求二面角的基本方法

1、 求二面角的基本方法定义法与法向量法 一、 在所给立体图形中直接寻找：看是否有二面角的平面角；寻找平面角的主要依据是根据二面角的平面角的主要特征顶点在棱上，角的两边分别在两个半平面内且都与棱垂直（或角所在平面垂直于棱）。例1 如图1,在三棱锥SABC中,SA底面ABC,ABBCDE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SAAB,SBBC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.解析 由于SBBC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC底边SC的中线,所以SCBE. 又已知SCDE,BEDEE,SC面BDE,SCBD.又SA底面ABC,BD在底面ABC上,SABD.而SCS

2、AS,BD面SAC.DE面SAC面BDE,DC面SAC面BDC,BDDE,BDDC. EDC是所求的二面角的平面角.SA底面ABC,SAAB,SAAC.设SAa,又因为ABBC, ACS30.又DESC, 所以EDC60°即所求的二面角等于60°.二根据定义作出平面角：主要有两种作法，一是对于具有某种对称性立体图形，可以考虑利用定义，在棱上选择一点作棱的垂面，与两个半平面的交线所构成的角即为平面角；二是在其中一个半平面内选择一点向另一个半平面引垂线（垂足为），过向棱引垂线（垂足为），由三垂线定理可知，则即为平面角（或其补角）。例2 如图2，正三角形ABC的边长为3，过其中心

3、G作BC边的平行线，分别交AB、AC于、将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段BC的中点M求：二面角的大小。解析 连接AM，A1G，G是正三角形ABC的中心，且M为BC的中点，A，G，M三点共线，AMBC(图3) B1C1BC，B1C1AM于G，即GMB1C1，GA1B1C1，A1GM是二面角A1B1C1M的平面角点A1在平面BB1C1C上的射影为M，A1MMG，A1MG=90°。在RtA1GM中，由A1G=AG=2GM得A1GM=60°，即二面角A1B1C1M的大小是60°。对于“无棱”二面角（即棱未明显给出）的常规求法是：先找（或作）出棱，再找（或作）出

4、平面角后求解，还可考虑使用射影面积公式，这里给出下述两例：例3 如图4，在底面是直角梯形的四棱锥ABCD中，°，面ABCD， SAAB，求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值解析 延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱。，面ABCD，得面SEB面EBC，EB是交线. 又，面SEB，故SB是SC在面SEB上的射影，CS， 所以是所求二面角的平面角。，即所求二面角的正切值为。例4 如图5,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,EBB1，截面A1EC 侧面AC1.若AA1=A1B1;求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角(锐角)的度数. 解析 本题考虑常规解法可作出棱后找平面角（为，解略），这里使用公式：在底面上的射影为，设AA1=A1B1=a，易算得于是=三、法向量法求二面角是近些年来高考经常考查的内容,要求考生能尽快分析出空间线面关系,准确作出二面角的平面角;未给出二面角棱的，要先作出棱,后找平面角再计算,这些都需要很强的空间想象能力与灵活转化能力,一般考生难以完成;而应用法向量来解决,只需求两半平面法向量的夹角,用公式即可.这样,避免了空间线线、线面、面面关系的抽象分析，从