第14讲直线圆的位置关系

1、普通高中课程标准实验教科书一数学人教版高三新数学第一轮复习教案(讲座14)直线、圆的位置关系一. 课标要求：1. 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；2. 探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式， 会求两条平行直线间的距离；3能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；4能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；5在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。二. 命题走向本讲考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置 关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中等，一般以选择题的形式出现，有时在解 析几何中也会出现大题，多考察其

2、几何图形的性质或方程知识。预测2007年对本讲的考察是：(1) 一个选择题或一个填空题，解答题多与其它知识联合考察；(2) 热点问题是直线的位置关系、借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系， 注重此种思想方法的考察也会是一个命题的方向；(3) 本讲的内容考察了学生的理解能力、逻辑思维能力、运算能力。三. 要点精讲1 .直线11与直线12的的平行与垂直(1 )假设11 , 12均存在斜率且不重合：I1/I2k1=k2； 11 12k1k2= 1。(2 )假设 11 : A,x B1 y C10, 丨2： A2x B2y C20假设 A1、A2、B1、B2都不为零。 11/12A1B1C1 ；A

3、2B2C2 11 12A1A2+B1B2=0 ；ll与12相交A-iB1A2B2ll与12重合AiA2BiB2CiC2(X2 xi)2 (y2 yi)2(2 )平行线间距离假设 l1 ： Ax By C10, l2 : Ax By C20 ,那么：dC1 C2A2 B2注意点：x, y对应项系数应相等。注意：假设A2或B2中含有字母，应注意讨论字母 =0与 0的情况。两条直线的交点 两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。2.距离(1 )两点间距离：假设 A(x1, y1), B(x2, y2)，那么 ABy2 1 0特别地：AB/x 轴，贝V AB | x1 x2

4、|、AB /y 轴，贝U AB | y1(3)点到直线的距离：P(x,y ),I : AxBy C 0,贝U P 到 I的距离为:d 旳CJa2B23 .直线AxBy C 0与圆(xa)2(y b)2r2的位置关系有三种(1 )假设Aa Bb CA2 B2相离(2) d相切(3) d相交还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组Ax2xBy C 0 y2 Dx Ey F求解，通0过解的个数来判断：(1) 当方程组有2个公共解时(直线与圆有 2个交点)，直线与圆相交；(2) 当方程组有且只有1个公共解时(直线与圆只有1个交点)，直线与圆相切；(3 )当方程组没有公共解时(直线与圆没有交点)，直线与圆

5、相离；即:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为，圆心C到直线I的距离为d那么直线与圆的位置关系满足以下关系：相切d=r = 0；相交d<r >0 ；相离d>r <0。两圆位置关系的判疋方法设两圆圆心分别为 Oi,O2，半径分别为ri, r2,dr12外离4条公切线；dr12外切3条公切线；riadria相交2条公切线；drir2内切i条公切线；4.ri内含 无公切线；OOd。外离外切相交内切内含判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。四典例解析题型1:直线间的位置关系例 1. (1) (2006 北京 11)假设三点 A (2,

6、 2), B (a, 0), C (0, b) (ab 0)共线,1 1那么，的值等于。a b(2)( 2006 上海文 11)两条直线 11 : ax 3y 30,l2:4x 6y 10.假设 l,/l2 ,贝 y a。1解析：(1)答案：丄；(2) 2。2点评：(1)三点共线问题借助斜率来解决，只需保证kABkAC ； (2)对直线平行关系的判断在一般式方程中注意系数为零的情况。例2.(1) (2006福建文，1)两条直线 yax 2 和 y(a 2)x1互相垂直，那么a等于( )A. 2B. 1C.0D .1(2)(2006安徽理，7)假设曲线yx的一条切线1与直线x4y 80垂直，那么

7、1的方程为( )A. 4xy 3 0B. x 4y50 C.4x y 30D. x4y 3 0解析:(1)答案为D ； (2)与直线x4y 80垂直的直线l 为 4x ym 0,即4y x在某一点的导数为4,而y4x3，所以y4X在(1 , 1)处导数为4,此点的切线为4x y 30，应选A。阳光家教网全国最大家教平厂点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为零和不存在两种情况。题型2 :距离问题例3. 2002京皖春文，8至俩坐标轴距离相等的点的轨迹方程是A. x y=0B. x+y=0C. |x| y=0D.凶一|y|=0解析：设到坐标轴距离相等的点为 x,

8、y|x|=|y|x|y|= 0。答案：D点评：此题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径例4.2002全国文，21点P到两个定点 M 1, 0、N 1, 0距离的比为2，点N到直线PM的距离为1 .求直线PN的方程。| pm |.一解析：设点P的坐标为x, y,由题设有72 ,|PN|即(X 1)2y2、2 (x 1)2 y2。整理得 x2+y2 6x+1=0因为点N到PM的距离为1, |M N|= 2,所以/ PMN = 30°，直线PM的斜率为土直线PM的方程为y=，( x+ 1)3将式代入式整理得 x2 4x + 1 =

9、 0。解得 x= 2+ . 3 , x = 2 73。代入式得点P的坐标为(2+ J3 , 1 + J3 )或(2寸3 , 1+%'"3 ) ； (2+p 3 ,1 3)或(2 3 , 1 3)。直线PN的方程为y=x 1或y= x+1。点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分表达了 “注重 学科知识的内在联系题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力比拟深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想。该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度。题型3:

10、直线与圆的位置关系例5.( 1) (2006安徽文，7)直线x y 1与圆x2 y2 2ay 0(a 0)没有公共 点，那么a的取值范围是()A. (0,1) B. ( ,21, -21) C. ( ,21八2 1) D. (0,二 1)(2) (2006江苏理，2)圆(x 1)2 (y . 3)21的切线方程中有一个是( )A. x y = 0B. x+y= 0C. x= 0解析：(1)解析：由圆X2 y2 2ay 0(a0)的圆心(0, a)到直线x y 1大于a , 且a 0，选A。点评：该题考察了直线与圆位置关系的判定。(2)直线 ax+by=0与(x 1)2 (y J3)2 1 相切

11、，那么 |a 3 1 1，由排除法,V2选C,此题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事。点评：此题主要考查圆的切线的求法，直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距 离等于半径。直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件：圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件：直线与圆的方程组成方程组有唯一解，从而转化成判别式等于零来解。例 6. ( 2006 江西理，16)圆 M ： (x + cos ) 2+( y sin ) 2= 1,直线 I: y= kx, 下面四个命题：(A) 对任意实数k与，直线I和圆M相切；(B) 对任意实数k与，直线I和圆M有公共点；(C) 对任意实数，必存

12、在实数k，使得直线l与和圆M相切；(D) 对任意实数k,必存在实数 ，使得直线l与和圆M相切。其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号)解析：圆心坐标为(一 cos , sin )d =阳光家教网全国最大家教平厂k cos sin | _ J1 + k2|sin( + )|Ji + k2Jl + k2= |si n( + )| 1应选(B) ( D)点评：该题复合了三角参数的形式，考察了分类讨论的思想。题型4 :直线与圆综合问题例7. ( 1999全国，9)直线 3x+y 2 . 3 =0截圆x2 + y2= 4得的劣弧所对的圆心角为( )A.B.64解析：如下图：J3x y 2J30由2

13、2x y 4消 y 得：x2 3x+2=0,. X1=2, X2=1。 A (2, 0), B (1, <3 )|AB|= (2 1)2 (03)2=2又 |OB|= |OA|=2,得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线1 OA,所以1_1_2-2kOA、 22 AOB是等边三角形，/ AOB=，应选C。3点评：此题考查直线与圆相交的根本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和 数形结合思想，同时也表达了数形结合思想的简捷性。如果注意到直线AB的倾斜角为120°,那么等腰 OAB的底角为60° .因此/ AOB=60° 更加表达出平面几何的意义。例8. 2006

14、全国2, 16过点1, .2的直线I将圆x 22+ y2= 4分成两段弧， 当劣弧所对的圆心角最小时，直线I的斜率k=。解析：过点1八2的直线I将圆X 22 / 4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角k最小时，直线1的斜率4的内部，圆心为O2,0要使解析数形结合由图形可知点A12在圆x 22y2点评：此题主要考察数形结合思想和两条相互垂直的直线的斜率的关系，难度中等。 题型5 :对称问题例9. 89年高考题一束光线I自A 3, 3发出，射到x轴上，被x轴反射到O C: x2 + y2 4x 4y+ 7 = 0 上。I 求反射线通过圆心 C时，光线I的方程；(n)求在x轴上，反射点M的范围.解法一：圆

15、的标准方程是(x 2)2+(y 2)2=1 ,它关于x轴的对称圆的方程是(x 2)2+(y+2)2=1。设光线L所在的直线的方程是y 3=k(x+3)(其中斜率k待定)，由题设知对称圆的圆心C'( 2, -2)到这条15k 5 I3直线的距离等于 1，即d= =1。整理得12k2+25k+12=0，解得k=或k=v'1 k24444。故所求直线方程是 y 3= (x+3)，或 y 3= (x+3)，即 3x+4y+3=0 或 4x+3y+3=0。3333(1 k)k解法二：圆的标准方程是(x 2)2+(y 2)2=1,设交线L所在的直线的方程是 y-3=k(x+3)(其中斜率k

16、待定)，由题意知k工0,于是L的反射点的坐标是(一0),因为光线的入射角等于反射角，所以反射光线L '所在直线的方程为 y=3(1 k)k(x+),即y+kx+3(1+k)=0。这条直线应与圆相切， 故圆心到直线的距离为 1,k15k51即d=1。以下同解法1 k2点评：圆复合直线的对称问题，解题思路兼顾到直线对称性问题，重点关注对称圆 的几何要素，特别是圆心坐标和圆的半径。例10.函数f(x)=x2 1(x> 1)的图像为C1,曲线C2与C1关于直线y=x对称。(1) 求曲线C2的方程y=g(x);(2) 设函数 y=g(x)的定义域为 M, X1, x2 M，且 X1M X2

17、,求证 |g(x1) g(x2)|<|x1 x2|;(3) 设A、B为曲线C2上任意不同两点，证明直线AB与直线y=x必相交。 解析：(1)曲线C1和C2关于直线y=x对称，那么g(x)为f(x)的反函数。 y=x2 1, x2=y+1，又 x> 1,. x= y 1，那么曲线 C2 的方程为 g(x)= . x 1 (x> 0)。|g(x1) g(x2)|=|X11 . X21 |=X1 X2(2)设 X1, X2 M，且 X1 X2，那么 X1 X2 0。又 x1 > 0,x2> 0 ,X1 X2W <|X1 X2|。2阳光家教网全国最大家教平厂(3 )

18、设A(xi, yi)、B (X2, y2)为曲线C2上任意不同两点，xi , X2 M,且xi工X2,由( 2)知，|kAB| = | 也上 |=吐XU"X-I X2| X1 x2 |By八直线AB的斜率|kAB|M 1,又直线y=x的斜率为1 ,直线AB与直线y=x必相交。 点评：曲线对称问题应从方程与曲线的对应关系入手来处理，最终转化为点的坐标之间的对应关系。题型6:轨迹问题例11.( 2005山东理,22)动圆过定点卫,0 ,2且与直线xP相切，其中p 0。2(I)求动圆圆心C的轨迹的方程；(II )设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当，

19、变化且为定值(0)时，证明直线 AB恒过定点，并求出该定点的坐标。解析：(I)如图，设 M为动圆圆心,0为记为F，过点M作直线x 卫的2 2垂线，垂足为N ,由题意知:MFMN即动点M到定点F与定直线x -的距离2相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F卫,02为焦点,x 2为准线，所以轨迹方程为 y2 2px(P 0)(II)如图，设 A x1,y1 , B x2, y2，由题意得Xi X2 (否那么)且 Xi,X2所以直线AB的斜率存在，设其方程为y kx2b，显然 xi » , x22p2上2p，将 y kx2px(P 0)联立消2ky 2 py 2pb 0由韦达定理

20、yiy22pk,yi y2(i )当2时即时，ta n2tan 1所以仏上x1 x21, X1X2y2 0，2yi y224p2 yiy20所以y24p2由知：半4p2所以。因此直线AB的方程可表示为y kx 2Pk，即k(x 2P) y 0 ,所以直线 AB恒过定点 2p,0(2 )当一时,2得 tan tan()=tan tan _2卩(力 y?)1 tanta n.2 ，y2 4p将式代入上式整理化简可得:tan2pb 2pk，所以2ptan2pk，AB 的可表示kx22 pk 即tank(x 2p)0，所以直线AB恒过定点2P，严所以由(1)( 2)知,2时，直线AB恒过定点2P，0，

21、丁直线AB恒过定点点评：该题是圆与圆锥曲线交汇题目，考察了轨迹问题，属于难度较大的综合题目。N的切线PM , PN ( M , N分别为切点)，使得PM 2PN .试建立适当的坐标系，并求 动点P的轨迹方程。解析：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如下图的平面直角 坐标系，那么 0" 2,0)，02(2,0)。由 PM . 2PN，得 PM 2 2PN 2。2 2因为两圆半径均为1,所以POi 1 2(PO21)。2 2 2 2设 P(x,y)，那么(x 2) y 12(x 2) y 1，即(x 6)2 y233(或 x2 y212x 30)。点评：本小题主要考查

22、求轨迹方程的方法及根本运算能力。 题型7 :课标创新题例13.实数y 满足(x 2)2 (y 1)21，求 z解析：止x2 2(x 2) (y 1)表示过点A ( 0 , 1 )和圆1上的动点(x, y)的直线的斜率。 如下列图，当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分 别取得最大值和最小值。山的最大值与最小值。设切线方程为y kx 1,即kx y 11，解得k4. 73因此，Zmax4 V7 zzmin34.7点评：直线知识是解析几何的根底知识，灵活运用直线知识解题具有构思巧妙、直观性 强等特点，对启迪思维大有裨益。下面举例说明其在最值问题中的巧妙运用。例14 设双曲线xy 1的两支分别为 q、

23、C2，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上。假设P 1,1在C2上，Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标。分析：正三角形PQR中，有PQ|PRQR,那么以P1,1为圆心，PR为半径的圆与双曲线交于 R、Q两点。根据两曲线方程可求出交点 Q、R坐标。解析：设以P为圆心，| PR r(r0为半径的圆的方程为：x2 21y 12 r22x 1xy 12r得:其中，可令t X -进行换元解之X设Q、R两点的坐标分别为Xi，yi，X2，y2，那么 XiX2XiX2i即x1X2XiX24x1x2同理可得:yiy2且因为 PQR是正三角形，那么,即r2XiX2yi2y2r2，得r224 。2代入方程X4x2X

24、由方程组xy4x i0，得:Xiyi3或.3X2y22. 32-3，所以，所求Q、R的坐标分别为23,3, 23点评：圆是最简单的二次曲线，它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。 对一些数学问题，假设能作一个辅助圆，可以沟通题设与结论之间的关系，从而使问题得 解，起到铺路搭桥的作用。五.思维总结阳光家教网全国最大家教平厂1 关于直线对称问题：(1) 关于I : Ax + By + C = 0对称问题：不管点，直线与曲线关于 I对称问题总 可以转化为点关于I对称问题，因为对称是由平分与垂直两局部组成，如求P( X。，yo) 关于 I : Ax + By + C = 0对称点 Q (Xi ,

25、 yi).有 Yo Yl =- ( 1)与 A Xo xiXo X!B2+ B 壮 + C = 0。2(2) 解出Xi与yi ；假设求Ci :曲线f (x , y)= 0 (包括直线)关于I : Ax + By+ Ci = 0对称的曲线 C2 ,由上面的(i)、( 2)中求出xo = gi (xi , yi)与yo = g2 ( xi , yi),然后代入Ci : f gi(xi,yi) ,g2(X2,y2) = 0,就得到关于I对称的曲线C2方程：fgi (x , y), g2 (x , y) = 0。(3) 假设I : Ax + By + C = 0中的x , y项系数|A|= i, |B

26、 |= i .就可以用直接代 入解之，尤其是选择填空题。如曲线 Ci : y2 = 4 x 2关于I : x y 4 = 0对称的曲 线I2的方程为：(x 4) 2 = 4 (y + 4) 2 .即y用x 4代，x用y + 4代，这样就 比拟简单了。(4) 解有关入射光线与反射光线问题就可以用对称问题来解决。点与圆位置关系：P (xo , yo)和圆 C ： (x a) 2 + (y b) 2 = r2。 点 P 在圆 C 外有(xo a) 2 + (yo b) 2 > r2； 点 P 在圆上：(xo a) 2 + (yo b) 2 = r2 ; 点 P 在圆内：(xg a) 2 + (yo b) 2 v r2 。3 .直线与圆的位置关系：I : fi (x , y)= 0.圆C : f2 (x , y)= 0消y得F (X2) =Oo(1 )直线与圆相交：F (x , y)= O中 > O;或圆心到直线距离 d v r。直线与圆相交的相关问题：弦长