数学思想在中学数学中的重要性

1、数学思想在中学数学中的重要性 南部二中：鲜楚月全国高考数学考试大纲摘要： 数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求。教材导引摘要： 在本书中，我们将利用数学内容之间的内在联系，特别是蕴含在数学知识中的数学思想方法数学思想方法，启发和引导学生类比、推广、特殊化、化归等数学思考常用的逻辑方法，使学生学会数学思考与推理，不断提高数学思维能力。一、数学思想一、数学思想： 是指人们对数学理论和内

2、容的本质的认识，其具体化形式是数学方法。常见的数学思想常见的数学思想：函数方程不等式思想、等价转化思想、分类讨函数方程不等式思想、等价转化思想、分类讨论思想、数形结合思想，论思想、数形结合思想，从特殊到一般数学研从特殊到一般数学研究思想、有限与无限思想，偶然与必然思想等。究思想、有限与无限思想，偶然与必然思想等。（一）函数方程不等式思想1、函数方程不等式思想就是用函数、方程、不等式的观点和方法处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想。函数与方程不等式有着密切联系，它们之间相互渗透，很多方程、不等式的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程、不

3、等式的方法辅助，函数与方程不等式之间的辩证关系，形成了函数方程不等式思想。2、函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想，函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用3、应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是关键，分两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题构造函数；（2）利用函数的相关知识解决问题；4、方程不等式思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值（范围），这时常常列出这些变量的方程（

4、组）或不等式组，通过解方程（组）或处理不等式组求出它们，这就是方程不等式思想；是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。5、教材把函数与方程不等式思想作为重要思想方法重点培养。例如：必修1P86，3-1函数与方程 必修5P76，3-2一元二次不等式及其解法 必修3P84，2-3变量间的相关关系6、高考也把函数与方程不等式思想作为重要思想方法重点考查。例如：2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷）第1、6、13、15、18、21题2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷）第2、12、16、21题2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷）第1、3、

5、8、12、21题2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（四川卷）第1、5、9、14、21题（共同特点，压轴形式出现） 1、数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面，目的是为了发挥形的生动和直观性，发挥数的规范与严密性，两者相辅相成，扬长避短。恩格斯定义数学：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。华罗庚曾指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。”这就是说：数形结合是数学的本质特征，宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。因此，数学教学中突出数形结合思想，借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关

6、系，充分让学生把握住了数学的精髓和灵魂。（二）数形结合思想2、在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系，在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系。3、高考选择、填空侧重突出考查数到形的转化，对于所研究的代数问题，有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）。高考解答题考虑推理论证严密性，突出形到数的转化，或者对于所研究的几何问题，可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决（以数助形），把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中，即用代数方法研究几何问题。4、教材把数形结合思想作为重要思想方法重点培养。（1）必修1、2、3、4、5封面，（2） 必修 1、4函数内容中指数函数、

7、对数函数，三角函数，初中学的常数函数，正反比例函数，一、二函数、选修的三次函数，老师们爱补充的双勾函数，无一不通过图象研究其性质。（3） 必修2立几内容中引入向量，并把向量坐标化（代数化）用数量关系证明几何结论，几何方法证明代数结论，简练精巧，解析几何是几何，得意忘形学不活。（4）必修3算法，程序框图（流程图），统计中各种统计图表，概率中的几何概型。（5） 必修5解三角形，无一不体现了数形结合思想在教材中的重要性，不等式中的二元一次不等式组只能用几何方法转化成平面区域处理。5、高考也把数形结合思想作为重要思想方法重点考查。例如：2016年全国卷理科数学第1、4、7、8、9、10、11、13、1

8、4、15、16、18、19、20、21、22题2016年全国卷理科数学第1、2、3、4、5、6、7、8、11、13、14、16、18、19、20、22题2016年全国卷理科数学第1、4、6、7、9、10、11、12、16、17、18、19、20、22题2016年四川卷理科数学第1、3、6、7、8、9、10、13、15、16、17、17、19、20题6、我们要从以下几点来培养学生的数形结合能力：(1) 学学几何画板Excel软件辅助教学。例如几何画板在代数、几何、解几中的应用（链接）(2) 研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可(3) 研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可

9、通过函数的图象求解（函数的零点，顶点是关键点）.(4) 以下类型的问题需要注意：可分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点及余弦定理进行转化达到解题目的例如必修2，P110 求证并求使等式成立的条件。必修2，P115 7、设 求证：对于任意22222222(1)(1)(1)(1)2 2xyxyxyxy+-+-+-+-01,01,xy已知 , , ,a b c dR,p qR222222()()()()()()apbqcpdqacbd-+-+-+-+-（三）分类讨论思想 分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后

10、对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。1. 引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：（1）涉及的数学概念是分类讨论的；（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性； （4）题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。2.分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏，包含各种情况，同时要有利于问题研究。例如： 解关于x的不等式教材必修5，P

11、61习题：求和S=1+2x+3x2+nxn-12016年全国卷3理科数学第21题 2016年全国卷2理科数学第21题 2016年全国卷1理科数学第21题 2016年四川卷理科数学第21题2(1)10axax-+ （四）等价转化思想1、将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题，符合学生认知，等价转化思想贯穿整个中小学教材2、 把实际问题转化成数学模型，会用数学知识和方法解决实际问题，学以致用，是学生学数学的目标，也是我们的培养目标3、高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化（五）特殊与一般的数学研究思想1、通过对个例认识

12、与研究，形成对事物的一般认识2、由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论，符合学生的认知，教材中每一个新概念（集合，函数，向量，等比等差数列），都采用这种思想3、高考以构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向（六）有限与无限的思想：1、把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路2、积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向3、立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，数列中的递推相减求通项，都是典型的有限与无限数学思想的应

13、用（七）偶然与必然的思想：1、随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性2、偶然中找必然，再用必然规律解决偶然3、等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点 例重庆08年理科解法1：转化成角度几何模型22sin1( )(sin )2sin1)(cos )2cos1)xf xxxxx-=-+-+22sin1(cos1)(sin1)xxx-=-+-P(cosx-1,sinx-1)a动点可看成 角终边上一点,( )sin1( )0f xf xa二、高考中数学思想方法往往综合考察二、高考中数学思想方法

14、往往综合考察解法2：特殊值法解法3：平方转化例2016年全国卷3理科数学第21题（本题满分12分）分析分析(1)直接利用求导公式求导即可直接利用求导公式求导即可(2)换元令换元令t=cosx 转化成二次函数在给定区间上的最值问题，数形结合，再分类讨转化成二次函数在给定区间上的最值问题，数形结合，再分类讨论论(3)利用正弦函数的有界性和基本不等式进行放缩，再结合利用正弦函数的有界性和基本不等式进行放缩，再结合a范围分类讨论范围分类讨论例2016年全国卷2理科数学第21题（本题满分12分）分析分析（1）求导研究函数单调性）求导研究函数单调性（2）根据不等式特点构造新函）根据不等式特点构造新函数，通

15、过求导设出零点，并对零数，通过求导设出零点，并对零点讨论，研究新函数单调性，得点讨论，研究新函数单调性，得出最值函数，并求其值域出最值函数，并求其值域例2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷）第21题分析（分析（1）求导再对参数）求导再对参数a分类讨论，分类讨论，确定零点个数确定零点个数（2）通过（）通过（1）问的）问的x1,x2范围及范围及f(x)的的单调性，要证明单调性，要证明x1+x2f(2-x2)这道题算是最近几年较常规的题目，形式上和2010年天津卷21及其相似，减元构造函数算是导数题目常规思路，比如2013四川卷21，2010辽宁卷21，2009辽宁卷212016年

16、普通高等学校招生全国统一考试理科数学（四川卷）第21题分析分析(1)求导，对求导，对a讨论，判断函数的单调区间讨论，判断函数的单调区间 （2）观察函数）观察函数f(x)的零点为的零点为x=1,构造函数构造函数g(x)=1/x-e1-x,h(x)=f(x)-g(x),再以再以a为标准分类讨论。为标准分类讨论。三、数学思想的培养三、数学思想的培养 以上今年高考四例压轴题，都以函数为载体，通过求导的代数手段，以上今年高考四例压轴题，都以函数为载体，通过求导的代数手段，研究函数单调性，处理相关函数问题，淋漓尽致地体现了函数方程不研究函数单调性，处理相关函数问题，淋漓尽致地体现了函数方程不等式思想、等价转化思想、分类讨论思想、数形结合思想。等式思想、等价转化思想、分类讨论思想、数形结合思想。 这要求我们在平时的教研教学过程中这要求我们在平时的教研教学过程中做到：做到：1、认真研究学生，新概念要符合学生认知。、认真研究学生，新概念要符合学生认知。2、认真研