第一章函数、极限与连续小结

1、第一章函数、极限与连续微分小结一、概念局部：1、函数的概念；复合函数和初等函数的概念；2、函数极限的定义；无穷大量与无穷小量的概念；极限的法那么；两个重要极限;3、函数连续的概念；连续的判断；间断点的判断与分类；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质。二、运算局部：1、求极限(1)利用极限的四那么运算法那么；(2 )对于分式的极限，利用无穷大量与无穷小量的关系；(3 )对于分式的极限，假设分子分母的极限都为零，进行因式分解，消去公因式；(4) 对于lim 空，其中P(x), Q(x)为x的多项式，可以利用公式 A。x Q(X)(5) 利用两个重要极限公式；(6) 利用函数的连续性；(7) 利

2、用无穷大量与无穷小量的性质；(8) 利用替换等价无穷小量的方法;(9) 对于分段函数，在分段点的两侧比拟左右极限的方法;(10 )对于不定型的极限应用洛必达法那么(留待下一章介绍)三、典型题例：(一)、选择题：1、函数y f(x)在点xo处有定义是lim f (x)存在的() x XoA、必要非充分条件；B、充分非必要条件；C、充分必要条件；D、无关条件。2、2, sin mx limo2(m为常数)等于()X 0 xA、0 ；B、1 ；2C、m ；D、12 。m3、k x lim (1)e2，那么 k等于()XX11A、2 ；B、2 ；c、D、。224、当x0时,以下()为无穷小量xsinx

3、.1A、eB、sin x ；C、；D、sinxxx(x 1) . x15、在x趋近于()时，y3/不是无穷小量。x 1A、；B、1；c、0 ；D、1。6、设 f(x) e2x 1，g(x)x2，当 x0时，()A、f (x)是g(x)高阶无穷小量；B、f (x)是g(x )低阶无穷小量C、f (x)是g(x)等价无穷小量；D、f (x)是g(x)同阶、而等价的无穷小量。x 2, x07、设f(x)x a,0x 1 在，内连续，那么a,b分别为bx,1 xA、0,0 ；B、2,3;C、3,2 ；D、1,1 o8、设f(x)sin ax , (x x0在x 0处连续，1且 f0，那么 a 2A、2

4、 ；1B、2 ；1C、2 ；D、2。二、填空题:1、设 lim g(x)x 13,lim h(x)x 13,且 g(x) f (x)h(x)，那么 lim3xx1、设 limx 14f (x)x 12、当x时,函数f (x) 1，那么 lim 2xf (x)xx。o01,x2 x0,x01x ,x23、设f(x)f(x)4、设f(x)x, x0在点x0处连续，那么a5、设f(x)2x22lim f(x)，那么 f (x)x 1三、简答题:ax b5,求 a, bo2x2、设 lim (axb) 0,求 a, box3、求以下函数的间断点，并判断其类别:(1)f(x)x213x 12f (x)x

5、 ； sin xsin x小.1c(3)f(x)，x 0 x；4f(x)sin ， x 0 x2,x 01，x 0(x 1)(x2) (x 2)(x 3)(x 3)(x 1)4、试判定方程有几个根？这些根分别在什么范围内？5、判定方程x3x 30至少有一个正根。6、设 fx在x2处连续，且f 23,求2亠。 x242、limxlimx2x 2x 52x x 1limx2x3x3 2xln(1 2x)；sin x2xe 1 ；limx 0 tan3x(x1)、x 11 ；limxlimn、n2 3n2n 1；3x3 2x2小x x 3X cot x一)；xlim F 2x 3x4sin x7、

6、lim (sin、x 1 sin . x);x8、lim(令 tx 1 sin x四、习题解答:一、选择题:1、函数y fx在点xo处有定义是lim f x存在的Dx x0A、必要非充分条件;C、充分必要条件；B、充分非必要条件;D、无关条件。2、sin lim x 0mx2 xm为常数等于m20 ；B、1 ；小2C、m ；1D、2。m3、lim (1x分xe2,那么 k等于B1D、。22 ；B、2 ；1C、1 ；4、当x0时,以下B为无穷小量xe ；B、sin x ；sin xC、D、sin2A、A、A、1。5、在X趋近于(B)时，y X(Xx1)1X 1不是无穷小量。A、;B、1 ;C、0

7、 ;D、1。26、设 f (x) e x1, g(x) x2,当 x 0 时，(D)A、f (x)是g(x)高阶无穷小量;C、f (x)是g(x)等价无穷小量;B、f (x)是g (x)低阶无穷小量；D、f (x)是g (x)同阶、而等价的无穷小量。x 2, x 0)内连续，那么a,b分别为(B)27、设 f (x) x a,0 x 1 在(bx,1 xsin ax1 r8、设 f(x)(x0)在x 0处连续，且f(0)，那么 ax211A、2 ；B、C、；D、2。22A、0,0 ；B、2,3 ；C、3,2 ；D、1,1。、填空题:1、设 lim g(x) 3,lim h(x) 3 且 g(x

8、)f (x) h(x)，那么 IJm【3x24f (x)12 。2、当时，函数f (x)-，那么 lim 2xf (x) x3、设f(x)1,x2 x0,x01x ,x2，那么limx 0f(x)1。一2 4、设f(x)5、设f(x)x3x， x00在点x0处连续，那么a1 2lim f(x)，那么 f (x)x 1 x 1三、简答题:解:1、设 limx 10i2x ax1 x5,求 a, box2 ax b1 x(x2 1) a(x 1) (a b 1)1 xa b 1 0a 72 a 5b 62ax b) 0,求 a, bx2、设 lim (x解:x21 ax2 ax bx blimxx

9、 1limx(1 a)x2(a b)x (1 b)x 13、求以下函数的间断点，并判断其类别:(1)f(x)x21x31x1是第-类、可去间断点；(2)f(x)x sin xx0是第类、可去间断点；sin xx0x(3)f(x)x0是第一类、可去间断点;2，x0(4)f(x)1 si n ，xx0x0是第类、振汤间断点。1，x04 、试判定方程(x 1)(x 2) (x 2)(x 3) (x 3)( x 1) 0 有几个根？这些根分别在什么范围内？解：令 f(x)(x 1)(x2)(x 2)( x 3) (x 3)(x 1)f(1)(12)(13)2 0，f(2)(23)(21)0，f (3)

10、(31)(32)0，在区间1,2上， f (1)f (2) 0，在区间1,2上，至少存在一点 洛，使得f(xj 0 ,在区间2,3上， f(2) f(3)0，在区间2,3上，至少存在一点 x2,使得f(x2)0 ,因为二次函数至多有二个实数根，因此可知乂!与X2，即为所求的两个实数根，且分别在区间(1,2),(2,3)内。35 、判定方程 x解：令 f ( x) x3 x 3f(0)30 ，f ( 2)70 ，在区间0,2上， f(0) f(2)0， x 30 至少有一个正根。即至少存在一个正根。解:6、设f(x)在x 2处连续，且f (2)3,求 Xm2f(x)(4 )。2x 4f(x)在x 2处连续，且f(2)3，lim2f(x)f(2)31414lim2 f(x)(- )lim? f(x)lim2(-)x 2 x 2 x24 x 2 x 2 x 2 x2414x 2 4x 23lim f (x)lim (2) 3lim3limx 2 丿x 2、x 2 x2 4 x 2(x 2)(x 2) x o(x 2)(x 2) 433x7、假设当 x0时，ax tan ，求 a。22a3tan 232a乞2xmo3ta n23axxmo解:一 213 2X X3mH XX/V1 叫H X叫 H XXX2 2叫H XX- X/k- /(.I X1- 2XmlH X、limln