi)(1)当 a 为锐角时，0t=NQPiP2, Xi

8、 < X2 , yi<y2在 RtP1P2Q 中，tanot = tan/QP F2 = y2y1P Q X2 x1(2)当 0(为钝角时，豆=1800-e (设/QP1P2=e), Xi<X2, yi <y2tan.：i =tan(180 -) = -tan在 R3P1P2Q 中，tan6 =典=上"=一七"二 QP1X2 xX2 x1.tan：. =y_H (可让学生分组推导) X2 -X1同理，当直线RR方向向上时，无论为锐角或钝角，也有tana =11,即卜=!1 X2 -X1X2 - X1思考：1、各种一般情形得出的结论一致吗？与P1、R这

9、两点坐标顺序有关系吗？2、当直线垂直于x轴或y轴时，上述结论适用吗？3、斜率公式使用时应注意什么问题？巩固练习：求经过下列两点直线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝角。(1) A (3,2) ,B (-4,1 ) (kAB= A (3,2) ,B (4,1 ) (kAB = -1)(3) A (3,2) ,B (3,-1 )(不存在)(4) A (3,2) ,B (-4,2 ) 小=0)（四）反思小结，概括提炼 （同学们这节课有何收获？）1、明确了确定直线位置的几何要素。2、理解了刻画倾斜程度的量（倾斜角与斜率），知道了求斜率的两种方法（定义法、坐标法）k = tan ：=立一y1X2 Xi3、

10、经历了代数方法刻画斜率的过程，感受了数形结合与分类讨论的数学思想（五）板书设计直线的倾斜角与斜率1、倾斜角的定义I（学生展示推导斜范围0 °, 180 °）率公式的图形）II2k =tanu （U #90 °）1IIIa为钝角时，k = tan: - tan（180 - 1 - - tan【:（六）作业：自学课本P85：例1、例2；作业本：%: 1、2、3。【教案说明】直线的倾斜角与斜率一、教学内容与地位作用解析本节课是新人教版A版高一数学必修（2）的节的内容。1、内容分析本节课的主要内容有两个概念（直线的倾斜角、直线的斜率） 及一个公式（斜率计算公式）直线的倾斜

11、角是反映直线倾斜方向的量， 它也是确定直线位置的 一个重要的几何要素，它实质上能从“形”的角度刻画直线的倾斜程 度。直线的斜率指倾斜角不是90。的直线，其倾斜角的正切值叫做这 条直线的斜率。教材是从生活中斜坡的坡度迁移到直线的斜率概念 的。直线的斜率可看作是比值，实质上是数值，所以直线的斜率从本 质上可看成是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。华罗庚先生说过： 数数缺形时少直观，形少数时难入微”。显然，与倾斜角相比，用斜 率刻画倾斜程度会更细致。关于过已知两点的直线斜率公式：因为过两点的直线是唯一确定 的，所以其倾斜程度也就确定（即直线的斜率也是确定的）。从而在直角坐标系中，直线的斜率与直线上两

12、点的坐标就有密不可分的联 系。斜率k =22二工不仅反映了这种联系，并用代数方法表示了出来，X2 - Xi而且在公式的推导中蕴含了分类讨论、 数形结合、化归等重要数学思 想。2、地位作用分析本节课是高中解析几何部分的起始课，学生具备的知识基础是在 直角坐标系中会用坐标表示点，明确了坐标平面上的点与有序数对可 建立一一对应的关系。这节课的教学内容，不仅能反映出数学概念离 不开生活，数学是自然有用的，而且蕴含了几何问题代数化的思想， 从知识点及研究方法上，为后继判断两条直线的位置关系以及建立直 线的方程等内容起着关键性的铺垫作用。二、教学目标解析1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾

13、斜程 度的几何量的形成过程；2、通过教学，使学生从生活中坡度自然迁移到数学中直线的斜 率的过程，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的， 从而渗透辩证唯物主义思想；3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想；4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点 的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。 三、教学问题诊断分析1、关于倾斜角的概念：为什么要引入倾斜角？如何描述这个角？ 这些地方都是教学中易忽略的，也是学生最难理解的地方。直接给出 倾斜角的定义，会使学生误认为数学概念就是绝对抽象的， 你只要

14、接 受就可以了，这样我们就把活生生的、自然的数学演变成高不可攀的， 为聪明人准备的学科，会渐渐使许多学生变得被动学习，缺乏数学学 习兴趣及自信心。所以，在引入这节课时，应重点让学生感受引入倾 斜角的必要性，要描述清楚倾斜角必须规定“基准”与“直线方向”， 从而能自然地、准确地描述清楚定义。2、对于斜率，学生基本上能从斜坡的坡度中顺利迁移过来，当 倾斜角为90吸0用寸可以特殊认识，当倾斜角为钝角时（与斜坡稍有不同）斜率的求法应重点分析，突出转化思想的同时，引导学生认识P83页的脚注，使学生对所有直线的斜率情况有全面的认识。另外，倾斜角和斜率分别是从“形”与“数”的不同方面刻画直 线的倾斜程度，相

15、比较斜率更具有优越性。3、斜率计算公式的得出，学生有两点不易把握。一方面，怎样 将两点坐标与tana相联系；另一方面，图形分析不够全面。对前者， 可提供学生探究发现的机会，对后者教师可先让学生在直角坐标系下 联想坡度，找升高量与前进量，再引导其转化为坐标表示。公式的推导过程是多数学生能独立解决的， 教学中应放手让学生 推导并体会数形结合与分类讨论的思想，有助于培养学生研究问题的 独立性、条理性、全面性。教学重点：1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念；2 、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式；3 、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用。教学难点：用代数方法推导斜率的过程。四、本节

16、课的教学方法：计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下，让学 生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验 公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。五、教学过程设计（一）创设情境，揭示课题问题1、给出的两点P、Q相同吗？如何区分这两个点？问题2、过这两点可作什么图形？只经过其中一点（如点 P）可作多 少条直线？若只想定出其中的一条直线， 除了再用一点外，还有其他 方法吗？可以增加一个什么几何量？【设计意图】引导学生归纳确定直线位置的几何要素问题3、角的形成还需一条线。即要有刻画倾斜程度的角，就必须还 有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下，以哪条轴线为基 准形成

17、刻画倾斜程度的角？问题4、过点P与x轴形成45嘀的直线有几条？如何区分这两条直 线？选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能保证坐标系下的任何 一条直线都有唯一的角与它对应呢？【设计意图】倾斜角的形成离不开“基准”与“直线方向”的规定， 同时让学生感受数学概念是自然的以及数学定义的统一美与简洁美， 从而提示本节课的课题。K学生练习R画出过一点的各类倾斜角的直线，并完善倾斜角的定义。（二）巩固旧知，同化新知根据学生的生活经验，将坡度自然迁移到斜率的概念上， 通过坡 角（倾斜角）的变化，感受斜率的变化，使学生认识到数学概念是亲 切的，激发其求知欲。问题5:生活中坡角没钝角，当支为钝角时，直线的斜率如何

18、求？ 【设计意图】使学生会用转化思想求口为钝角时的斜率，明确课本脚 注的用法。问题6、当口在0 °, 180 °）内变化日斜率k如何变化?【设计意图】更条理、更全面地认识斜率与倾斜角的变化关系。问题7、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度，哪个量更优越呢？【设计意图】突出斜率刻画倾斜程度的优越性是更细致入微，使用方便简洁。（三）尝试推导，深化认识两点确定唯一一条直线，可见由两点也就确定了直线的倾斜程 度，即倾斜角与斜率。看来，直线上两点与直线的斜率有着密不可分 的联系。问题8、在平面直角坐标系中，已知直线上两点：Pi （xi, yi）, P2 （X2, V2且xi # X2,能否用Pi、P2的坐标来表示直线斜率k?（学生活动）：在坐标系下画两点Pi、R及直线PiP2,探究各种图形 并尝试推导。教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中，类似升高量与前进量，用点的坐标表示线段长，请同学叙述各个图的推导 过程与结果。【设计意图】给学生提供充分的自主探索的时间与空间， 克服公式推 导中不易把握的两点（I、两点坐标与tan久的联系；2、图形分析不全 面），培养数形结合与分类讨论的思想，促进思维的独立性、全面性， 逻辑性。思考：I、各种情形得出的结论一致吗？与两点坐标顺序有关系吗？2、当直线垂直于x轴或y