§3.4 生活中的优化问题举例 教案

1、.3.4 生活中的优化问题举例教学目的：1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量与自变量，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式，根据实际问题确定函数的定义域；2.要纯熟掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答.重点：务实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去。难点：在实际问题中，有常常仅解到一个根，假设能判断函数的最大小值在的变化区间内部得到，那么这个根处的函数值就是所求的最大小值。 教学方法：尝试性教学教学过程：前置测评：1求曲线y=x2+2在点P1,3处的切线方程. 2假设曲线y=x3上某点切线的

2、斜率为3，求此点的坐标。【情景引入】 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大小值的有力工具这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题例1.汽油的使用效率何时最高材料：随着我国经济高速开展，能源短缺的矛盾突现，建立节约性社会是众望所归。现实生活中，汽车作为代步工具，与我们的生活亲密相关。众所周知，汽车的每小时耗油量与汽车的速度有一定的关系。如何使汽车的汽油使用效率最高汽油使有效率最高是指每千米路程的汽油耗油量最少呢？通过大量统计分析，得到汽油每小时的消耗量 gL/h与汽车行驶的平均速度vkm/h之间的函数关系g=

3、fv 如图3.4-1，根据图象中的信息，试说出汽车的速度v 为多少时，汽油的使用效率最高？解：因为G=w/s=w/t/s/t=g/v这样，问题就转化为求g/v的最小值，从图象上看，g/v表示经过原点与曲线上点v,g的直线的斜率。继续观察图像，我们发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小，在此点处速度约为90km/h，从树枝上看，每千米的耗油量就是途中切线的斜率，即f90,约为0.67L.例2.磁盘的最大存储量问题【背景知识】计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可

4、作为根本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个根本单元通常被称为比特bit。为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有一样的比特数。问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域是不是越小，磁盘的存储量越大？为多少时，磁盘具有最大存储量最外面的磁道不存储任何信息？解：由题意知：存储量=磁道数每磁道的比特数。 设存储区的半径介于与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数一样，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每

5、条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量 1它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是越小，磁盘的存储量越大2为求的最大值，计算令，解得当时，；当时，因此时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为例3. 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响1你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？2是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】 某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料瓶子的制造本钱是 分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm问题：瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？来源:Zxxk 瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？【引导】 先建立目的函数，转化为函数的最值问题，然后利用导数求最值.1半径为cm 时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的本钱，此时利润是负值2半径为cm时，利润最大【考虑】根据以上三个例题，总结用导数求解优化问题的根本步骤.【总结】1认真分析问题中各个变量之间的关系，正确设定最值变量与自变量，把实际问题转化为数学问题，列出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；关键细节 由问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再