椭圆定义及应用

1、、椭圆第一个定义的应用椭圆的第一个定义平面内有两个定点Fi、F2,和一个定长2a。若动点P到两 个定点距离之和等于定长 2a,且两个定点距离|FiF2|<2a.则动点轨迹是椭圆。两 个定点Fi、F2称为椭圆的焦点。图2-11由此定义得出非常重要的等式I中用1+ 星卜加，其中p为椭圆上一个点。此等式既表明作为椭圆这个点的轨迹的来源，也说明椭圆上每一个具有的共同性质。即椭圆上每一个点到两个焦点距离之和等于定长 2a .在有关椭圆的问题中，若题 设中含有有关椭圆上一点到两个焦点距离的信息，首先考虑的就是能否用上这个 关系式。应用举例例1.已知点Fi( 3,0) , F2(3,0)，有PF1 |

2、PF2 6,则P点的轨迹是.计算量都很大，解题过程冗 PF1为另一个圆半径的2倍，解评：此题若用一般方法解或用椭圆参数方程解答, 长，属于中档题。我们若抓住 PE为一个圆直径, 用公式 PF1代色上加，很容易得出正确解答。工* y -1例3. Fi、E是椭圆为 2?"的两个焦点，P是椭圆上一点，F瓦求端左风的面积.24解评：题设中有椭圆上一点到两个焦点间距离的信息，即可试探是否能用 |网+|段|=2 解决22例是椭圆 匕1上位于第一象限内的点,Fi、F2是椭圆的左、右焦点，若 45 20咫"风则PR内2的值为()c 2.5D.3一1 A. 6.5B. 2.5C. 53例5.

3、在圆C:(x 1)2 y2 25内有一点A(1,0),Q为圆C上一点,AQ的垂直平分线线段CQ的交点为M,求M点的轨迹方程.练:一动圆与圆O o1 ： X2+y2+6x+5=0 外切，同时与。2 : x2+y2_ 6x _ 91=0 内切, 求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。2例6.已知定点A ( 2, J3 ),点F为椭圆 1621的右焦点，点M在该椭圆上移动时,12求| AM| 十 | MF |的最小值与最大值。J P例7.设P是直线x-y+9=0上一点,过P点的椭圆以Fi (-3, 0)和F2 (3,0)为焦点, 试求P点在什么位置时，所求椭圆的长轴最短，并写出 具有最短长

4、轴的椭圆的方程。解评：(1)转化思想是高中数学重要的数学思想，此题把求长轴最短值转化为求|尸耳| + |巴修|的最小值，再转化为求Fi关于直线x-y+9=0的对称点。这样做后, 思路清晰，条理分明，计算简捷。、椭圆第二个定义的应用应用举例例1.椭圆焦点Fi (-c, 0) , F2 标为X0,求M点的两个焦半径解：过M作右准线的垂线I 1= - -x0)c 根据椭圆第二定义卜 £(土一飞) 口一二瓦 a c同 理 可 得| MFV |-51|- e(+ jc0) - + 目/G =,(c, 0),离心率 以M是椭圆上一点，其横坐|MFi| 和 |MF2| 之长.MM2,则解评(1)解

5、析几何中很容易求出平行于坐标轴的线段长，因此椭圆上一点到准线的距离易求，某点的焦半径I网叫叫I结果易见。题设中若有某点的焦半 径信息，用第二定义解题可得事半功倍之效。(2)此题的结果1峥卜白打珀I峥卜”叼，与第二定义等式I网H I胸都可作为公式加以应用匚¥例2.椭圆6 z21的右焦点，点M在该椭圆121上一点P到左准线的距离等于2,求P到右焦点距离。解：，. J :I2瓦|2白- 2火京-35|尸苒卜21-|F4|=2第/野斗R解评 此题使用了椭圆的两个定义.2例3.已知定点A （ 2,褥），点F为椭圆土16上移动时，求| AM| + 2| MF |的最小值、同步检测1 .椭圆100

6、 36 上一点P到左、右两焦点距离之比为1： 3,则P到左准线的 距离是（）22525C.D.22 .短轴长为芯,离心率为的椭圆的两个焦点分别为Fi和F2 .过Fi作直线交椭3.已知椭圆4-圆于A、B两点，则8匹勺周长为（）上一点P到右焦点的距离为b,则P到左准线的距离是（）4 .已知椭圆的焦点Fi （-1, 0） , F2 （1, 0） , P是椭圆上的一点,且|FiF2|是|PF2| 与|P F1|的等差中项，则该椭圆的方程是（）是椭圆9§上的动点，过点P作椭圆长轴的垂线，垂足为 M,则PM中点的轨迹方程是（）9595C. + -1D. +-19 2036 5答案及提示提示:JI?玛|3|咫|1. 1%| +陷尸 2O,|PF1|=51525|尸白|=一|F骂卜丁 5 = 了 e442b = 45、£=2、口' = 5'寸 J 借口 =2. 1-A4M周周长=|乂月| 十 |5用I + W凡|+|居|=%=6c - VsF, e - -.3. 二|PJ5|= 2a-PF2=4b-b=然免 2、序.4.