4.4.4　平摆线与圆的渐开线

1、.4.4.4平摆线与圆的渐开线1理解平摆线、圆的渐开线的生成过程，能导出它们的参数方程2在欣赏曲线美的同时，体会参数方程在曲线研究中的地位3体会“参数思想在处理较为复杂问题时的优越性根底·初探1平摆线1如图4­4­7所示，假设A为圆心，圆周上的定点为P，开场时位于O处，圆半径为r在直线上滚动时，点P绕圆心做圆周运动，转过弧度角后，圆与直线相切于B，线段OB的长等于的长，即OBr.这就是圆周上的定点P在圆A沿直线滚动过程中满足的几何条件我们把点P的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线图4­4­72以定直线为x轴，点O为原点建立直角坐标系，那么定点

2、Px，y的参数方程为为参数2圆的渐开线有一条钢丝紧箍在一个半径为r的圆盘上，在钢丝的外端系上一支铅笔，逐渐撒开钢丝，并使撒开的部分成为圆盘的切线，我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆考虑·探究1用参数法求曲线的轨迹方程的步骤是什么？【提示】用参数法求曲线的轨迹方程，其步骤主要有三步：选参、用参、消参其中关键是选参，假设题目没有明确要求化为普通方程或需判断曲线的形状和位置，那么可以用曲线的参数方程作为答案2圆的渐开线的参数方程中的参数的几何意义是什么？【提示】根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r是指基圆的半径，而参数是指绳子外端运动时，半径O

3、B相对于Ox转过的角度，如图，其中的AOB即是角.显然点P由参数惟一确定在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_摆线一个圆的摆线过一定点1,0，请写出该摆线的参数方程【自主解答】根据圆的摆线的参数方程的表达式为参数可知，只需求出其中的r，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径惟一来确定，因此只需把点1,0代入参数方程求出r值再代入参数方程的表达式令r1cos 0可得cos 1，所以2kkZ代入可得xr2ksin

4、2k1.所以r.又根据实际情况可知r是圆的半径，故r>0.所以，应有k>0且kZ，即kN.所以，所求摆线的参数方程是其中为参数，kN再练一题1一个圆的平摆线过一定点2,0，请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程【解】令y0，可得r1cos 0，由于r0，即得cos 1，所以2kkZ代入xrsin ，得xr2ksin 2k又因为x2，所以r2ksin 2k2，即得rkN易知，当k1时，r取最大值为.代入即可得圆的平摆线的参数方程为为参数.圆的渐开线圆的渐开线的参数方程为参数求出该渐开线的基圆的方程，当参数取时，求对应曲线上点的坐标【思路探究】由圆的渐开线的参数方程形式可得r3，把代

5、入即得对应的坐标【自主解答】，半径为3.此渐开线的基圆方程为x2y29.把代入参数方程得即曲线上点的坐标为，3圆的渐开线参数方程其中为参数再练一题2圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A、B对应的参数分别是和，求A、B两点的间隔 【导学号：98990038】【解】根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是为参数，分别把和代入，可得A、B两点的坐标分别为A，B，1那么，根据两点之间的间隔 公式可得A、B两点的间隔 为AB.即A、B两点之间的间隔 为.1假设某圆的渐开线方程是为参数，那么此圆的方程是_，对应0的点的坐标是_，对应的点是_【解析】圆的方程为x2y21，0的点的坐标是1,0，对应的点的坐标是，1【答案】x2y211,0，12摆线02与直线y1交点的直角坐标为_【导学号：98990039】【解析】当y1时，有21cos 1，cos ，又02，或，当时，x；当时，x.【答案】，1，13如图4­4­8，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH叫做“正方形的渐开线，其中弧AE、EF、FG、GH的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，那么曲线AEFGH长是_图4­4­8【解析】2 ，相加得5.【答案】54一个圆的参数方程为为参数那么圆的平摆线方程中与参数对应的点A与点B之间的间隔