§2第二类曲线积分

1、§ 2第二型曲线积分前面我们已讲过第一型曲线积分，但在力学.物理等许多问题中，还常常用到另外一 类曲线积分，叫做第二型曲线积分.一第二型曲线积分的定义1力场作功问题如果质点受常力F的作用沿直线运动，位移为s,那末这个常力所做功为W = F | s cos 二其中|F|,|s|分别表示向量(矢量)的长度,e为F与S的夹角.设平面力场F(x, y) =(P(x, y) , Q(x, y),即力F(x,y)在x轴和y轴方向上的投影分别为P(x,y)与Q(x,y).质点在力场作用下，沿平面曲线 L从点A到点B所作的功.先用微元法讨论.再用定义积分的方法讨论这一问题.a)分割T对有向曲线C作分

2、割T =M0, M1,.,M n,M n,即在AB内插入n-1个分点Mi,M2,. M,n,与 A=Mo, B =M n 一起把曲线分成n个有向小曲线段M_Mi(i=1,2,n)以4记为小曲线段M i的i的弧长.|t| = maxAs .1M也b)作和任取一点P(，)卢M-Mi ,由于有向线段Mi(xi.yi,).Mi(xi,y)在x轴和y轴方向上的投影分别为 Axi =xi -xi,Ayi = yi - yi,于是 M iUM i = (Axi, iyi).从而力F(x,y)在小曲线段MMi上所作的功Wi % Fj)9xi,Vi) = P(，产j) Si+Q (匕产 j)Mc)取极限nnn于

3、是力F沿C(AB)所作的功可近似Wi=Z Wi电工P(si)Axi +£ Q(s) ,)对 i 1i 1i T当mt 0时，右端积分和式的极限就是所求的功.有很多物理量的确定，都要求计算上述形式的和式上极限(参见本节附录)，这种类型和 式极限就是下面所讨论的第二类曲线积分，因此给以下面的一股定义2第二型曲线积分的定义(P202-203)设P,Q为定义在平面有向可求长度的曲线(即光滑或分段光滑平面有向曲线)C上的函数，对任一分割T,它把C分成n个小弧段MM J=1,2,3,n;记M i (为$) ,M iM i弧长为 &s ,|T| =maxASi,与=Xi x, % = yi

4、 y7，i =1,2,，n.任取(j) w MMi, 若 i <i,-：nnn极限 |!imJ P(si， i)-Xi x Q(si, i)Lyi 存在且与分割T与界点(q,)的取法无关，则称此极限为函数P,Q有线段C上的第二类曲线积分，记为 P Pdx + Qdy 或者 P Pdx + Qdy(1)cAB或者 Pdx + JQdy或者 P Pds 十 Q QdyccABAB按这一定义，有力场F(x, y) =(P(x,y) , Q(x,y)附平面曲线L从点A到点B所作的功为W = AF ds = AB(P,Q)(dx,dy) = ABPdx Qdy.可类似地考虑空间力场F(x, y,z

5、) =(P(x, y, z) , Q(x, y,z) , R(x, y, z)沿空间曲线AB所作 的功，导出空间曲线上的第二型曲线积分.若C为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线，P,Q,R 为定义在C1"S数，则可按上述办法定义沿有向曲线 C的第二类曲线积分，并记为fF ds =P(x, y,z)dx+Q(x, y,z)dy+R(x,y,z)dz(4)ABc介绍有向闭路曲线积分的记法:fdsc平面上光滑闭曲线如何规定方向呢？(此时无所谓“起点”和“终点”)3第二型曲线积分的性质(P204)线性 设C为有向曲线，(fds, (gds存在，则Va, P R R,则(af + 忤)ds存在，

6、且 及圻 + 许)ds = 口 | fds + g f gds(2)可加性 设f fds存在，C =C1 = C2,= fds/ fds存在，且 cc1c2fds = fds fds cc1c2(3)第二类曲线积分与曲线C的方向有关设C一是C的反向曲线(即C和C方向相反)，则£fds=- |fds (ab =-1ba)第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性.注意第一类曲线积分表达示是函数f与弧长的乘积，它与曲线C的方向无关，这是两种类型曲线积分的一个重要差别.定积分是第二型曲线积分中当曲线为X轴上的线段时的特例.注1第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题.与我们以前讨论过的

7、积分相比，除多了一层方向性的考虑外,其余与以前的积累问题是一样的,还是用Riemma的 思想建立的积分.因此，第二型曲线积分具有(R )积分的共性，如线性、关于函数或积 分曲线的可加性.但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性，这是由于一方面向量值函数不能比较大小，另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向 之间的夹角有关.二 第二型曲线积分的计算设L(AB)为平面有向光滑或按段光滑曲线，L : x =中(t), y =中(t), c( <t<P或者P <t<a起点A(中(ot)N(ot),终点B(中(P)W(B)；函数P(x,y)和Q(x,y)在L上连

8、续，则沿L(即从 点A到点B的方向)有Pr1P(x, y)dx +Q(x, y)dy =1卜(中”中(t)尸(t) +Q«(t) W 平 V)4.(6)证明略类似，设有空间有向光滑曲线C的方程是X=x,Y=y,Z=z.曲线的方向是曲线上点A到点B设当t=a时对应点A, t=b对应点B(注意:a<b或者a>b均有可能出现);又设f (x, y, z) =(P(x,y,z),Q(x, y, z), R(x, y,z),那么bfds = Px(t), y(t), z(t)x +Qx(t), y(t), z(t)y (t)y + Rx(t), y(t),z(t)z (t)dtca

9、注2式中，必须注意定积分上，下限的安排应该与曲线积分所给的曲线方向相一致，那下 限对应于起点参数值，上限对应于终点的参数值.注3曲线的自然方向：设曲线L由参数式给出.称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.例1 计算积分xydx+(y - x)dy, L的两个端点为A ( 1,1), B( 2,3 ).积分从点A到点B或闭合，路径为(P205)(1) 直线段AB(2)抛物线 y =2(x-1)2 +1;(3) A( 1,1 )t D( 2 , 1 ) t B( 2,3 ) t A( 1,1),折线闭合路径.注4此例表明，第二类曲线积分不仅与积分的起点和终点有关，而与还与所给曲线有关. 即使同一个

10、起点和同一个终点，但设不同的曲线将获得不同的积分值.(即不同的积分，积分值 就不同)，会不会有如下情形发生：积分只与起点和终点有关，而在积分路径无关？(参见例2) 从物理上讲有-重力作功.一般地讲，积分与路径无关里需要的，到底需什么呢？以后在讲.例2计算积分xdy十ydx,这里L : (P206)(1) 沿抛物线y =2x2从点0( 0,0 ) 到点B( 1 , 2 );(2) 沿直线y = 2x从点0( 0,0 ) 到点B( 1 , 2 );(3) 沿折线闭合路径 0(0,0) tA(1,0 ) tB(1,2 ) t 0(0,0).例3计算第二型曲线积分I = (xydx + (x-y)dy

11、+x2dz,其中L是螺旋线x = a cost, y=asint, z=bt,从 t = 0 至ij t =冗的一段.(P207)例4 求在力场F(y, x, x + y+z)作用下，(1)质点由点A(a,0,0)沿螺旋线到点B(a,0,2霏b)所作的功，其中L 1 : x=acost, y=asint, z = bt,( 0 _ t _ 2二).(2)质点由点A( a, 0,0)沿直线L 2到点B (a,0,2nb)所作的功.(P207)22补例 1 I= 1y2dx + x2dy ;C: x2 + y=1(y 至0),方向：(-a,0 ) t (a,0).a bc补例2 I= (2xydx

12、-x2dy ;C:直线y=x,方向从原点到(0 , 0 )c附录(说明：附录是本章或本节内容的补充、深化和拓宽，根据情况，简单介绍，或者不讲)稳流场通过曲线(从一侧到另一侧)的流量解释稳流场.(以磁场为例).设有流速场v(x, y) = (P(x, y) , Q(x, y).求在单位时间内通过曲线 AB从左侧到B="M iMi vfn右侧的流量E .设曲线AB上点M一处的切向量为t = (cos" ,sinc(), ( a是切向量方向与 X轴正向的夹角.切向量方向按如下方法确定：法线方向是指从曲线的哪一侧到哪一侧，在我们现在白问A题中是指从左侧到右侧的方向.切向量方向与法线方向按右手法则确定，即以右手拇指所指为法线方向则食指所指为切线方向.).在弧段c一一 fMi.Mi 上的流量 dE = (v,n)ds. n= cos(a -,sin(« -) = (since , -cosa),因止匕，2dE = P(x, y) , Q(x, y) (sin :，一cos： ) | ds |= = P(x, y)sin : | ds |Q(x, y)cos二 | ds |.由 ds = (dx,