初一数学绝对值知识点与经典例题

1、绝 对 值 的 性 质 及 化 简【绝对值的几何意义】一个数a的绝对值就是数轴上表示数 a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a .(距离具有非负性)【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.注意：取绝对值也是一种运算，运算符号是“|"，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相 反数；0的绝对值是0.绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5符号是负号，绝对值是5.【求字母a的绝对值】a(a _0)-a(a

2、：二0)a(a 0)-a(a<0)a(a 0) a =j0(a =0) a| =a(a ：0)利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小绝对值非负性：|a| >0如果若干个非负数的和为 0,那么这若干个非负数都必为 0.例如：若 a+b+c=0,则a=0, b=0, c -0【绝对值的其它重要性质】(1)任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数, 即a2a,且a之一a ；若|a=b,贝良-或2=力；(3) ab| =|a b ； a =" (b =0);(4) | a| (a 尸a ;(5) |a|-|b| <|a+b|<|a

3、|+|b|a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离.ab的几何意义：在数轴上，表示数 a . b对应数轴上两点间的距离.【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定 正负，去符号。【绝对值不等式】(1 )解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解；(2)证明绝对值不等式主要有两种方法：A)去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法；B)利用不等式：|a|-|b|三|a+b|三|a|+|b| ,用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、.使要证的式子与一已知的式子联系起来。【绝对值必考题型】例 1:已知 |x 2| + |y 3|

4、 =0,求 x+y 的值。解：由绝对值的非负性可知 X 2=0, y 3 = 0；即： x=2, y=3;所以x+y=5判断必知点：相反数等于它本身的是0倒数等于它本身的是±1绝对值等于它本身的是非负数【例题精讲】（一）绝对值的非负性问题1 .非负性：若有几个非负数的和为 0,那么这几个非负数均为 0.2 .绝对值的非负性；若 a +b +c =0 ,则必有a=0 , b=0, c=0 【例题】若 乂+3+|丫+1 + 2+5=0,则乂 一 丫-2 =。总结：若干非负数之和为 0,。【巩固】若m十3+n 7 +2 2p 1 =0 ,则p+2n +3m =【巩固】先化简，再求值:3a2

5、b-2ab2 - 2(ab - 3 a2b)2ab_2/其中 a、b满足 a +3b+1 +（2a 4）2 =0.（二）绝对值的性质【例1】若a<0,贝U 4a+7|a|等于（）A . 11aB. -11aC . -3aD . 3a【例2】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（）A. 1, 0B.正数C.非正数D.非负数【例3】已知|x|=5 , |y|=2 ,且xy>0,则x-y的值等于（）A . 7 或-7B , 7 或 3 C , 3 或-3D , -7 或-3【例4】若一 =1 ,则*是(XA.正数B.负数C.非负数D.非正数【例5】已知：a>0, b<0,

6、 |a|<|b| < 1,那么以下判断正确的是()A. 1-b >-b >1+a >aB . 1+a >a> 1-b >-bC. 1+a > 1-b >a>-bD . 1-b > 1+a >-b >a【例6】已知a. b互为相反数，且|a-b|=6 ,则|b-1|的值为()A. 2B, 2 或 3 C , 4D , 2 或 4【例 7】a<0, ab<0,计算 |b-a+1|-|a-b-5|,结果为()A. 6B. -4C . -2a+2b+6D. 2a-2b-6【例8】若|x+y|=y-x ,则有

7、()A. y>0, x<0B, y<0, x>0C. y< 0 , x<0D , x=0 , y)(My=0 , x <0【例 9】已知：x<0<z, xy >0 ,且 |y| > |z|> |x|,那么 |x+z|+|y+z|-|x-y| 的值()A.是正数B.是负数C.是零D.不能确定符号【例10】给出下面说法：(1)互为相反数的两数的绝对值相等；(2) 一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；(3)若 |m|>m,则 m<0;(4)若|a|>|b|,则a>b,其中正确的有()A.(1)(2)(

8、3) B.(1)(2)(4)C.(1)(3)(4)D.(2)(3)(4)【例11】已知a, b, c为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c-b|-|b-a|-|a-c|=【巩固】知 a、b、c、d都是整数，且-1 c 0 a 1 b|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|=2,求 |a+d| 的值。【例 12若 x<-2 ,则 |1-|1+x|=1_ 12007 2006右|a|=-a ,贝U |a-1|-|a-2|=【例13】计算L_i +l_t +.2|3 2【例 14 若 |a|+a=0 , |ab|=ab , |c|-c=0 ,化简：|b|-|a+b|-|c-

9、b|+|a-c|=【例15】已知数a,b,c的大小关系如图所示，,1 .b0 ac则下列各式：_abc b+a +（-c） >0；（a） b+cA0；:+上+ _=1； bc a0； a b ca b c +b + a c = -2b 其中正确的有（请填写番号）【巩固】已知： abc中0M =1同+U+9，当a, b, c取不同值时，M有 a b c种不同可能.当a、b、c都是正数时，M=;当a、b、c中有一个负数时，则 M=;当a、b、c中有2个负数时，则 M=;当a、b、c都是负数时，M=.一 abcabc .一【巩固】已知a, bc是非零整数，且 a+b+c=0 ,求十的值 1a

10、1b cabc（三）绝对值相关化简问题（零点分段法）零点分段法的一般步骤：找零点一分区间一定符号一去绝对值符号.【例题】阅读下列材料并解决相关问题：x x 0我们知道x =0（x=0 ）,现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，I x x ：0如化简代数式 x 1 x -2时，可令x +1 =0和x 2 =0 ,分别求得x = T, x =2 （称一1,2分别为 x +1与x 2的零点值） ,在有理数范围内，零点 值x =-1和x =2可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：当 x < r 时，原式=(x +1 )(x -2 ) = -2x +1当x<2 时，原式

11、=x +1 -(x -2 )=3 当 x>2时，原式=x+1+x2=2x1-2x 1 x ： 一1综上讨论，原式=3(1Wx<2)2x -1 (x > 2 )（1）求出x +2和x 4的零点值（2）化简代数式x +2 +|x 4解：（1） |x+2|和|x-4|的零点值分别为x=-2和x=4. ?（2）当 x<-2 时，|x+2|+|x-4|=-2x+2;?当-20*<4 时，|x+2|+|x-4|=6;?当*4 时，|x+2|+|x-4|=2x-2.【巩固】化简1. x +1 +|x +2 2. m +|m -1 +jm -2 的值3. x+5 +2x-3 .

12、4.（1） 2x -1 ;变式5.已知x 3 + x +2的最小值是 a, x _3 _ x 22.的最大值为b ,求 a + b的值。（四）a -b表示数轴上表示数 a、数b的两点间的距离.【例题】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与一2, 3与5,2与一6, 4与 3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为一1A顺B两点间的距离可以表示为二（3）结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为，取得最小值时x的取值范围为.满足x +1 + x+4 >3的x的取值范围为.若x 1 + x 2

13、 + x -3 +川+,x 2008的值为常数，试求x的取值范围.（五）、绝对值的最值问题例题1:1）当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？?2）当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？?3）当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？?4）当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？例题2: 1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？?2）当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？?3）当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？?4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？

14、若想很好的解决以上 2个例题，我们需要知道如下知识点：、1）非负数：0和正数，有最小值是 02）非正数：0和负数，有最大值是 03）任意有理数的绝对值都是非负数，即-轴| X0,则4） x是任意有理数，m是常数，则 |x+m| > 0,有最小便是-|x+m| 0晴最大值是0（可以理解为 x是任意有理数，则 x+a依然是任意有理数，如|x+3|-|x+30, <0或者 |x- 1| > 0-|x- 1| < 0）5） x是任意有理数，m和n是常数，则 |x+m|+n > n ,有最小偷是 ?-|x+m|+n < n ,有最大值是n（可以理解为|x+m|+n 是

15、由|x+m|的值向右（n>0）或者向左（n<0）平移了 |n|个单位， 为如|x-1| > 0,咽-1|+3 > 3,相当布-1|的值整体向右平移了 3个单位，|x-1| > 0, 有最小值是 0,则|x-1|+3 的最小值是3）总结：根据3）、4）、5）可以发现，,列题1 : 1）爱就麻晒> |x-1|有唧忡,短好似嘱聋少？?2）当x取何值时，有M-l+夸匣邮域卷匐询M直是多少？?3）当x取何值时，|x-1|-3 有最小3,这个最小值是多少?4）当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？解：1）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|有最小值

16、是0?2）当x-1=0 时，即x=1时，|x-1|+3 有最小值是 3?3）当x-1=0 时，即x=1时，|x-1|-3 有最小值是-3?4）此题可以将-3+|x-1|变形为|x-1|-3 ,即当x-1=0 时，即x=1时，|x-1|-3?有最小值是-3例题2: 1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？?2）当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？?3）当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？?4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？解：1）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|有最大值是0?2）当x-1=0 时，即x

17、=1时，-|x-1|+3 有最大值是3?3）当x-1=0 时，即x=1时，-|x-1|-3 有最大值是-3?4）3-|x-1|可变形为-|x-1|+3 可知如2）问一样，即：当 x-1=0 时，即x=1时，?-|x-1|+3 有最大值是3 （同学们要学会变通哦）思考：若x是任意有理数，a和b是常数，则1） |x+a|有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时 x值是多少？2） |x+a|+b 有最大（小）值？最大（小）值是多少？止匕时 x值是多少？3）-|x+a|+b 有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时 x值是多少？例题3:求|x+1|+|x-2|的最小值，并求出此时 x的取值范围分析：我

18、们先回顾下化简代数式|x+1|+|x-2|的过程：可令x+1=0 和x-2=0 ,得x=-1和x=2 （-1和2都是零点值）在数轴上找到-1和2的位置，发现-1和2将数轴分为5个部分1） ?当 x<-1 时，x+1<0 , x-2<0，贝U |x+1|+|x-2|=-（x+1 ）-（x-2）=-x-1-x+2=-2x+12） ?当 x=-1 时，x+1=0 , x-2=-3 ,则 |x+1|+|x-2|=0+3=33） ?当-1。<2 时，x+1>0 , x-2<0 ,贝U |x+1|+|x-2|=x+1-（x-2）=x+1-x+2=34） ?当 x=2 时

19、，x+1=3 , x-2=0 ,则 |x+1|+|x-2|=3+0=35） ?当 x>2 时，x+1>0 , x-2>0 ,贝U |x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1我们发现：当 x<-1 时，？|x+1|+|x-2|=-2x+1>3当-1Wx02 时，|x+1|+|x-2|=3当 x>2 时，|x+1|+|x-2|=2x-1>3所以：可知|x+1|+|x-2|的最小值是3,此时：?-1 <x<2解：可令x+1=0 和x-2=0 ,得x=-1和x=2 （-1和2都是零点值）则当-1<x<2时，|x+1|+|x-2|的

20、最小值是3评：若问代数式|x+1|+|x-2|的最小值是多少？弁求x的取值范围？ 一般都出现填空题居多；若是化简代数式|x+1|+|x-2|的常出现解答题中。所以，针对 例题中的问题，同学们只需要最终记住先求零点值，x的取值范围在这2个零点值之间，且包含 2个零点值。例题4:求|x+11|+|x-12|+|x+13| 的最小值，并求出此时x的值？分析：先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13| 的过程?可令 x+11=0 , x-12=0 , x+13=0? 得 x=-11 , x=12 , x=-13 (-13, -11,12 是本 题零点值)1 ) ?当 x<-13 时

21、，x+11<0 , x-12<0 , x+13<0 ,贝U |x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-122) ?当 x=-13 时，x+11=-2 , x-12=-25 , x+13=0 ,贝U |x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=403) ?当-13*-11时，x+11<0 , x-12<0 , x+13>0 ,贝U |x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+144) ?当*=-11 时，x+11=0 , x-12=-23 , x+13=2 ,则 |x+1

22、1|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=255) ?当-11*12时，x+11>0 , x-12<0 , x+13>0 ,贝U |x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+366) ?当 x=12 时，x+11=23 , x-12=0 , x+13=25 ,则 |x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=487) 当 x>12 时，x+11>0 , x-12>0 , x+13>0 ,贝U |x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12可知：当 x<-13 时

23、，？|x+11|+|x-12|+|x+13|=-3x-12>27当 x=-13 时，？?？|x+11|+|x-12|+|x+13|=40当-13<x<-11 时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x+14,25<-x+14<27当 x=-11 时，？?|x+11|+|x-12|+|x+13|=25当-11<x<12 时，？|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+36?,?25<x+36<48当 x=12 时？?？|x+11|+|x-12|+|x+13|=48当 x>12 时，？?？|x+11|+|x-12|+|x+13

24、|=3x+12>48观察发现代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25,此时x=-11解：可令 x+11=0 , x-12=0 , x+13=0? 得 x=-11 , x=12 , x=-13 (-13, -11,12 是本题零点值)将-11,12 , -13从小到大排列为-13<-11<12可知-11处于-13和12之间，所以当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13| 有最小 值是25。评：先求零点值，把零点值大小排列，处于最中间的零点值即时代数式的值取最小值。例题4:求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4| 的最小值分析：回顾

25、化简过程如下令 x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0则零点值为 x=1?,x=2,x=3,x=4(1)当 x< 1 时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10(2)当 10x<2 时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8(3)当 20x<3 时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4(4)当 30x4 时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2(5)当 x)4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10根据x的范围判断出相应代数式的范围，在取所有范围中最小的值，即可求出对应的

26、x的范围或者取值解：根据绝对值的化简过程可以得出当 x<1 时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10>6当 10x<2 时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8?4< 2x+8 <6当 20x0 时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4当 30x4 时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2?4<2x-2? <6当 x)4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10 >6则可以发现代数式的最小值是4,相应的x取值范围是20x03归档总结：若含有奇数个绝

27、对值，处于中间的零点值可以使代数式取最小值若含有偶数个绝对值，处于中间2个零点值之间的任意一个数(包含零点值)都可以使代数式取最小值？例题5:求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？分析：在数轴上表示出A点-13 , B点-11 , C点12设点D表示数x贝U DA=|x+13|?DC=|x+11|?DB=|x-12|当点 C 在点 A 左侧如图 DA+DB+DC=DA+DA+AB+DA+AB+BC=ACDABCa-13-1112x当点A与点D重合时，DA+DB+DC=AB+AC >AC当点D在点AB之间时，如图 DA+DB+DC=DA+DB+DB+BC&g

28、t;ACA DBC._-_.>-13 x -1112x当点D与点B重合时，DA+DB+DC=AB+AC=AC当点 D 在 BC 之间如图 DA+DB+DC=AB+BD+DB+DC=AC+BD >AC4BDC>-IS-11 x12x当点D与点C重合时,DA+DB+DC=AC+BC>AC当点 D 在点 C 右侧时 DA+DB+DC=AC+CD+BC+CD+CD >AC综上可知当点D与点B重合时，最小值是 AC=12- (-13 ) =25解：令 x+11=0?x-12=0?|x+13=0贝 U x=-11?x=12x=-13将-11? , 12 , -13从小到大排练

29、为-13 <-11 <12:当x=-11 时，|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是点 A (-13)与点 C (12)之间的距离即 AC=12-(-13)=25【例题6】|x-1|的最小值|x-1|+|x-2|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4| 的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6| 的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值|x-1|+|x-2|

30、+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|+|x-10|的最小值【解】：当x=1时，|x-1|的最小值是0 当1WxW2时，|x-1|+|x-2|的最小值1 当 x=2 时，|x-1|+|x-2|+|x-3| 的最小值 2=2+0当 20x03 时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值 4=3+1当 x=3 时，|x-1|

31、+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值 6=4+2当 3Wx04 时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6| 的最小值 9=5+3+1当 x=4 时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值 12=6+4+2当 4Wx05 时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值 16=7+5+3+1当 x=5 时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值 20=8+6+4+2当 5Wx06 时，|x-1|+|x-2|+

32、|x-3|+|x-8|+|x-9|+|x-10|的最小值 25=9+7+5+3+1【解法2】：捆绑法|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|+|x-10|=(|x-1|+|x-10| ) + (|x-2+|x-9| ) + (|x-3|+|x-8| ) + (|x-4|+|x-7| ) + (|x-5|+|x-6| )若|x-1|+|x-10|的和最小，可知x在数1和数10之间|x-2+|x-9|的和最小，可知数 x在数2和数9之间|x-3|+|x-8|的和最小，可知数 x在数3和数8之间|x-4|+|x-7|的和最小，可知数

33、x在数4和数7之间|x-5|+|x-6|的和最小，可知数 x在数5和数6之间:若想满足以上和都最小，数x应该在数5和数6之间的任意一个数(含数5和数6) 都可以。总结：若含有奇数个绝对值时，处于中间的零点值可以使代数式取最小值若含有偶数个绝对值时，处于中间2个零点值之间的任意一个数(包含零点值)都可以使代数式取最小值或者说将含有多个绝对值的代数式用捆绑法求最值也可以若想求出最小值可以求关键点即可求出【例题7(1)已知|x|=3 ,求x的值(2)已知|x| < 3x前取值范围(3)已知|x|<3,求x的取值范围(4)已知|x| > 3x前取值范围(5)已知|x|>3,求x

34、的取值范围【分析】：绝对值的几何意义是在数轴上数x到原点的距离，(1)若 |x|=3 ,则 x=-3 或 x=3(2)数轴上-3和3之间的任意一个数到原点的距离都小于3,若|x| < 3-3B x<3(3)若 |x|<3,则-3<x<3(4)数轴上-3左侧和3右侧的任意一个数到原点的距离都大于3,若|x|)P3,x43或x )3(5)若 |x| >3,则 x<-3 或 x>3【解】：(1 ) x=-3 或 x=3(2)- 3< x<3(3)-3 <x< 3(4)x -3 或 x >3(5)x < -3 或 x&

35、gt; 3【例题 8】(1)已知|x| < 3,则满足条件的所就勺整数值是多少？且所有整数的和是多少？(2)已知|x|<3,则满足条件的x的所有整数值是多少？且所有整数的和是多少？【分析】：从-3到3之间的所有数的绝对值都03所以( 1 )整数值有-3 ， -2 ， -1,0,1,2,3 ；和为 0?( 2)整数值有-2 ， -1,0,1,2 ；和为 0【解】:(1) . |x| <3?.-3w x<3?' x为整数;满足条件的x值为：-3, -2 , -1,0,1,2,3：-3+-2+-1+0+1+2+3=0二冈 3 ? .-3 <x< 3?

36、9; x为整数x 值为： -3 ， -2 ， -1,0,1,2,3.-3+-2+-1+0+1+2+3=0【乘方最值问题】1 )当2)当3)当4)当5)当6)当7)当当 当 当当当a 取何值时，代数式( a 取何值时，代数式 a 取何值时，代数式 a 取何值时，代数式 a 取何值时，代数式 a 取何值时，代数式 a 取何值时，代数式a-3)2? 有最小值，最小值是多少？?(a-3)2+4 有最小值，最小值是多少？(a-3)2-4 有最小值，最小值是多少？-( a-3)2? 有最大值，最大值是多少？-(a-3)2+4 有最大值，最大值是多少？-(a-3)2-4 有最大值，最大值是多少？4-(a-3

37、)2 有最大值，最大值是多少？分析：根据a 是任意有理数时，a-3 也是任意有理数，则(a-3)2 为非负数，即（a-3）2 >0,则-（a-3）2 <0可以进一步判断出最值解：（1）当 a-3=0 ,即a=3时，（a-3）2有最小值是0? (2)当 a-3=0,即 a=3 时，(a-3)2+4有最小值是4? (3)当 a-3=0,即a=3时，（a-3）2-4 有最小值是-4? (4)当 a-3=0,即a=3时，-（a-3）2有最大值是4? (5)当 a-3=0,即 a=3 时，-(a-3)2+4有最大值是4? (6)当 a-3=0 ,即 a=3 时，-(a-3)2-4 有最大值是

38、 4?（7）4- （a-3）2 可以变形为-（a-3）2+4 ,可知如（5）相同，即当 a-3=0 , 即a=3时，4- （a-3）2有最大值是4 （这里要学会转化和变通哦）评：很好理解掌握 a2即-a2的最值是解决本题的关键 归纳总结： 若x为未知数，a,b为常数，则当x取何值时，代数式（x+a）2+b 有最小值，最小值是多少当x取何值时，代数式-（x+a）2+b 有最大值，最大值是多少【探究11某公共汽车运营线路 AB段上有A、D、C、B四个汽车站，如图现在要在AB段上修建一个加油站 M ,为了使加油站选址合理，要求 A、B、C、D四个汽车 站到加油站 M的路程总和最小，试分析加油站 M在

39、何处选址最好？探究：设点 A、B、C、D、M均在数轴上，与之对应的数为a、b、c、d、x,使M到A、B、C、D距离和最小。MA+MB+MC+MD=|x-a|+|x-b|+lx-cl+|x-d|其中MA+MB=|x-a|+|x-b|,由绝对值的几何意义知当a< x0时，MA+MB 值最小，（汽车站 A、B到M 得距离和=AB ）当d< x0时，MC+MD 值最小，（汽车站C、D到M得距离和=CD ）综上所述，当dxw时，MA+MB+MC+MD的值最小，（要使A、B、C、D四个汽车站到加油站 M的路程总和最小）即加油站M应建在线段CD上。【探究2】如果某公共汽车运营线路上有A1 , A

40、2 , A3?A4 , A5五个汽车站（从左到右依次排列），上述问题中加油站 M建在何处最好？探究：加油站 M应建在A3汽车站.【探究3】如果某公共汽车运营线路上有A1 , A2 , A3 ,，An共n个汽车站（从左到右依次排列），上述问题中加油站 M建在何处最好？探究：当n为奇数时，加油站 M应建在汽车站处;当n为偶数时，加油站 M应建在线段上。(即此两站之间)【探究4】根据以上结论，求|x-1|+|x-2|+.+|x-616|+|x-617|的最小值。探究：根据绝对值的几何意义，就是在数轴上找出表示 x的点，使它到表示1、2、617各点的距离之和最小。根据【探究3】的结论，当x=309时，

41、原式的值最小。最小值是 |309-1|+|309- 2|+ +|309308|+0+|309- 310|+ +|309617| =308+307+ +1+1+2+ +308=95172.【课后练习】1 .(1)当x取何值时，x 3有最小值？这个最小值是多少？(2)当x取何值时，5 x +2有最大值？这个最大值是多少？(3)求x -4 + x5的最小值。(4)求 x -7 + x -8| + x -9 的最小值。2 .已知 乂工1, y£1，设 M = x + y + y+1+2yx4,求M的最大值与最小值.23、若1a b 1|与(a-b 1)互为相反数，求3a+2b-1的值。4 .

42、若a'b+1与(a -b +1)互为相反数，则a与b的大小关系是().A. a>bB . a=bC , a<bD . a>b5 .利用数轴分析|x-2|+|x+3 ,可以看出，这个式子表示的是x到2的距离与x到-3的距离之和，它表示两条线段相加：当x>时，发现，这两条线段的和随 x的增大而越来越大；当x<时，发现，这两条线段的和随 x的减小而越来越大；当wx0时，发现，无论x在这个范围取何值，这两条线段的和是一个定值，且比、情况下的值都小。因此，总结，|x-2|+|x+3|有最小值，即等于到的距离。6 .利用数轴分析|x+7|-|x-1 ,这个式子表示的是

43、 x到-7的距离与x到1的距离之差 它表小两条线段相减：当x0时，发现，无论x取何值，这个差值是一个定值；当x）时，发现，无论x取何值，这个差值是一个定值；当<x <时，随着x增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。因此，总结，式子|x+7|-|x-1|当x时，有最大值；当x时，有最小值；7 .设 a +b +c =0 , abc >0 ,则的值是().A. -3B .1C . 3 或-1D . -3 或 18 .设 a、b、c分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且 a E b W c,a -bb -c + c a可能取得的最大值是.绝对值（零点分段法、化简、最值）一

44、、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的 方法和途径是解题关键。利用定义法去掉绝对值符号x（x -0）根据实数含绝对值的意义，即|x|= 4，有-x（x :二 0）-c : x : c(c 0) | x |< c =-(c < 0)x :二-c或xc(c 0);I x|> c = x = 0(c = 0)x R(c :二 0)利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化x |> c ( c >0)来解，如可为 ax + b>

45、; c或 ax +b < c ；b c . claa . a b| x |< c 或I ax ' b |> c( c >0)I ax b |< c可化为c<ax+b<c,再由此求出原不等式的解集。对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论 “alx|<b。a&xb或bxw a”来求解，这是种典型的转化与化归 的数学思想方法。3利用平方法去掉绝对值符号22对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用 |X| = x可在两边脱去绝对值 符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时 还要注意不等

46、式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负 数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数X1 , X2 ,Xn分别使含有| X X1 |, | X -X2|,，|X Xn|的代数式中相应绝对值为零，称Xi , X2,Xn为相应绝对值的零点,零点 X1, X2,，Xn将数轴分为 m+i段，利用绝对值的意义化去 绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式 来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分

47、区间讨论绝对值不等 式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这 种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观 化。5利用数形结合去掉绝对值符号解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简 单化，此解法适用于| Xa | +|x b |m或|x a | + | X b|<m(m为正常数) 类型不等式。对| aX +b | +|cx +d |>m(或< m),当|a LC |时一般不用。 二、如何化简绝对值绝对值的知识是

48、初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号 内部分的正负，借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。(一)、根据题设条件例1 :设x<-1，化简2- | 2- | x-2 II的结果是(？)。(A) 2-x (B) 2+x? (C) -2+x? (D) -2-x思路分析：由x<-1可知x-2<-3<0 可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符 号待合并整理后再用同样方法化去.解：2-12-1 x-2 | | =2-

49、 | 2-(2-x) | =2- | x | =2-(-x)=2+x:应选(B).归纳点评：只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路.（二）、借助数轴例2：实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式 |a|-|a+b|+|c-a|+|b-c| 的值 等于（）（A） -a? （B） 2a-2b? （C） 2c-a? （D） a思路分析：由数轴上容易看出b<a<0<c,所以a+b<c,c-a<0 , b-c<0 ,这就为去掉绝对值符号扫清了障碍.解：原式 一 "；厂 . .:应选（

50、C）.归纳点评：这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清：1 .零点的左边都是负数，右边都是正数.2 .右边点表示的数总大于左边点表示的数.3 .离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了.（三） 、采用零点分段讨论法例 3：化简 2|x-2|-|x+4|思路分析:本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于x-2,x+4 的正负不能确定，由于 x 是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况一讨论解：令 x-2=0 得零点： x=2 ；令 x+4=0 得零点：x=-4

51、 ，把数轴上的数分为三个部分当 x）2 时,x-2>0, x+4>0 ,所以原式=2 （x-2） -（x+4）=x-8;当-40x<2 时，x-2<0,x+4 >0,所以原式=-2 （x-2） -（x+4）=-3x ;当 x<-4 时， x-2<0,x+4<0 ，所以原式=-2 （ x-2 ） +（x+4）=-x+8；归纳点评：虽然x-2,x+4 的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是：1 求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）2 分段：根据第一步求出的零点，将

52、数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定3 在各区段内分别考察问题4 将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案误区点拨：千万不要想当然地把x,2y 等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，以免得出错误的结果三、 带绝对值符号的运算?如何去掉绝对值符号？既是初中数学的一个重点，也是初中数学的一个难点。?（一 ）、要理解数a 的绝对值的定义。数 a 的绝对值是这样定义的，“在数轴上，表示数a 的点到原点的距离叫做数a的绝对值。”应理解，数a 的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a 本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。?（二 ）、要弄清楚怎样去求

53、数a 的绝对值。从数 a 的绝对值的定义可知，一个正数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。重点理解的是，当 a 是一个负数时，怎样去表示a 的相反数（可表示为“- a ”） ，以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括号的作用） 。（ 三 ） 、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。1、对于形如I a I的一类问题只要根据绝对值的3 个性质，判断出a 的 3 种情况，便能快速去掉绝对值符号。当a>0时，| a | =a (性质1 :正数的绝对值是它本身)；当a=0时，| a | =0(性质2： 0的绝对值是0)；当a<0时；| a

54、| =勺(性质3：负数的绝对值是它的相反数 )。2、对于形如I a+b |的一类问题首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性 质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。当a+b>0 时，| a+b | =(a+b)=a+b(性质1 :正数的绝对值是它本身 )；当a+b=0 时，| a+b | =(a+b)=0 (性质2 ： 0的绝对值是 0);当a+b<0时，| a+b I = <a+b)=勺-b (性质3 ：负数的绝对值是它的相反数 )。3、对于形如I a-b |的一类问题同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出 a-b的3种情况，根据绝对值的 3

55、 个性质，去掉绝对值符号进行化简。但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要 你能判断出a与b的大小即可(不论正负)。因为I大-小I = I小-大I =大-小，所以当 a>b 时，| a-b | = (a-b ) =a-b , | b-a | = (a-b ) =a-b。口诀： 无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。4、对于数轴型的一类问题，根据3的口诀来化简，更快捷有效。如I a-b |的一类问题，只要判断出a在b的右边(不论正负)，便可得到 I a-b | = (a-b ) =a-b , | b-a | = (a-b ) =a-b 。 5、对于

56、绝对值符号前有正、负号的运算非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。前面是正号的无所谓，如 果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！6、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算万变不离其宗，还是把绝对值号里的式子看成一个整体，把它与 0比较，大于0 直接去绝对值号，小于 0的整体前面加负号。四、去绝对值化简专题练习(1)设 x<-1 化简 2-|2-| x-2 | 的结果是(？)。(A) 2-x (B) 2+x? (C) -2+x? (D) -2-x(2)实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式|a|-|a+b|+|c-a|+|b-c| 的值等于()(A) -a? (B) 2a-2b? (C) 2c-a? (D) a(3)已知x>2,化简2|x-2|-|x+4|的结果是x-8 o(4)已知 x<-4 ,化简 2|x-2|-|x+4| 的结果是-x+8。(5)已知-4&x<2 ,化简 2|x-2|-|x+4| 的结果是-3x。(6)已知 a、b、c、d 满足 a<-1<b<0<c<1<d, 且|a+1|=|b+1|, |1-c|=|1-d| ,那么a+b+c+d=0 _ (提示：可借助数轴完成)(7)若 | -a | >-a ,则有(?A?