2019年考研数学真题(数学一)共15页word资料

1、2019年考研数学试题(数学一)一、选择题 2341、曲线 y =(x1'(x2)(x3)(x4)的拐点是()(A) (1, 0)(B) (2, 0) (Q (3, 0)(D) (4, 0)【答案】C【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 2 一 3 一 4【解析】由y =(x 1 (x 2 ) (x -3) (x -4 )可知1,2,3,4分别是234y =(x-1)(x-2) (x-3) (x-4) =0的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知 y'(1)#0, y'(2) =y'(3) = y'(

2、4) =0y”(2)#0, y(3) =y(4) =0, y'"(3) # 0y'(4) = 0 ,故(3, 0)是一拐点。 *.n2、设数列GJ单调减少，liman=0, Sn=£ak(n=1,2)无界，则哥级数n，二小oOZ an(x1 )n 的收敛域为()(A) (-1 ,1(B) -1 ,1) (Q 0 ,2)(D)n 1(0, 2【答案】C【考点分析】本题考查哥级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。n【解析】Sn =£ ak(n=1,2 疣界，说明哥级数Z an(x-1 n的收敛半径RW1;k 1

3、ndoOOn)单调减少，liman =0,说明级数£ an(1?收敛，可知哥级数 工an(x-1)的收敛 炉-n 1n 1半径R>1ooO因此，哥级数£ an(x-1 f的收敛半径R = 1,收敛区间为(0,2 )。又由于x = 0时哥级数 n 1收敛，x = 2时哥级数发散。可知收敛域为b,2 )。3、设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)A0, f (0),=0 ,则函数z= f (x)ln f (y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是()(A)f(0) .1, f (0) 0 (B) f (0) .1, f (0)：二0(C) f(0)：二 1, f

4、 (0) 0(D) f (0)：二1, f (0) ：:0【答案】C【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件即可。【解析】由 z = f (x)ln f (y)知zx' =f'(x)ln f (y),z=f '(y),zxJ =(x)f '(y)f(y)y f(y)zj = f "(x)ln f (y),Zyy" = f (x)f (y)f(y)-(f (y)2f2(y)所以Zxyx端f(0Ey 0zj= f "(0)ln f (0),x=0y=0x=0y =0= f(0)2f (0)f(0) -(

5、f (0)f2(0)=f (0)第17页处取得极小值，仅需要使得函数z = f (x) ln f (y)在点(0,0)f"(0)ln f (0) >0, f"(0)ln f(0) f“(0)A0所以有 f(0) 1, f (0) 0TETE_TE4、设 I = C ln sinxdx, J = J： ln cotxdx K = ( ln cosxdx,则 I, J, K 的大小关系是()(A) I<J<K (B) I<K<J(C) J<I<K(D) K<J<I【答案】B【考点分析】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的

6、大小转化为比较对应的被积函数 的大小即可。n【解析】xw(0,)时,4八.20 <sin x < < cosx < cot x ,因止匕 lnsin x < lncos x <lncot x 23131JtB)444上，山l ln sinxdx< / ln cosxdx < f lncotxdx,故选(0005.设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B ,再交换B的第二行与第一行得单1 0位矩阵.记P = 1 10 0010 00 , P2 = 0 0 1，则 A =()1 j10 1 0 j1 1（A） RP2（B） RP2（C） P2P

7、（D） P21P【答案】D【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论即可。【解析】由初等矩阵与初等变换的关系知AP1=B, P2B = E,所以 1_ 1_ 1_ _ 1A = BPi- =PrR =P2P一,故选（D）6、设A =3,%,口3,口4 ）是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若（1,0,1,0 T是方程组Ax = 0的一个基础解系，则 A*x=0基础解系可为（）：1,： 3（B）：1,： 2（C）：1,二2,： 3 （D） 2,二3,： 4【答案】D【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩阵等方面的知识，有一定的灵活性。【解析】由

8、Ax = 0的基础解系只有一个知 r（A）=3,所以r（A*）=1 ,又由A*A= A E = 011、0 A1知，口1,口2,口3,1M4都是A*x=0的解，且A*x=0的极大线生无关组就是其基础解系，又、0 0，八(a1«2,a3,a4 ) ,=61 +口3=0，所以%,。3线性相关，故%, a2, a4或1口2, 口 3, 6 4为极大无关组，故应选（D）7、设F1 （x ）,F2（x ）为两个分布函数，其相应的概率密度f（x ）, f2（x ）是连续函数，则必为概率密度的是（）（A） f（x）f2（x）（B） 2f2（x）F（x）（C）f（x）F2（x）（D） f（x）F2（

9、x ）+f2（x）F（x）【答案】D【考点分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质。【解析】检验概率密度的性质：f1（x）F2（x）+f2（x）F1（x）0；：f1（x F2（x）+f2（x）F1（x）dx=F1（x）F2（x）1 = 1。可知 f（x）F2（x）+ fz（x）F（ x为概率密度，故选（D）。8、设随机变量 X与Y相互独立，且 EX与EY存在，记U = maxx, y, V = min x, y,则 E(UV)=()(A)EUEV (B)E：,；E.Y(C) EUEY (D) EX.EV【答案】B【考点分析】本题考查随机变量数字特征的运算性质。计算时需要先对随机变量UV进行处

10、理，有一定的灵活性。【解析】由于 UV =maxX,Ymin X,Y =XY可知 E(UV ) =E(maxX,Ymin X,Y) = E(XY) = E(X)E(Y)故应选(B)二、填空题9、曲线 y = J tantdt 0 < x < 的弧长 s =【答案】1 一£【考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可。4JJJI丘用L '4. ' 2 .7,2,42 一 ,3,n【斛析】s=j (y)dx= tan xdx= sec x_1dx = tanx x9=1一一0410、微分方程y '+y = e* cosx满足条件y(0) = 0的

11、解为y =【答案】y=sinxe"【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其通解，再根据定解条件，确定通解中的任意常数。【解析】原方程的通解为1dx,1dxy =e e cosx e dx C =e cosxdx C = e sin x C由y(0) = 0，得C =0 ,故所求解为y =sin xex11、设函数F(x,【答案】4,JJOnsiIL-2t 一十-1【考点分析】本题考查偏导数的计算。【解析】2- F ysinxy : F2-，x 1 x y 二 x2.22-3.y cosxy 1 x y - 2xy sin xy坨£f故

12、r_exx且y=212、设L是柱面方程22x +y =1与平面z = x + y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分y2 xzdx xdy 万 dz =【答案】冗【考点分析】本题考查第二类曲线积分的计算。首先将曲线写成参数方程的形式，再代入相应的计算公式计算即可。【解析】曲线L的参数方程为x = costy =sin t ，其中t从0到2n。因此Iz = cost sin t2xzdx xdy dz2 二= cost (cost sint)(-sint) cost cost02 二2-sintcos t - 0sin2t/(cost -sint)dt23 .sin tcos

13、t 2, sin t 口cos t dt13、若二次曲面的方程为x2 +3y2 +z2 +2axy +2xz +2 yz = 4,经正交变换化为【答案】-1【考点分析】本题考查二次型在正交变换下的标准型的相关知识。题目中的条件相当于告诉了二次型的特征值，通过特征值的相关性质可以解出a。【解析】本题等价于将二次型f (x, y, z) = x2+3y2+z2+2axy+2xz + 2 yz经正交变换后化为了 f =y； +4z：。由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为1,4,0。1 a 1 ,该二次型的矩阵为 A= a 3 1 ,可知A =a22a1 =0,因此a = 1。U 1 b14、设二

14、维随机变量(X,Y)服从N廿六。2产2;0),则E(XY2)=【答案】N3+出2【考点分析】：本题考查二维正态分布的性质。【解析】：由于P = 0 ,由二维正态分布的性质可知随机变量X,Y独立。因此E(XY2)=EX .EY2。由于(X,Y)服从 N(巴巴。2,。2;0),可知 EX = R,EY2 =DY+(EY)2 = N2 + b2,则22232E(XY2) =N(N2 +仃2 户 K +ka2o三、解答题i15、(本题满分10分)求极限lim ' ln(1 + x)尸 x 0 x1【答案】e万 【考点分析】：本题考查极限的计算，属于10°形式的极限。计算时先按10c未

15、定式的计算方法将极限式变形，再综合利用等价无穷小替换、洛必达法则等方法进行计算。1鸣”1ln(1 x) - x eJ叫 二 e 0ln(1 x)-x 11.ln(1 x) _x厂X 1lim2-lim1二ex 0 x =ex 0 2x16、(本题满分9分)设z = f (xy, yg(x),其中函数f具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1) = 1,求.2二 zcxcy x = 1,y =1_ 、 一 ' '【答案】九1(11) +%(1,1)【考点分析】：本题综合考查偏导数的计算和二元函数取极值的条件，主要考查考生的计算能力，计算量较大。z:

16、9;【斛析】：=f1 (xy, yg(x)y + fz(xy, yg(x) yg (x) x 2二 z J'',、-=f1,1(xy,yg(x)xy f1,2(xy, yg(x)yg(x)f1 (xy,yg(x)x:x 二 y'''''.、.、f2,1(xy,yg(x)xyg (x) f2,2(xy, yg(x)yg (x)g (x) fz(xy, yg(x)g (x)由于g(x)在x=1处取得极值g(1) = 1,可知g (1)=0。故x=1,y=1=f1,1(1,g(1)f2(1，g(1)g RS),2 :z:x 2yf2,1(1，g

17、(1)g (1) f2,2(1，g)g(1)g (1) f2(1，g(1)g (1)=f1,1(1,1) - f1,2(1,1)17、(本题满分10分)求方程karctanx-x = 0不同实根的个数,其中 k为参数【答案】k W1时，方程karctanx x = 0只有一个实根k>1时，方程karctanx x = 0有两个实根【考点分析】：本题考查方程组根的讨论，主要用到函数单调性以及闭区间上连续函数的性质。解题时，首先通过求导数得到函数的单调区间，再在每个单调区间上检验是否满足零点 存在定理的条件。k k 1 x2【解析：令 f (x) =karctan x x,则 f (0) =

18、0 , f (x) =-1 =,1 x21 x2(1) 当k<1时，f'(x)<0, f (x)在(血，也)单调递减，故此时 f(x)的图像与x轴 与只有一个交点，也即方程karctanx-x = 0只有一个实根(2) k=1 时，在(*,0)和(0,收)上都有 f'(x)<0,所以 f(x)在(q,0)和(0,收) 是严格的单调递减，又f(0) =0,故f(x)的图像在(比,0)和(0,十无)与x轴均无交点(3) k>1 时，-Jk -1 <x < Vk -1 时,f'(x)>0, f (x)在(Jk 1,Lk -1)上单调

19、增加，又f(0)=0知，f (x)在(""1,灰二1)上只有一个实根，又f(x)(空,4二1)或(Jk二1,")都有 f'(x) <0, f (x)在(口， JF)或(衣二1,")都单调减，又 f(-Vk?) <0, lim f(x)=", f (Vk?) >0, lim f (x) =-0% 所以 f(x)在xx(_g, _Jk 1)与x轴无交点,在(Jk1,+g)上与x轴有一个交点综上所述：k=1时，方程karctanxx = 0只有一个实根k>1时，方程karctanxx = 0有两个实根18、（本题满分1

20、0分）证明：（1）对任意正整数 n ,都有-X <in（i+I）<）n 1 n n，1. 1.（2）设 an =1 + + | +_n n（n =1,2, |）,证明数列an收敛2 n【考点分析】：本题考查不等式的证明和数列收敛性的证明，难度较大。（1）要证明该不等式，可以将其转化为函数不等式，再利用单调性进行证明；（2）证明收敛性时要用到单调有界收敛定理，注意应用（1）的结论。1X【斛析】：（1）令一 =x，则原不等式可化为 < ln（1 +x） < x,x >0°nx 1先证明 ln（1 +x） <x,x >0 ：令 f (x) =x -

21、ln(1 +x)。由于 f'(x) =1a0,xa0,可知f（x）在0,收）上单调递增。又由于 f (0) =0,因此当 x >0时，f (x) A f(0) = 0。也即 ln(1 +x) <x,x>0ox.再证明 上 <ln(1+x),x>0：x 1x11令 g(x) =ln(1 +x) 。由于 g (x) =-2 >0, x> 0,可知 g(x)在0,y )上x 11 x (1 x)x单倜递增。由于 g(0) =0 ,因此当 x >0时，g(x) >g(0) = 0。也即< ln(1 + x),x> 0。x 1x因

22、此，我们证明了 <ln(1 +x) <x,x >0o再令由于，即可得到所需证明的不等式。x 1(2) an + -an =-ln(1+1),由不等式，<ln(1+1)可知：数列QJ单调递n - 1nn 1 n减。一 、一11又由不等式ln(1+)<可知：n n1 111an =1 + + I 十ln n >ln(1 +1) + ln(1 + -)+ ln(1 +)ln n = ln(n +1) ln n > 0。2 n2n因此数列an 是有界的。故由单调有界U敛定理可知：数列an收敛。19、（本题满分11分）已知函数f (x,y)具有二阶连续偏导数，且

23、 f(1,y) =0, f (x,1) = 0 ,f (x, y)dxdy =aD其 中 D =( x,y)|0<x<1,0 <y <1,计算二 重积分I =xyfxy (x, y)dxdy【答案】：a 【考点分析】：本题考查二重积分的计算。计算中主要利用分部积分法将需要计算的积分式 化为已知的积分式，出题形式较为新颖，有一定的难度。【解析】：将二重积分f xyfxy"(x, y)dxdy转化为累次积分可得 D 11xyfxy (x, y) dxdy = dy xyfxy (x, y)dx 0- 0D 1首先考虑f xyfxy"(x, y)dx ,注

24、意这是是把变量 y看做常数的，故有 - 0 11111xyfxy"(x,y)dx =y J xdfy'(x, y) =xyfy'(x, y) - J yfy'(x, y)dx = yfy'(1,y)yf/(x,y)dxL0"0000 一,、 一 一， ' '由 f (1,y)= f(x,1) =0 易知 fy(1,y) = fx(x,1)=0o1 1故 f xyfxy"(x, y)dx = f yfy'(x,y)dx。 0'01111xyfxy (x,y)dxdy =dy xyfxy (x,y)dxd

25、y yfy (x, y)dx 0'0- 0-0D 1111对该积分交换积分次序可得：- dy yfy(x, y)dx = - dx yfy (x, y)dy 0,0. 0. 01再考虑积分y yf；(x,y)dy,注意这里是把变量 x看做常数的，故有 - 011111yfy (x,y)dy = ydf (x,y) = yf (x, y) 0 - f(x, y)dy = - f (x, y)dy 0000因此1111xyfxy (x,y)dxdy= - dx yfy(x,y)dy= dx f(x, y)dy= f(x,y)dxdy = a 0000DD20、(本题满分 11 分)% =(

26、1,0,1 T,ot2 =(0,1,10a3 =(1,3,5 )T 不能由P1=(1,a,1 ), =(1,2,3 ),P3 =(1,3,5)线性表出。求 a；将久,&凡由 %,%,%线性表出。,215、【答案】：a =5；件1 P2 曳)= (5 u2 u3：42 101 0 一2,【考点分析】：本题考查向量的线性表出，需要用到秩以及线性方程组的相关概念，解题时 注意把线性表出与线性方程组的解结合起来。【解析】：由于0clp2p3不能由P1,P2,P3表示1 1可知伊平2曳=1 21 334 = a 5 = 0 ,解得 a = 5a本题等价于求三阶矩阵C使得伊1,葭&)=(%

27、,%,% )C1 0可知 C 二 (% ,口2,口3)(01,02,03)= 01U 11 T71 15八1 3345,152 100 -2 ?215、计算可得C= 4 2 101 0 -2 ,，2因此（久以久）=（%«2%： 4J121、（本题满分11分）A为三阶实矩阵,R(A) =2,且 A 011、010【11、01（1）求A的特征值与特征向量（2）求A【答案】：（1） A的特征值分别为1,-1, 0,对应的特征向量分别为001(2) A =000'100_j【考点分析】：实对称矩阵的特征值与特征向量，解题时注意应用实对称矩阵的特殊性质。【解析1: (1) A 01J1

28、J-i可知：1,-1均为A的特征值，。I1 J分别为它们的特征向量r(A)=2,可知0也是A的特征值而0的特征向量与匕，务正交XiX2为0的特征向量x1x3 = 0-x1x3 = 0,0、得：3 = k 1A的特征值分别为1,-1''0、对应的特征向量分别为(2) A = PAP-1一1一1-101其中A一11101"0上一1110 0 1二 000I 0 0 一22.(本题满分11分)X01P1/32/3Y-101P1/31/31/3_22P X =Y =1求：(1) (X,Y)的分布;(2) Z=XY的分布;(3)Pxy.【答案】：(1)X01-101/301/3

29、0101/3(2)Z-101P1/31/31/3(3) *XY = 0【考点分析】：本题考查二维离散型分布的分布律及相关数字特征的计算。其中，最主要的 是第一问联合分布的计算。【解析】：(1)由于 P(X2=Y2) = 1,因此 P(X2#Y2)=0。故 P(X =0,Y =1)=0,因此P X =1,Y =1 =P X =1,Y =1 P X =0,Y =1 = P Y =1 =1/3再由P(X =1,Y=0)=0可知PX=0,Y=0 =P X=1,Y=0 P X=0,Y=0 = PY = 0 =1/3同样，由P(X =0,Y = 1 )=0可知P X =0,Y =！=P X =1,Y =-1 PX=0,Y=-1 =PY=-1)=1/3这样，我们就可以写出 (X,Y )的联合分布如下：-101001/3011/301/3(2) Z=XY可能的取值有一1, 0, 1其中 P(Z = 1) = P(X =1,Y = 1)=1/ 3, P(Z =1) =